Fourierreihe bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] durch
[mm] $f(x)=\frac{(x-\pi)^2}{4}, x\in [0,2\pi]$
[/mm]
Bestimmen Sie die Fourierreihe $S(x)$. |
Hallo,
da es eine gerade Funktion ist, reicht es aus [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_k$ [/mm] zu berrechnen.
[mm] $a_0=\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{\frac{(x-\pi)^2}{4} dx}=\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{\frac{(u)^2}{4} du}=\frac{1}{4\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{u^2 du}=\frac{1}{4\pi}*\frac{1}{3}*\left[ u^3\right]^{2\pi}_0=\frac{1}{12\pi}*\left[ (x-\pi)^3 \right]^{2\pi}_0=\frac{2\pi^2}{12}$
[/mm]
Jetzt [mm] $a_k$:
[/mm]
[mm] $a_k=\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{\frac{(x-\pi)^2}{4}*cos(kx) dx}=\frac{1}{4\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{u^2*cos(kx) du}=\frac{1}{4\pi}\left(\left[u^2*1/k*sin(kx)\right]^{2\pi}_0-\integral_{0}^{2\pi}{2u*1/k*sin(kx) du}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{4k\pi}\left(0-\integral_{0}^{2\pi}{2u*sin(kx) du}\right)=-\frac{1}{4k\pi}\left(\left[-2u*1/k*cos(kx)\right]^{2\pi}_0-\integral_{0}^{2\pi}{-2*1/k*cos(kx) dx}\right)$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{4k^2\pi}\left(\left[-2(x-\pi)*cos(kx)\right]^{2\pi}_0+2\integral_{0}^{2\pi}{cos(kx) dx}\right)=-\frac{1}{4k^2\pi}\left( -4\pi+2\left[1/k*sin(kx)\right]^{2\pi}_0\right)$
[/mm]
[mm] $=-\frac{2}{4k^2\pi}\left(\frac{-2k\pi}{k}+\frac{1}{k}\left[sin(kx)\right]^{2\pi}_0\right)=-\frac{2}{4k^3\pi}\left(-2k\pi +0\right)=\frac{1}{k^2}=a_k$
[/mm]
[mm] $S(x)=\frac{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}(a_k*cos(kx))$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{2\pi^2}{24}+\summe_{k=1}^{\infty}\frac{cos(kx)}{k^2}$
[/mm]
Wäre nett wenn mal jemand drüberschauen kann ob alles korrekt ist. Habe hoffentlich keine Fehler beim eintippen gemacht. Danke schonmal für Tipps.
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Hallo Troli,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm] durch
> [mm]f(x)=\frac{(x-\pi)^2}{4}, x\in [0,2\pi][/mm]
> Bestimmen Sie die
> Fourierreihe [mm]S(x)[/mm].
> Hallo,
>
> da es eine gerade Funktion ist, reicht es aus [mm]a_0[/mm] und [mm]a_k[/mm]
> zu berrechnen.
>
> [mm]a_0=\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{\frac{(x-\pi)^2}{4} dx}=\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{\frac{(u)^2}{4} du}=\frac{1}{4\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{u^2 du}=\frac{1}{4\pi}*\frac{1}{3}*\left[ u^3\right]^{2\pi}_0=\frac{1}{12\pi}*\left[ (x-\pi)^3 \right]^{2\pi}_0=\frac{2\pi^2}{12}[/mm]
>
Hier hast Du offenbar [mm]u:=x-\pi[/mm] gesetzt.
Dann lautet das aber so:
[mm]a_0=\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{\frac{(x-\pi)^2}{4} dx}=\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{\frac{(u)^2}{4} \ d\blue{x}}=\frac{1}{4\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{u^2 du}=\frac{1}{4\pi}*\frac{1}{3}*\left[ u^3\right]^{2\pi}_0=\frac{1}{12\pi}*\left[ (x-\pi)^3 \right]^{2\pi}_0=\frac{2\pi^2}{12}[/mm]
> Jetzt [mm]a_k[/mm]:
>
> [mm]a_k=\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{\frac{(x-\pi)^2}{4}*cos(kx) dx}=\frac{1}{4\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{u^2*cos(kx) du}=\frac{1}{4\pi}\left(\left[u^2*1/k*sin(kx)\right]^{2\pi}_0-\integral_{0}^{2\pi}{2u*1/k*sin(kx) du}\right)[/mm]
>
Analog hier:
[mm]a_k=\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{\frac{(x-\pi)^2}{4}*cos(kx) dx}=\frac{1}{4\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{u^2*cos(kx) \ d\blue{x}}=\frac{1}{4\pi}\left(\left[u^2*1/k*sin(kx)\right]^{2\pi}_0-\integral_{0}^{2\pi}{2u*1/k*sin(kx) \ d\blue{x}}\right)[/mm]
> [mm]=\frac{1}{4k\pi}\left(0-\integral_{0}^{2\pi}{2u*sin(kx) du}\right)=-\frac{1}{4k\pi}\left(\left[-2u*1/k*cos(kx)\right]^{2\pi}_0-\integral_{0}^{2\pi}{-2*1/k*cos(kx) dx}\right)[/mm]
>
Und hier:
[mm]=\frac{1}{4k\pi}\left(0-\integral_{0}^{2\pi}{2u*sin(kx) \ d\blue{x}}\right)=-\frac{1}{4k\pi}\left(\left[-2u*1/k*cos(kx)\right]^{2\pi}_0-\integral_{0}^{2\pi}{-2*1/k*cos(kx) dx}\right)[/mm]
