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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Mi 06.02.2008 | | Autor: | maniche |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich habe es mal hochgeladen und ich weiß einfach nicht, wie die auf das [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] und [mm] \integral_{0}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] kommen. ist das ne normale Umformung oder nehmen die das aus den vorgegebenen Grenzen ?
( ich hab gesucht, aber nicht gefunden, wo ich hier Bilder hochladen kann )
mfg und danke
maniche
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Mi 06.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe es mal hochgeladen und ich weiß einfach nicht, wie
> die auf das [mm]\bruch{2}{\pi}[/mm] und [mm]\integral_{0}^{\pi}{f(x) dx}[/mm]
> kommen. ist das ne normale Umformung oder nehmen die das
> aus den vorgegebenen Grenzen ?
Der Integrand ist ungerade ($f(-x) =f(x)$), daher gilt für beliebige Integrale mit der Substitution [mm] $x\mapsto [/mm] -x$:
$ [mm] \integral_a^b [/mm] f(x) dx = [mm] -\integral_{-a}^{-b} [/mm] f(-x) dx = [mm] \integral_{-b}^{-a} [/mm] f(x) dx $.
Angewendet auf den Spezialfall [mm] $a=-\pi, [/mm] b=0$ bekomst du die angegebene Identität.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mi 06.02.2008 | | Autor: | maniche |
wieso bei mir a = [mm] -\pi [/mm] und b = 0
a ist doch [mm] -\pi [/mm] und b = [mm] \pi
[/mm]
was ist mit den [mm] \bruch{2}{\pi } [/mm] vorm integralzeichen
mfg und danke maniche
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
setze mal [mm] $g(x):=f(x)*\sin(nx)$. [/mm] Nach Voraussetzung ist $f$ ungerade ($f(-x)=-f(x)$), weiterhin gilt das auch für $x [mm] \mapsto \sin(nx)$ [/mm] (Es gilt nämlich [mm] $\sin(n*(-x))=\sin(-nx)=-\sin(nx)$). [/mm]
Konsequenz:
Die Funktion $g$ ist gerade.
(Denn:
[mm] $g(-x)=f(-x)*\sin(n*(-x))=-f(x)*(-\sin(nx))=f(x)\sin(nx)=g(x)$)
[/mm]
Also steht dort:
(+) [mm] $\frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^\pi f(x)*\sin(nx)dx}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi [/mm] {g(x)dx}$
Und nun gilt:
[mm] $(\*)$ $\int_{-\pi}^{\pi} {g(x)dx}=\int_{-\pi}^0 {g(x)dx}+\int_{0}^\pi [/mm] {g(x)dx}$
Jetzt kann man sich entweder geometrisch klarmachen, dass für gerade Funktionen gilt:
[mm] $\int_0^r {g(x)dx}=\int_{-r}^0 [/mm] {g(x)dx}$
Oder wir machen in [mm] $(\*)$ [/mm] bei dem linken Integral nach dem Gleichheitszeichen die Substitution $t:=-x$, dann folgt (beachte, dass [mm] $\frac{dx}{dt}=-1$):
[/mm]
[mm] $\int_{-\pi}^{\pi} {g(x)dx}=\int_{-\pi}^0 {g(x)dx}+\int_{0}^\pi {g(x)dx}=\int_{\pi}^{-0} [/mm] {g(-t) [mm] *(-1)dt}+\int_{0}^\pi {g(x)dx}=-\int_{\pi}^{0} {\underbrace{g(-t)}_{=g(t)} *dt}+\int_{0}^\pi [/mm] {g(x)dx}$ [mm] $(\*\*)$
[/mm]
Weiterhin sollte bekannt sein, dass [mm] $-\int_b^a {h(r)dr}=\int_a^b [/mm] {h(r)dr}$, damit folgt dann aus [mm] $(\*)$ [/mm] mit [mm] $(\*\*)$
[/mm]
[mm] $\int_{-\pi}^{\pi} {g(x)dx}=-\int_{\pi}^{0} {\underbrace{g(-t)}_{=g(t)} *dt}+\int_{0}^\pi {g(x)dx}=\int_0^\pi {g(t)dt}+\int_{0}^\pi {g(x)dx}=2*\int_{0}^\pi [/mm] {g(x)dx}$ [mm] $(\*\*\*)$
[/mm]
Setzen wir [mm] $(\*\*\*)$ [/mm] in (+) ein:
[mm] $\frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^\pi f(x)*\sin(nx)dx}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi {g(x)dx}=\frac{1}{\pi}*2*\int_{0}^\pi [/mm] {g(x)dx}$
Erinnerung: Es war [mm] $g(x)=f(x)\sin(nx)$, [/mm] also:
[mm] $\frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^\pi f(x)*\sin(nx)dx}=\frac{2}{\pi}*\int_{0}^\pi {f(x)\sin(nx)dx}$
[/mm]
Übrigens:
Ich würde Dir einfach mal empfehlen, Dir nochmal klarzumachen, wie Integrale der Art [mm] $\int_{-r}^r [/mm] {h(t)dt}$ ($r [mm] \in \IR$ [/mm] fest) aussehen, falls:
1.) $h$ eine gerade Funktion ist
2.) $h$ eine ungerade Funktion ist
Denn meine Rechnung oben ist im Prinzip der Beweis dafür, dass bei 1.) (also im Fall, dass $h$ eine gerade Funktion ist) dann
[mm] $\int_{-r}^r {h(t)dt}=2*\int_0^r [/mm] {h(t)dt}$
herauskommt. Das kann man sich aber auch ohne jede Rechnung einfach klarmachen, wenn man für eine gerade Funktion den Graphen von $h$ zeichnet und das Integral als den Flächeninhalt, den die Kurve mit der $x$-Achse einschließt, zu interpretieren weiß.
