Fourier-Reihe entwickeln < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man entwickle die folgen Integranden in Reihen und integriere gliederweise.
a.) [mm] \integral_{0}^{x}{\bruch{sin\varepsilon}{\varepsilon}d\varepsilon}
[/mm]
b.) [mm] \integral_{0}^{x}{\wurzel{1+\varepsilon^{3}}d\varepsilon} [/mm] |
Hallo,
mein Problem ist das ich in meinen Skript dutzende allgemeine Formel gefunden habe wie z.b. [mm] $g(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{m=1}^{\infty}[a_{m}cosmx+b_{m}sinmx]$ [/mm] etc... jedoch keine ahnung habe was ich überhaupt für was nehmen muss. hab auch schon ewig gegooglet aber nirgends eine gute erklärung gefunden.
ich hab diese frage in noch keinem weiteren forum gestellt.
gruss
joker1223
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 So 22.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst nicht in ne Fourrierreihe entwickeln, sondern in ne Taylorreihe.(Fourrier geht hier gar nicht!) Kennst du die? sonst lies darunter nach.
Gruss leduart
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Hallo,
ja hab ich jetzt auch gesehen. Gibt es da irgendwelche Merkmale woran ich das erkenne?
ich hab jetzt a.) mit taylor gemacht und bin auf [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\varepsilon^{2n}$ [/mm] gekommen. Das muss ich ja denn noch integrieren, also [mm] $\integral_{0}^{x}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\varepsilon^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\bruch{\varepsilon^{2n+1}}{2n+1}|_{0}^{x} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\bruch{x^{2n+1}}{2n+1}$
[/mm]
richtig?
bei b.) habe ich zunächst [mm] $\wurzel{1 + \varepsilon^{3}}$ [/mm] umgeformt in $(1 + [mm] \varepsilon^{3})^{\bruch{1}{2}} [/mm] = 1 + [mm] \varepsilon^{3}{2}$ [/mm] und denn abgeleitet.
Somit hab ich die Ableitungen
[mm] $f'(\varepsilon) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}\varepsilon^{\bruch{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $f''(\varepsilon) [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}\varepsilon$
[/mm]
[mm] $f'''(\varepsilon) [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}$
[/mm]
[mm] $f^{IV}(\varepsilon) [/mm] = 0$
wenn ich dort [mm] $\varepsilon_{0}$ [/mm] einsetze bekomm ich für
$f(0) = 1$
$f'(0) = 0$
$f''(0) = 0$
$f'''(0) = [mm] \bruch{3}{4}$
[/mm]
[mm] $f^{IV}(0) [/mm] = 0$
und bei [mm] $\bruch{f^{n}(\varepsilon_{0})}{n!}$
[/mm]
[mm] $\bruch{f(0)}{0!} [/mm] = 1$
[mm] $\bruch{f'(0}{1!} [/mm] = 0$
[mm] $\bruch{f''(0}{2!} [/mm] = 0$
[mm] $\bruch{f'''(0)}{3!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}$
[/mm]
[mm] $\bruch{f^{IV}(0)}{4!} [/mm] = 0$
nun weiß ich leider nicht weiter :(
weiß leider nicht wie ich die 1 und die [mm] \bruch{1}{8} [/mm] in eine Reihe überführen soll.
Habe irgendwie an [mm] $\bruch{1^{n}}{(n+1)!}\varepsilon^{n}$ [/mm] gedacht.
Gruss
Joker1223
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Hallo,
eben ist mir ein weitere Sache aufgefallen. Seh ich das richtig, dass ich bei der Mac-Laurin-Formel, also wenn [mm] x_{0} [/mm] = 0 ist, die allgemeine Formel [mm] $\bruch{f^{n}(x_{0})}{n!}x^{n}$ [/mm] mit dem Restglied [mm] ($\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}f^{n+1}(\delta [/mm] x)$) addiere, wenn ich ein bestimmtes Integral habe? Also entspricht [mm] \delta [/mm] x meinen Integralgrenzen?
Also hätte ich denn [mm] $[\bruch{f^{n}(x_{0})}{n!}x^{n}] [/mm] + [mm] [\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}f^{n+1}(\delta [/mm] x)] = [mm] \bruch{f^{2n+1}(x)}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ [/mm] ?