> [mm]=-\frac{1}{4k^2\pi}\left(\left[-2(x-\pi)*cos(kx)\right]^{2\pi}_0+2\integral_{0}^{2\pi}{cos(kx) dx}\right)=-\frac{1}{4k^2\pi}\left( -4\pi+2\left[1/k*sin(kx)\right]^{2\pi}_0\right)[/mm]
>
> [mm]=-\frac{2}{4k^2\pi}\left(\frac{-2k\pi}{k}+\frac{1}{k}\left[sin(kx)\right]^{2\pi}_0\right)=-\frac{2}{4k^3\pi}\left(-2k\pi +0\right)=\frac{1}{k^2}=a_k[/mm]
>
>
> [mm]S(x)=\frac{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}(a_k*cos(kx))[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{2\pi^2}{24}+\summe_{k=1}^{\infty}\frac{cos(kx)}{k^2}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wäre nett wenn mal jemand drüberschauen kann ob alles
> korrekt ist. Habe hoffentlich keine Fehler beim eintippen
> gemacht. Danke schonmal für Tipps.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Trolli |
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> Hier hast Du offenbar [mm]u:=x-\pi[/mm] gesetzt.
>
> Dann lautet das aber so:
>
> [mm]a_0=\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{\frac{(x-\pi)^2}{4} dx}=\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{\frac{(u)^2}{4} \ d\blue{x}}=\frac{1}{4\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{u^2 du}=\frac{1}{4\pi}*\frac{1}{3}*\left[ u^3\right]^{2\pi}_0=\frac{1}{12\pi}*\left[ (x-\pi)^3 \right]^{2\pi}_0=\frac{2\pi^2}{12}[/mm]
>
>
Kannst du das bitte noch kurz begründen. Da beim substituieren $dx=du$ ist, habe ich sonst immer $du$ geschrieben, da das Integral ja jetzt von u abhängig ist. Warum muss ich $dx$ schreiben?
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Hallo Trolli,
> >
> >
> > Hier hast Du offenbar [mm]u:=x-\pi[/mm] gesetzt.
> >
> > Dann lautet das aber so:
> >
> > [mm]a_0=\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{\frac{(x-\pi)^2}{4} dx}=\frac{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{\frac{(u)^2}{4} \ d\blue{x}}=\frac{1}{4\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{u^2 du}=\frac{1}{4\pi}*\frac{1}{3}*\left[ u^3\right]^{2\pi}_0=\frac{1}{12\pi}*\left[ (x-\pi)^3 \right]^{2\pi}_0=\frac{2\pi^2}{12}[/mm]
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> >
> >
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> Kannst du das bitte noch kurz begründen. Da beim
> substituieren [mm]dx=du[/mm] ist, habe ich sonst immer [mm]du[/mm]
> geschrieben, da das Integral ja jetzt von u abhängig ist.
> Warum muss ich [mm]dx[/mm] schreiben?
>
Hier kannst Du für dx=du schreiben,
da Du nur u im Integranden hast.
In Deinen weiteren Berechnungen hast Du u und x im Integranden.
Wenn Du schon substituierst, dann auch das "x".
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Zeigen Sie für $x=0$ und [mm] $x=\pi$, [/mm] dass
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ [/mm] und [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$ [/mm] |
Ok, danke.
Hierbei bräuchte mal einen Anstoss wie man vorzugehen hat. Setze ich die x-Werte in mein [mm] $a_k$, [/mm] enstehen die obigen Summen. Aber wie komme ich auf die rechte Seite der Gleichung?
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Hallo Trolli,
> Zeigen Sie für [mm]x=0[/mm] und [mm]x=\pi[/mm], dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}[/mm]
> Ok, danke.
> Hierbei bräuchte mal einen Anstoss wie man vorzugehen
> hat. Setze ich die x-Werte in mein [mm]a_k[/mm], enstehen die obigen
> Summen. Aber wie komme ich auf die rechte Seite der
> Gleichung?
Auf der linken Seite setzt Du einen speziellen x-Wert ein,
um diese Reihe zu erhalten. Auf der rechten Seite ist der
Funktionswert dieses speziellen x-Wertes zu bilden.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mo 12.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du weisst doch dass die TR die Funktion ergibt, die du an jeder Stelle direkt ausrechnen kannst.
welches x musst du in die Reihe einsetzen damit $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}= [/mm] $ vorkommt? welches damit
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} [/mm] $ in der TR steht, die in die ursprüngliche fkt. einsetzen.
Gruss leduart
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