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| Aufgabe | Wie lautet das Fourier- Transformierte folgender Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } -a \le x \le a \\ 0, & \mbox{für } x<-a , x>a \end{cases} [/mm] |
Jetzt hab ich schonmal das Transformationsintegral aufgestellt:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}*\integral_{-a}^{a}{x*e^iux dx}
[/mm]
jetzt hab ich aber das Problem, das ich beim bilden der Stammfunktion in stolpern gerate.
Wenn ich das mit partieller Integration mache und e^iux als v' wähle komm ich zu keinem sinnvollen Ergebnis.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wie lautet das Fourier- Transformierte folgender Funktion:
> [mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } -a \le x \le a \\ 0, & \mbox{für } x<-a , x>a \end{cases}[/mm]
>
> Jetzt hab ich schonmal das Transformationsintegral
> aufgestellt:
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}*\integral_{-a}^{a}{x*e^iux dx}[/mm]
>
> jetzt hab ich aber das Problem, das ich beim bilden der
> Stammfunktion in stolpern gerate.
> Wenn ich das mit partieller Integration mache und e^iux
> als v' wähle komm ich zu keinem sinnvollen Ergebnis.
Wie wär's mit folgender Idee:
[mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-a}^{a} x\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}ux}\;dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-a}^a \frac{1}{\mathrm{i}} \frac{d}{du}\mathrm{e}^{\mathrm{i}ux}\; dx = \frac{1}{\mathrm{i}\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{d}{du} \int_{-a}^a \mathrm{e}^{\mathrm{i}u x}\; dx = \frac{1}{\mathrm{i}\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{d}{du} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}ua}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}ua}}{\mathrm{i}u}=\ldots [/mm]
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mhhh.. das sieht schon mal besser aus als mein Ansatz 
allerdings versteh ich deinen 1.Schritt nich [mm] (\bruch{1}{i}*\bruch{d}{du}). [/mm] Wieso kann man das so machen?
Und wie bekommt man in deinem letzten Schritt denn dann das du wieder weg?
Die schlussendliche Transformation müsste doch irgentwas mit sin od. cos ergeben.
Sry für meine doofen Fragen... weiß aber echt nich weiter.
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> mhhh.. das sieht schon mal besser aus als mein Ansatz
> allerdings versteh ich deinen 1.Schritt nich
> [mm](\bruch{1}{i}*\bruch{d}{du}).[/mm] Wieso kann man das so
> machen?
Rechne doch nach: was ist [mm] $\frac{1}{\mathrm{i}}\frac{d}{du}\mathrm{e}^{\mathrm{i}ux}$? [/mm] Das gibt doch aufgrund der Kettenregel: [mm] $\frac{1}{\mathrm{i}}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}ux}\cdot \mathrmm{i}x=x\mathrm{e}^{\mathrm{i}ux}$. [/mm] Und dies war doch Dein ursprünglicher Integrand. (Deshalb gilt das erste Gleichheitszeichen meines Vorschlags.)
Aber wichtiger als dieser Kleinkram ist die Frage, ob Du mit der Grundidee einverstanden bist: Vertauschung von Integral und Ableitung. Dies ermöglicht eben die vergleichsweise einfache Berechnung des Wertes des Integrals, das Dir Bauchschmerzen bereitet hat.
> Und wie bekommt man in deinem letzten Schritt denn dann
> das du wieder weg?
Indem Du eben den Bruchterm (aufgefasst als Funktion von $u$), der nach [mm] $\frac{d}{du}$ [/mm] kommt, nach $u$ ableitest.
> Die schlussendliche Transformation müsste doch irgentwas mit sin od. cos ergeben.
Es bestehen bekanntlich gewisse Beziehungen zwischen [mm] $\sin$, $\cos$ [/mm] und der Exponentialfunktion. Den Bruchterm nach [mm] $\frac{d}{du}$ [/mm] kannst Du anstelle der Exponentialfunktion mit [mm] $\sin$ [/mm] alleine ausdrücken. Aber vielleicht leitest Du besser zuerst nach $u$ ab und gehst erst danach zum Sinus über.
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ich steh irgentwie immernoch auf dem Schlauch..
wenn ich [mm] \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}ua}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}ua}}{\mathrm{i}u}
[/mm]
durch den sinus ausdrücken will, bekomm ich doch [mm] \bruch{2*\sin(ua)}{u} [/mm] denn es gilt
[mm] \sin(x)=\bruch{1}{2i}*(e^{ix}-e^{-ix})
[/mm]
is das denn so richtig?
