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| Aufgabe | Bestimmen Sie das Spektrum der Funktion
[mm] f(x)=\wurzel{1-cos(x)} [/mm] und glatt |
Hallo ihr,
erweitert man die Funktion [mm] f(x)=\wurzel{1-cos(x)} [/mm] so erhält man [mm] \wurzel{2}*\wurzel{\bruch{1-cos(x)}{2}} [/mm] was dann [mm] \wurzel{2}*sin\bruch{x}{2} [/mm] ergibt. An dieser Stelle bin ich mir nicht sicher ob es nicht sogar [mm] \wurzel{2}*\pm sin\bruch{x}{2} [/mm] ist. Ebenfalls bin ich mir nicht sicher, ob es sich um eine Punktsymmetrie handelt.
Jedenfalls [mm] \wurzel{2}*sin\bruch{x}{2} [/mm] in die Gleichung der Teilschwingung [mm] a_{k} [/mm] und [mm] b_{k}. [/mm]
[mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{\wurzel{2}*sin(\bruch{x}{2}) * cos(kx) dx}
[/mm]
[mm] b_{k}=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{\wurzel{2}*sin(\bruch{x}{2}) * sin(kx) dx}
[/mm]
Für beide Werte bekomme ich 0, was allerdings eigenartig ist, seit denn ich muss tatsächlich noch [mm] \wurzel{2}*-sin\bruch{x}{2} [/mm] einsetzten. Muss ich das noch zusätzlich?
Vielen Dank.. naomi
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> Bestimmen Sie das Spektrum der Funktion
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> [mm]f(x)=\wurzel{1-cos(x)}[/mm] und glatt
> Hallo ihr,
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> erweitert man die Funktion [mm]f(x)=\wurzel{1-cos(x)}[/mm] so erhält
> man [mm]\wurzel{2}*\wurzel{\bruch{1-cos(x)}{2}}[/mm] was dann
> [mm]\wurzel{2}*sin\bruch{x}{2}[/mm] ergibt. An dieser Stelle bin ich
> mir nicht sicher ob es nicht sogar [mm]\wurzel{2}*\pm sin\bruch{x}{2}[/mm]
> ist. Ebenfalls bin ich mir nicht sicher, ob es sich um eine
> Punktsymmetrie handelt.
Was allgemein gilt ist [mm] $\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos(x)}{2}$, [/mm] bzw. [mm] $\big|\sin\frac{x}{2}\big|=\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}}$.
[/mm]
Also ist [mm] $f(x)=\sqrt{2}\cdot\big|\sin\frac{x}{2}\big|$
[/mm]
(dass $f(x)$ stets [mm] $\geq [/mm] 0$ ist, zeigt ja die Form [mm] $f(x)=\sqrt{1-\cos(x)}$ [/mm] auch schon deutlich genug.
> Jedenfalls [mm]\wurzel{2}*sin\bruch{x}{2}[/mm] in die Gleichung der
> Teilschwingung [mm]a_{k}[/mm] und [mm]b_{k}.[/mm]
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> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{\wurzel{2}*sin(\bruch{x}{2}) * cos(kx) dx}[/mm]
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> [mm]b_{k}=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{\wurzel{2}*sin(\bruch{x}{2}) * sin(kx) dx}[/mm]
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> Für beide Werte bekomme ich 0, was allerdings eigenartig
> ist, seit denn ich muss tatsächlich noch
> [mm]\wurzel{2}*-sin\bruch{x}{2}[/mm] einsetzten. Muss ich das noch
> zusätzlich?
Die Funktion $f(x)$ ist gerade, also müssen die [mm] $b_k=0$ [/mm] sein, weil ihr Integrand [mm] $f(x)\sin(kx)$ [/mm] ungerade und wegen des zum Ursprung symmetrischen Integrationsbereiches das Integral $=0$ sein muss.
Nicht so bei den [mm] $a_k$. [/mm] Dort ist der Integrand [mm] $f(x)\cos(kx)$ [/mm] gerade, so dass Du anstelle von [mm] $\int_{-\pi}^{+\pi}$ [/mm] auch [mm] $2\cdot \int_0^{+\pi}$ [/mm] nehmen kannst (was Dir erlaubt, den Betrag in [mm] $f(x)=\sqrt{2}\big|\sin\frac{x}{2}\big|$ [/mm] wegzulassen).
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