Oder anders gesagt, wann muss ich denn das Restglied beachten?
Gruss
Joker1223
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> bei b.) habe ich zunächst [mm]\wurzel{1 + \varepsilon^{3}}[/mm]
> umgeformt in [mm](1 + \varepsilon^{3})^{\bruch{1}{2}} = 1 + \varepsilon^{\bruch{3}{2}}[/mm]
Moin,
diese Umformung war keine gute Idee, denn sie folgt keiner existierenden Regel...
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mi 25.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Fourrierreihen gibts nur für periodische funktionen. Mit Entwicklung ist immer die Taylorentw. gemeint es sei denn es steht da gesucht ist die fourrierreihe der gegebenen periodischen Fkt.
2.die Reihe für sinx ist doch wohl bekannt, daraus folgt direkt die Reihe für (sinx)/x
3. wie Angela schon sagte. [mm] \wurzel{a+b}=\wurzel{a}+\wurzel{b} [/mm] ist seeeeeehhhhr falsch.
Beispiel [mm] :\wurzel{4+1}=\wurzel{4}+\wurzel{1} [/mm] =3???????
4.Du sollst die Reihe angeben, nicht das Taylorpolynom mit Restglied.
Gruss leduart
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Hallo,
die reihe von sin(x) ist festgelegt? also steht tafelwerk oder so?
gruss
joker1223
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 03:51 Do 26.08.2010 | | Autor: | joker1223 |
Hallo,
also a.) habe ich nun verstanden. jetzt sind nur noch die probs mit der wurzel...
kann mir jemand helfen?
gruss
joker1223
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> jetzt sind nur noch die
> probs mit der wurzel...
> kann mir jemand helfen?
Hallo,
welches sind denn die aktuellen "probs" mit der Wurzel?
Daß man nicht so auflösen kann, wie Du es getan hast, habe ich ja schon gesagt.
Hast Du denn nun begonnen, sie in eine Taylorreihe zu entwickeln? Fleißig abgeleitet?
Wir müssen wissen, wie weit Deine Bemühungen gediehen sind, wenn wir Dir helfen sollen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
abgeleitet habe ich versucht...
hier meine lösungen:
[mm] $f(\varepsilon) [/mm] = [mm] \wurzel{1+\varepsilon^{3}}$
[/mm]
[mm] $f'(\varepsilon) [/mm] = [mm] \bruch{3x^{2}}{2\wurzel{1+\varepsilon^{3}}}$
[/mm]
[mm] $f''(\varepsilon) [/mm] = [mm] \bruch{6x(2\wurzel{1+x^{3}})-9x^{4}}{4+4x^{3}-2\wurzel{1+x^{3}}}$
[/mm]
denn hab ich es aufgegeben. kommt mir schon ziemlich komisch alles vor.
gruss
joker1223
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Hallo Joker,
> Hallo,
>
> abgeleitet habe ich versucht...
> hier meine lösungen:
>
> [mm]f(\varepsilon) = \wurzel{1+\varepsilon^{3}}[/mm]
>
> [mm]f'(\varepsilon) = \bruch{3x^{2}}{2\wurzel{1+\varepsilon^{3}}}[/mm]
Stimmt bis auf das x im Zähler, da solltest du der Konsistenz wegen besser mal [mm] $\varepsilon$ [/mm] schreiben.
>
> [mm]f''(\varepsilon) = \bruch{6x(2\wurzel{1+x^{3}})-9x^{4}}{4+4x^{3}-2\wurzel{1+x^{3}}}[/mm]
Das ist ziemlicher Müll, du scheinst den Nenner des zweiten Summanden im Zähler mal locker und völlig unbeeindruckt in der Gesamtnenner gepackt zu haben ...
Das ist ein mathemat. Schwerverbrechen!
Rechne Schritt für Schritt mit der Quotientenregel ...
>
> denn hab ich es aufgegeben. kommt mir schon ziemlich
> komisch alles vor.
>
> gruss
>
> joker1223
LG
schachuzipus
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