Fourierkoeffizienten < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:55 So 07.02.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | Gegeben sei f : [0; 2[ [mm] \rightarrow \IR [/mm] mit
[mm] f(n)=\begin{cases} x, & \mbox 0\le x\le1 \\ 1, & \mbox 1\le x<2 \end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie den n-ten Fourierkoeffizienten der periodischen Fortsetzung
von f auf [mm] \IR. [/mm] |
Also wenn die Aufgabe nur f(x)=x, 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 wäre, wüsste ich ganz genau, wie man das macht, aber was mache ich denn mit dem Intervall von 1 bis 2?
[mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] kann ich für den bereich 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 berechnen, aber die fourierreihe damit approximiert dieses stück konstante funktion ja nicht, kann ich einfach 2 mal das integral ansetzen? von 0 bis 1 und dann von 1 bis 2? danach addieren?
wäre sehr dankbar für einen tipp!
|
|
| |
|
> Gegeben sei f : [0; 2[ [mm]\rightarrow \IR[/mm] mit
> [mm]f(n)=\begin{cases} x, & \mbox 0\le x\le1 \\ 1, & \mbox 1\le x<2 \end{cases}[/mm]
>
> Berechnen Sie den n-ten Fourierkoeffizienten der
> periodischen Fortsetzung
> von f auf [mm]\IR.[/mm]
> Also wenn die Aufgabe nur f(x)=x, 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 wäre,
> wüsste ich ganz genau, wie man das macht, aber was mache
> ich denn mit dem Intervall von 1 bis 2?
>
> [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] kann ich für den bereich 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
> berechnen, aber die fourierreihe damit approximiert dieses
> stück konstante funktion ja nicht, kann ich einfach 2 mal
> das integral ansetzen? von 0 bis 1 und dann von 1 bis 2?
> danach addieren?
Hallo,
ja, genau.
Für [mm] a_n [/mm] hat man
[mm] \displaystyle a_n=\int_{0}^{2} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t =\int_{0}^{1} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t +\int_{1}^{2} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t [/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 07.02.2010 | | Autor: | johnyan |
$ [mm] \displaystyle a_n=\int_{0}^{2} [/mm] $ f(t) $ [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t =\int_{0}^{1} [/mm] $ f(t) $ [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t +\int_{1}^{2} [/mm] $ f(t) $ [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t [/mm] $
fehlt da nicht noch 2/T jeweils vor dem Integral? und wenn ich das integral aufteile, kommt jeweils 2/T oder 2/2T davor? weil die integralgrenzen nicht eine ganze periode erfassen. oder ist es so, dass du gleich 2/T=2/2=1 berechnet hast und die 1 nicht explizit hingeschrieben hast.
|
|
|
| |
|
> [mm]\displaystyle a_n=\int_{0}^{2}[/mm] f(t) [mm]\cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t =\int_{0}^{1}[/mm]
> f(t) [mm]\cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t +\int_{1}^{2}[/mm] f(t)
> [mm]\cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t[/mm]
>
> fehlt da nicht noch 2/T jeweils vor dem Integral? und wenn
> ich das integral aufteile, kommt jeweils 2/T oder 2/2T
> davor? weil die integralgrenzen nicht eine ganze periode
> erfassen. oder ist es so, dass du gleich 2/T=2/2=1
> berechnet hast und die 1 nicht explizit hingeschrieben
> hast.
So ist es, und Du bist mir ja exakt auf die Schliche gekommen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 So 07.02.2010 | | Autor: | johnyan |
ok, nach der berechnung stelle ich fest dass
$ [mm] \int_{1}^{2} [/mm] $ f(t) $ [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t [/mm] $
ja, wegfällt, f(t) ist ja 1, und weil die stammfunktion sin ist und [mm] \omega=2\pi/T=\pi [/mm] ist. somit hat man [mm] \bruch{-sin(k*\pi)+sin(2*k*\pi)}{(k*\pi)}, [/mm] was ja immer null ist.
übrig bleibt also nur noch
[mm] \int_{0}^{1} $f(t)$\cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t [/mm]
und das approximiert dieses stück konstante funktion wieder nicht mehr (hab das nochmal zeichnen lassen und es sind nur "zacken")
|
|
|
| |
|
> ok, nach der berechnung stelle ich fest dass
> [mm]\int_{1}^{2}[/mm] f(t) [mm]\cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t[/mm]
> ja, wegfällt, f(t) ist ja 1, und weil die stammfunktion
> sin ist und [mm]\omega=2\pi/T=\pi[/mm] ist. somit hat man
> [mm]\bruch{-sin(k*\pi)+sin(2*k*\pi)}{(k*\pi)},[/mm] was ja immer
> null ist.
>
> übrig bleibt also nur noch
>
> [mm]\int_{0}^{1}[/mm] [mm]f(t)[/mm][mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t[/mm]
>
> und das approximiert dieses stück konstante funktion
> wieder nicht mehr (hab das nochmal zeichnen lassen und es
> sind nur "zacken")
Hallo,
ich weiß jetzt gar nicht recht, was Du meinst.
Es wäre doch dann
> [mm]\int_{0}^{1}[/mm] [mm]f(t)[/mm][mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t[/mm]
der Koeffizient [mm] a_n.
[/mm]
Wie soll der was approximieren?
Du brauchst doch noch die [mm] b_n, [/mm] und approximieren tun dann die Partialsummen der Fourierreihe.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 So 07.02.2010 | | Autor: | johnyan |
hab gerade gemerkt, dass ich einen fehler in der rechnung von [mm] b_n [/mm] hatte, entschuldigung. alles bestens, danke!
|
|
|
|
