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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Fourier-Reihenentwicklung in der trigonometrischen und komplexen Form für die Funktion definiert durch:
[mm]
g_{\alpha} = \begin{cases} \alpha, & \mbox{für } -\bruch{\pi}{2} < t < \bruch{\pi}{2} \\
0, & \mbox{für } t=-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}\\
-\alpha, & \mbox{für } -\pi < t < -\bruch{\pi}{2} \mbox{ oder } \bruch{\pi}{2} < t < \pi
\end{cases}
[/mm] |
Hallo, mein Problem ist nun wie ich die Funktion f(t) aufstelle, welche ich für die Furier-Koeffizienten brauche?
Wie gehe ich da heran?
der fall der null ergibt ist durch den Cosinus erreicht, aber der rest ?
Gruß, phil.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Phil,
zunächst sollte man sich die Funktion anschauen, ob diese zur Zeitachse gerade oder ungerade ist. Trifft einer dieser Fälle zu, so lässt sich die Rechnerei vereinfachen. Bei geraden Funktionen können nur cos-Terme auftauchen (da der Cosinus eine gerade Funktion ist und auch die Addition von Harmonischen nichts daran ändert), bei einer ungeraden Funktion besteht die Fourierreihe nur aus Sinus-Termen.
Die als Fourrierreihe darzustellende Funktion braucht nur über eine Periodendauer der Funktion integriert zu werden, bei geraden oder ungeraden Funktionen langt sogar die Integration über die halbe Periodendauer.
Deine Funktion ist gerade, man kann also auf die Berechnung der Sinusterme verzichten. Die Fourierreihe hat dann die Form
$$ [mm] \bruch{a_0}{2} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] f(x) [mm] \cos kx\, [/mm] dx $$
wobei die einzelnen Koeffizienten durch
$$ [mm] a_k [/mm] = [mm] \int_0^{\pi} [/mm] f(x) [mm] \cos kx\, [/mm] dx $$ berechnet werden.
Bei Dir würde das Integrationsintervall noch mal aufgeteilt in zwei Anteile, also gilt für die Koeffizienten
$$ [mm] a_k [/mm] = [mm] \int_0^{\bruch{\pi}{2}} \alpha \cos kx\, [/mm] dx - [mm] \int_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi} \alpha \cos [/mm] kx [mm] \,dx\, [/mm] . $$
Und nun viel Spaß beim Ausrechnen.
Viele Grüße,
Infinit
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Ah, danke, soweit leuchtets mir ein, aber muss das nicht heißen:
[mm] a_{n} = \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ \alpha \cos (nt) \ dt} + \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ \alpha \cos (nt) \ dt \ } [/mm]
anstelle von
[mm] a_{n} = \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ \alpha \cos (nt) \ dt} - \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ \alpha \cos (nt) \ dt \ } [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Phil,
in diesem Teil des Integrationsbereiches ist [mm] \alpha [/mm] negativ, daher kommt das Minuszeichen vor dem Integral.
Viele Grüße,
Infinit
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sorry sollte ich grade total anfangen zu spinnen,
aber wenn ich sie sowieso subtrahiere, kann ich es doch auch gleich in eins durchintegrieren. da erhalte ich doch das gleiche ergebnis.
hier is mal ne seite zum thema integration die ich auf die schnelle gefunden habe :
![[]](/images/popup.gif) Mathe-Profis: Integrieren
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Phil,
Dein Argument verstehe ich nicht, die Integralgrenzen sind unterschiedlich und die zu integrierende Funktion auch.
Ein Beispiel für n = 1: Das Integral über den Cosinus ergibt den Sinus, der in den Grenzen von 0 bis 90 Grad den Wert 1 ergibt und in den Grenzen von 90 Grad bis 180 Grad den Wert -1.
Beide Anteile wie angegeben summiert ergeben hier also 2 als Koeffizienten. Integriest Du den Cosinus zwischen 0 und 180 Grad ergibt das Integral Null, das ist sicherlich nicht das gleiche.
