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Hallo Leute!
Hier ist eine Aufgabe, wo ich irgendwie nicht weiß, welche Definitionen ich verwenden sollte, und wo ich deshalb auch keinen Ansatz habe:
Zeige: Ist [mm] $t_n\left(\vartheta\right)$ [/mm] ein gerades trigonometrisches Polynom, so existiert ein reelles Polynom
[mm] $p_n\left(x\right) [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^{n}a_kx^k$ [/mm] mit
[mm] $p_n\left(\cos\vartheta\right) [/mm] = [mm] t_n\left(\vartheta\right)$
[/mm]
Nun habe ich zunächst ungenaue Vorstellungen von dem, was hier mit 'gerade' gemeint ist. Im Internet habe ich z.B. folgende Definition gefunden:
[mm] $t_n\left(\vartheta\right) [/mm] := [mm] \sum_{k=-n}^{n}{c_ke^{ik\vartheta}}$
[/mm]
Aber man könnte doch auch die allgemeine Definition der Fourier-Reihe nehmen und die Indizierung etwas "anpassen", oder doch nicht?:
[mm] $t_n\left(\vartheta\right) [/mm] := [mm] a_0 [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n}{a_{2k}\cos\left(2k\vartheta\right)} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n}{b_k\sin\left(2k\vartheta\right)}$
[/mm]
Aber irgendwie komme ich mit keinen der beiden Definitionen weiter. Es gilt ja:
[mm] $p_n\left(\cos\vartheta\right) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n}{a_k\left(\cos\vartheta\right)^k} [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n}{a_k\left(\cos\vartheta\right)^k}$
[/mm]
Aber was mache ich mit [mm] $\cos\left(\vartheta\right)^k$?
[/mm]
Das einzige, was mir dazu einfällt ist:
[mm] $\cos\left(k\vartheta\right) [/mm] + [mm] i\sin\left(k\vartheta\right) [/mm] = [mm] e^{ik\vartheta} [/mm] = [mm] \left(e^{i\vartheta}\right)^k [/mm] = [mm] \left(\cos\vartheta + i\sin\vartheta\right)^k$
[/mm]
Zu guter letzt wären da noch die Tchebychevpolynome, die ja eigentlich reelle Polynome sind, aber mit der Eigenschaft [mm] $p_n\left(\vartheta\right) [/mm] := [mm] T_n\left(\vartheta\right) [/mm] = [mm] \cos\left(n\vartheta\right)$
[/mm]
Im Moment scheint auch das eine "heiße Spur" zur Lösung zu sein. Aber ich weiß einfach nicht, wo ich bei diesen Ansätzen ansetzen soll. :(
Vielen Dank für eure Mühe!
Grüße
Karl
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Hallo!
Als gerades trigonometrisches Polynom würde ich eigentlich ein achsensymmetrisches Polynom bezeichnen, d.h. [mm] $t(\zeta)=t(-\zeta)$. [/mm] Wenn man sich das genauer ansieht bedeutet das, dass das Polynom keine Sinus-Terme enthalten darf.
An diesem Punkt kommen dann auch die Tchbeyshev Polynome 1. Art ins Spiel...
> [mm]t_n\left(\vartheta\right) := \sum_{k=-n}^{n}{c_ke^{ik\vartheta}}[/mm]
Das ist ja eigentlich die allgemeine Definition für ein trigonometrisches Polynom. Bei einem geraden Polynom gilt dann [mm] $c_k=c_{-k}$ [/mm] für alle $k$.
> [mm]t_n\left(\vartheta\right) := a_0 + \sum_{k=1}^{n}{a_{2k}\cos\left(2k\vartheta\right)} + \sum_{k=1}^{n}{b_k\sin\left(2k\vartheta\right)}[/mm]
Diese Umformung ist fast richtig. Es gilt im allgemeinen:
[mm]t_n\left(\vartheta\right) := a_0 + \sum_{k=1}^{n}2{a_{k}\cos\left(k\vartheta\right)} + \sum_{k=1}^{n}2{b_k\sin\left(k\vartheta\right)}[/mm]
Dabei ist [mm] $a_k=\bruch{c_k+c_{-k}}2$ [/mm] und [mm] $b_k=\bruch{c_k-c_{-k}}2$.
[/mm]
Hilft dir dieser Tipp weiter?
Gruß, banachella
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Hallo banachella,
> [..] dann [mm]c_k=c_{-k}[/mm] für alle [mm]k[/mm]. [..]
> Diese Umformung ist fast richtig. Es gilt im allgemeinen:
> [mm]t_n\left(\vartheta\right) := a_0 + \sum_{k=1}^{n}2{a_{k}\cos\left(k\vartheta\right)} + \sum_{k=1}^{n}2{b_k\sin\left(k\vartheta\right)}[/mm]
>
> Dabei ist [mm]a_k=\bruch{c_k+c_{-k}}2[/mm] und
> [mm]b_k=\bruch{c_k-c_{-k}}2[/mm].
Also dann ... mal sehen wie weit ich jetzt komme:
Sei:
[mm]t_n\left(\vartheta\right) := a_0 + \sum_{k=1}^{n}{2a_k\cos\left(k\vartheta\right)} + \sum_{k=1}^{n}{2b_k\sin\left(k\vartheta\right)}[/mm]
ein gerades trigonometrisches Polynom mit
[mm] $a_k [/mm] := [mm] \frac{c_k + c_{-k}}{2},\ b_k [/mm] := [mm] \frac{c_k-c_{-k}}{2}\textrm{ und }c_k [/mm] = [mm] c_{-k}$
[/mm]
Dann gilt:
[mm]t_n\left(\vartheta\right) = a_0 + \sum_{k=1}^{n}{2a_k\cos\left(k\vartheta\right)} + \sum_{k=1}^{n}{2b_k\sin\left(k\vartheta\right)} = a_0 + \sum_{k=1}^{n}{2a_k\cos\left(k\vartheta\right)}[/mm]
und für [mm] $p_n\left(x\right)$ [/mm] gilt ja:
[mm] $p_n\left(\cos\vartheta\right) [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n}{a_k\cos^k\vartheta}$
[/mm]
Vom Aussehen her scheinen sich [mm] $t_n$ [/mm] und [mm] $p_n$ [/mm] ja bereits zu ähneln. Aber was mache ich mit [mm] $\cos^k\vartheta$? [/mm] Die Tchebychev-Polynome müssen jetzt wohl irgendwie benutzt werden, aber wie... ?
Danke für die Hilfe!
Grüße
Karl
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Hallo Karl!
> Vom Aussehen her scheinen sich [mm]t_n[/mm] und [mm]p_n[/mm] ja bereits zu
> ähneln. Aber was mache ich mit [mm]\cos^k\vartheta[/mm]? Die
> Tchebychev-Polynome müssen jetzt wohl irgendwie benutzt
> werden, aber wie... ?
Zum einen heißt es ja eigentlich [mm] $\cos(k\theta)$ [/mm] nicht [mm] $\cos^k(\theta)$. [/mm] Und jetzt benutze, dass [mm] $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$...
[/mm]
Gruß, banachella
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