Fourier-Reihe - Konvergenz < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:03 So 14.10.2007 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit f(0)=0, [mm] f(x)=\bruch{1}{2}(\pi-x) (0
[mm] f(x+2\pi)=f(x) (x\in\IR)
[/mm]
b) Da f nicht stetig ist liefern die Sätze der Vorlesung keine Aussage zur punktweisen Konvergenz der Fourier-Reihe. Einen Ausweg bietet folgende direkte Betrachtung:
Für [mm] x,y\in(0,2\pi) [/mm] und [mm] n\in\IN [/mm] sei
[mm] D_{n}(y):=\bruch{sin((n+\bruch{1}{2})y)}{sin\bruch{y}{2}} [/mm] der Dirichlet-Kern und
[mm] R_{n}(x):=\bruch{1}{2}\integral_{\pi}^{x}{D_{n}(y)dy}
[/mm]
Wird das letzte Integral durch partielle Integration umgeformt und dann mit dem erweiterten ersten Mittelwertsatz abgeschätzt, so folgt [mm] R_{n}(x)\to0 [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] bei festem [mm] x\in(0,2\pi). [/mm] |
Hallöchen.
Diese Aufgabe bereitet mir große Schwierigkeiten.
Erst einmal: Warum ist diese Funktion eigentlich nicht stetig?
Aufgabe a) war die Fouriertransformation durchzuführen, und da komm ich auf
[mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{sin(nx)}{n}
[/mm]
und das ist auch richtig (hab ich geprüft).
Es ist schon alleine ungewöhnlich, dass in der Aufgabenstellung keine Frage drinsteht, aber ich denke mal, wir sollen einfach mal dieses Verfahren anwenden^^.
Dann wundert mich dieses Verfahren sehr. Bei [mm] D_{n} [/mm] und [mm] R_{n} [/mm] kommt doch nirgendwo die Funktion f vor. Wie kann ich dann damit von f Aussagen über Konvergenz machen?
Jedenfalls hab ichs dann doch mal so versucht, aber bin dann doch kläglich an dem Integral gescheitert.
Wäre schön, wenn mir da jemand mal helfen könnte. Hab den Zähler mit Additionstheorem aufgelöst, da komm ich dann auf
[mm] \bruch{1}{2}(sin(ny)cot\bruch{y}{2}+cos(ny))
[/mm]
Aber dieser Cotangens lässt sich dann auch wieder nicht so einfach integrieren. Bitte helft mir^^
Grüße
Max
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Do 18.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Max!
> Gegeben sei die Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm] mit f(0)=0,
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}(\pi-x) (0
> [mm]f(x+2\pi)=f(x) (x\in\IR)[/mm]
>
> b) Da f nicht stetig ist liefern die Sätze der Vorlesung
> keine Aussage zur punktweisen Konvergenz der Fourier-Reihe.
> Einen Ausweg bietet folgende direkte Betrachtung:
>
> Für [mm]x,y\in(0,2\pi)[/mm] und [mm]n\in\IN[/mm] sei
> [mm]D_{n}(y):=\bruch{sin((n+\bruch{1}{2})y)}{sin\bruch{y}{2}}[/mm]
> der Dirichlet-Kern und
> [mm]R_{n}(x):=\bruch{1}{2}\integral_{\pi}^{x}{D_{n}(y)dy}[/mm]
>
> Wird das letzte Integral durch partielle Integration
> umgeformt und dann mit dem erweiterten ersten
> Mittelwertsatz abgeschätzt, so folgt [mm]R_{n}(x)\to0[/mm] für
> [mm]n\to\infty[/mm] bei festem [mm]x\in(0,2\pi).[/mm]
> Hallöchen.
>
> Diese Aufgabe bereitet mir große Schwierigkeiten.
>
> Erst einmal: Warum ist diese Funktion eigentlich nicht
> stetig?
Hast du sie dir aufgemalt? f(0)=0, aber der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle 0 ist [mm]\pi/2[/mm], der linksseitige [mm]-\pi/2[/mm].
> Aufgabe a) war die Fouriertransformation durchzuführen, und
> da komm ich auf
> [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{sin(nx)}{n}[/mm]
> und das ist auch richtig (hab ich geprüft).
Nimm die Partialsumme deiner Reihe: [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{sin(kx)}{k}[/mm]
Leite diese Reihe nach x ab, dann siehst du, dass dies bis auf eine additive Konstante und den Faktor -2 den ![[]](/images/popup.gif) Dirichlet-Kern ergibt.
Daher ist das genannte Integral [mm]R_n(x)[/mm] eine andere Form für [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{sin(kx)}{k}[/mm] (eventuell bis auf triviale Faktoren, hab ich nicht nachgerechnet).
Wenn du zeigen kannst, dass [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0[/mm], hast du die punktweise Konvergenz deiner Reihe bewiesen.
> Wäre schön, wenn mir da jemand mal helfen könnte. Hab den
> Zähler mit Additionstheorem aufgelöst, da komm ich dann
> auf
> [mm]\bruch{1}{2}(sin(ny)cot\bruch{y}{2}+cos(ny))[/mm]
Ich würde es ohne Additionstheorem versuchen, mit [mm]u'=\sin((n+\bruch{1}{2})y)[/mm] und [mm]v=1/\sin\bruch{y}{2}[/mm].
Beachte, dass die Punkte 0 und [mm]2\pi[/mm] nicht im Integrationsintervall liegen, sodass dein Integrand bei festem x beschränkt bleibt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 22.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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