Viele Grüße,
Infinit
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hm ich versteh dein Argument leider auch nich 100 %ig aber abgsehen davon ergibt die rechnung nur mit der substraktion sinn.
Also was ich bisher gerechnet habe:
$a_{n} = \bruch{\pi}{2} \integral_{0}^{\pi}{ f(t) \cdot cos(nt) dt$
$a_{n} = \bruch{\pi}{2} \integral_{0}^{\bruch {\pi}{2}}{ \alpha \cdot cos(nt) dt - \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ \alpha \cdot cos(nt) dt$
$a_{n} = \bruch{\pi}{2} \left( \left[ \bruch{\alpha}{n} \cdot sin(nt) \right]_{0}^{\bruch{\pi}{2}} - \left[ \bruch{\alpha}{n} \cdot sin(nt) \right]_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi} \right)$
$a_{n} = \pi \cdot \bruch{\alpha}{n} \cdot sin(n \cdot \bruch{\pi}{n})$
ist das richtig? kommt mir komisch vor
Das ganze hab ich auch für $n=0$ integriert und da kam im enteffekt $a_{0}=0$ heraus.
Seit bitte so nett und schaut mal drüber ob ich mist gemacht habe.
Vielen dank bis hierher schonmal für die hilfe infinity!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Sa 04.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Phil
Soweit ich sehe hat deine Funktion g nicht die Periode [mm] 2\pi [/mm] sondern die Periode [mm] 1,5\pi, [/mm] (von [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] \pi. [/mm] aber prüf das bitte nach! Wenn ich recht habe, brauchst du dann auch nicht eine Fourrierreihr mit cosnx, da die nur Funktionen mit der Periode [mm] 2\pi [/mm] beschreibt, sondern cos mit der Periode [mm] 1,5\pi
[/mm]
Weiterhin solltest du dir angewöhnen bekannte Werte von sin direkt einzusetzen und sowas wie [mm] n*\pi/n [/mm] zu kürzen. Dann siehst du direkt, dass deine [mm] a_n [/mm] alle 0 sind was ja nicht gut sein kann.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 So 05.11.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Leduart,
das "Oder" im letzten Teil der Aufgabenstellung ist logisch zwar nachvollziehbar, mathematisch aber nicht gerade korrekt. Hier hätte ich eher ein "und" erwartet. Es soll aber wohl ausdrücken, dass der Wert [mm] - \alpha [/mm] für beide Teilintervalle gilt.
Gruß,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 So 05.11.2006 | | Autor: | Infinit |
Sorry Phil,
aber da hast Du beim Einsetzen der Integralgrenzen nicht aufgepasst.
Was noch stimmt, ist Deine Formel zur Berechnung der Koeffizienten
$ [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} \left( \left[ \bruch{\alpha}{n} \cdot sin(nt) \right]_{0}^{\bruch{\pi}{2}} - \left[ \bruch{\alpha}{n} \cdot sin(nt) \right]_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi} \right) [/mm] $
Um Vielfache von 0 und Vielfache von Pi brauchen wir uns nicht zu kümmern, denn da ergibt der Wert des Sinus sicher Null, also sollte man sich die Werte bei Vielfachen von Pi/2 anschauen.
$ [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} \left( \bruch{\alpha}{n} \cdot sin(\bruch {n \pi}{2}) - \left(- \bruch{\alpha}{n} \cdot sin(\bruch {n \pi}{2}) \right) \right) [/mm] $
Minus mal Minus gibt Plus und somit erhälst Du
$ [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{\alpha \pi}{n} \cdot \sin (\bruch{n \pi}{2} [/mm] ) $
Dieser Wert ergibt für geradzahlige n wieder den Wert 0, für ungeradzahlige abwechselnd den Wert 1 bzw. -1.
Es bleibt also was übrig, wenn man sich nicht verrechnet.
Viele Grüße,
Infinit
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