Im 2.) Falle wird das Integral von $-r$ bis $r$ über (ungerades) $h$ dann den Wert $0$ haben, da der eine Flächeninhalt in der oberen, der andere aber in der unteren Halbebene liegt...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Mi 06.02.2008 | | Autor: | maniche |
oh super, ich habe es jetzt mit dem aufzeichnen verstanden, denn es ist ja völlig egal ob ich den flächeninhalt von - [mm] \pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] betrachte oder eben 2x den von 0 bis [mm] \pi [/mm] nehme.
vielen dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo maniche,
> oh super, ich habe es jetzt mit dem aufzeichnen verstanden,
> denn es ist ja völlig egal ob ich den flächeninhalt von -
> [mm]\pi[/mm] bis [mm]\pi[/mm] betrachte oder eben 2x den von 0 bis [mm]\pi[/mm]
> nehme.
ja, ich bin kein großer "Verfechter" der Geometrie, daher wäre es mir eigentlich lieber, Du würdest auch die obige "Rechnung" mit der Substitution nachvollziehen, aber hier kann man durchaus eine Ausnahme machen:
Geometrisch ist das vollkommen klar, und mittels einer einfachen Skizze ist die Formel schnell wieder im Gedächtnis. Formal beweist man es halt, wie oben, mit Aufspaltung ("Halbieren") des Integrals und einer einfachen Substitution.
Also:
Bei Integralen über gerade oder ungerade Funktionen hilft Dir ggf. eine schnelle, einfache Skizze, wenn Du sowas mal wieder nicht siehst oder es durcheinander wirfst 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo rainer,
> Der Integrand ist ungerade ([mm]\red{f(-x) =f(x)}[/mm]), daher gilt für
> beliebige Integrale mit der Substitution [mm]x\mapsto -x[/mm]:
>
> [mm]\integral_a^b f(x) dx = -\integral_{-a}^{-b} f(-x) dx = \integral_{-b}^{-a} f(x) dx [/mm].
>
> Angewendet auf den Spezialfall [mm]a=-\pi, b=0[/mm] bekomst du die
> angegebene Identität.
ungerade: $f(-x)=-f(x)$ für alle $x$
gerade: $f(-x)=f(x)$ für alle $x$
Du wolltest aber wohl daraus hinaus, dass hier $f$ ungerade ist und damit $x [mm] \mapsto f(x)*\sin(nx)$ [/mm] als Produkt ungerader Funktionen gerade ist.
Diese Integralgleichheit:
[mm] $\integral_a^b [/mm] f(x) dx = [mm] -\integral_{-a}^{-b} [/mm] f(-x) dx = [mm] \integral_{-b}^{-a} [/mm] f(x) dx$
gilt aber in der Tat für [mm] $\underline{\mbox{gerades}}$ [/mm] $f$, aber in der Aufgabe ist $g$ (Definition davon: siehe anderen Post meinerseits) gerade, dort würde dann gelten:
[mm] $\int_a^b {g(x)dx}=-\int_{-a}^{-b} {g(-t)dt}=\int_{-b}^{-a} [/mm] g(t)dt$
Mit [mm] $a=-\pi$ [/mm] und $b=0$ folgte dann
[mm] $\int_{-\pi}^0 {g(x)dx}=\int_{0}^{-(-\pi)}{g(t)dt}=\int_{0}^\pi{g(x)dx}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Mi 06.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marcel!
Du hast natürlich völlig recht: ich meinte, da f ungerade ist, ist der Integrand gerade, und für gerade Funktionen gilt die Identität.
Viele Grüße
Rainer
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