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> ich steh irgentwie immernoch auf dem Schlauch..
Lass Dich von einer solchen (zwar verständlichen) Unsicherheit beim Aufgabenlösen nicht zu sehr bremsen und rechne doch einfach weiter bis zum Ende.
> wenn ich
> [mm]\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}ua}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}ua}}{\mathrm{i}u}[/mm]
> durch den sinus ausdrücken will, bekomm ich doch
> [mm]\bruch{2*\sin(ua)}{u}[/mm] denn es gilt
> [mm]\sin(x)=\bruch{1}{2i}*(e^{ix}-e^{-ix})[/mm]
> is das denn so richtig?
Ich denke schon - hoffe aber, das auch noch andere Leser mitdenken: damit ich Dich nicht etwa in eine Sackgasse manövriere.
Nachtrag: Dass die Transformierte imaginär wird, ist richtig (ist immer so, wenn die Funktion reell und ungerade ist). Was mich aber ein klein wenig irritiert, ist Dein Ansatz für das Transformationsintegral (der übrigens in Deiner ursprünglichen Frage nicht richtig lesbar war):
[mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-a}^{a} x\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}ux}\;dx[/mm]
Es gibt leider so ziemlich jede unerhebliche Variante des Transformationsintegrals, aber ich hätte doch eher noch ein Minus im Exponenten dazugegeben:
[mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-a}^{a} x\cdot \mathrm{e}^{\red{-}\mathrm{i}ux}\;dx[/mm]
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ich bin schon überzeugt das mein Integral stimmt.
Denn das integral was du meinst mit dem minus, ist das Inverse der Fourier Transformation (F^-1)
Ich hab das jetzt mal ausgerechnet und bekomme da folgendes raus:
[mm] \frac{1}{\mathrm{i}\sqrt{2\pi}}*\left( \bruch{2a\cos(au)}{u}- \bruch{2\sin(au)}{u^2} \right)
[/mm]
Ist das so richtig oder seht ihr da noch einen Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Blech |
Ich hätte auch gesagt, daß es [mm]\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x} dx[/mm] sein sollte.
Außerdem sehe ich auch nicht wirklich, warum partielle Integration nicht funktionieren soll:
[mm]\int_{-a}^a x e^{-i\omega x} dx = \left.\frac{x e^{-i\omega x}}{-i\omega}\right|_{-a}^a - \int_{-a}^a \frac{e^{-i\omega x}}{-i\omega}dx =
-\frac{a}{i\omega}(e^{i\omega a} + e^{-i\omega a}) - \frac{1}{\omega^2}(e^{-i\omega a} - e^{i\omega a}) \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \cdot = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{i}{\omega}(a \cos\omega a + \frac{1}{\omega}\sin\omega a)[/mm]
Was, bis auf Vorzeichen wg. des Minus im Exponenten, das gleiche Ergebnis zu sein scheint und das mit einem Schritt partielle Integration.
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> ich bin schon überzeugt das mein Integral stimmt.
Ok, ok, ok...
> Denn das integral was du meinst mit dem minus, ist das
> Inverse der Fourier Transformation (F^-1)
Also ja, wenn man das Transformationsintegral so defniert, wie Du es gerechnet hast, dann hat das Integral für die inverse Fouriertransformation ein Minus im Exponenten. Ich hatte dies zwar vermutet, war mir aber nicht ganz sicher, wie für Dich das Transformationsintegral eingeführt wurde.
Dies wird halt verschiedentlich umgekehrt vereinbart: dann hat das Transformationsintegral ein Minus im Exponenten und dafür das Integral der inversen Transformation nicht.
> Ich hab das jetzt mal ausgerechnet und bekomme da folgendes
> raus:
> [mm]\frac{1}{\mathrm{i}\sqrt{2\pi}}*\left( \bruch{2a\cos(au)}{u}- \bruch{2\sin(au)}{u^2} \right)[/mm]
>
> Ist das so richtig oder seht ihr da noch einen Fehler?
Nein, ich sehe keinen Fehler, hätte aber selbst wahrscheinlich die imaginäre Einheit durch Erweitern mit [mm] $\mathrm{i}$ [/mm] aus dem Nenner in den Zähler geholt (ist irgend so ein Spleen von mir).
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Danke nochmal für eure super Hilfe!!!
Ihr macht das echt klasse!!!
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