Fourierreihe entwickeln < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachten sie die auf [-2,2] definierte Funktion
[mm] f(n)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } x\ge0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ }\\ -2, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
und entwickeln Sie sie dort in eine Fourierreihe.
Ist die eine (un)gerade Funktion? |
Ungerade Funktion!
a0= 0
an=0, da ungerade sind alle cos teile o!
bn= [mm] 1/\pi*\integral_{0}^{2}{2*sin(n*\pi*x) dx}+1/\pi*\integral_{-2}^{0}{-2*sin(n*\pi*x) dx}=
[/mm]
[mm] 1/\pi* (-cos(n*\pi*x)/n [/mm] [fuer0-2] + [mm] (-cos(n*\pi*x)/n [/mm] [fuer(-2)-0]=
[mm] 1/(n*\pi)*[(-(1)^{n}+1)+ (-1-(-1)^{n}]=
[/mm]
Erster ausdruck immer 0, also:
[mm] -2/(\pi*n) [/mm] für n=2,4,6,8...
0 für n=1,3,5,7,9
Was sagst du dazu?
lg gernot2000
[mm] f\sim-2/(\pi*2)*sin2*\pi*x-2/(\pi*4)*sin4*\pi*x-2/(\pi*6)*sin6*\pi*x-...
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo gernot2000,
> Betrachten sie die auf [-2,2] definierte Funktion
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } x\ge0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ }\\ -2, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> und entwickeln Sie sie dort in eine Fourierreihe.
> Ist die eine (un)gerade Funktion?
>
>
> Ungerade Funktion!
> a0= 0
> an=0, da ungerade sind alle cos teile o!
>
Das stimmt.
> bn= [mm]1/\pi*\integral_{0}^{2}{2*sin(n*\pi*x) dx}+1/\pi*\integral_{-2}^{0}{-2*sin(n*\pi*x) dx}=[/mm]
>
Diese Formel stimmt nicht mehr.
> [mm]1/\pi* (-cos(n*\pi*x)/n[/mm] [fuer0-2] + [mm](-cos(n*\pi*x)/n[/mm]
> [fuer(-2)-0]=
> [mm]1/(n*\pi)*[(-(1)^{n}+1)+ (-1-(-1)^{n}]=[/mm]
>
> Erster ausdruck immer 0, also:
>
> [mm]-2/(\pi*n)[/mm] für n=2,4,6,8...
> 0 für n=1,3,5,7,9
>
> Was sagst du dazu?
>
Lies Dir mal ![[]](/images/popup.gif) dies durch.
> lg gernot2000
>
> [mm]f\sim-2/(\pi*2)*sin2*\pi*x-2/(\pi*4)*sin4*\pi*x-2/(\pi*6)*sin6*\pi*x-...[/mm]
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Okay, habs gelesen aber dennoch ist mir nicht klar wo der fehler liegt? Ich habe für f(x) einmal 2 und -2 eingesetzt und über den bereich integriert und nat. mit dem sinus, da ungerade multpliziert.
Wo liegt der fehler, ich seh ihn einfach nicht?
|
|
|
| |
|
Hallo gernot2000,
> Okay, habs gelesen aber dennoch ist mir nicht klar wo der
> fehler liegt? Ich habe für f(x) einmal 2 und -2 eingesetzt
> und über den bereich integriert und nat. mit dem sinus, da
> ungerade multpliziert.
> Wo liegt der fehler, ich seh ihn einfach nicht?
Die Berechnungsformel für die [mm]b_{n}[/mm] lautet:
[mm]b_{n}= \bruch{2}{\blue{4}}\cdot{}\integral_{0}^{2}{2\cdot{}sin(n\blue{\bruch{\pi}{2}}x) \ dx}+\bruch{2}{\blue{4}}\cdot{}\integral_{-2}^{0}{\left(-2\right)\cdot{}sin(n\blue{\bruch{\pi}{2}}x) \ dx} [/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ich hoffe jetzt bin ich auf dem richtigen weg:
2/T: in diesem fall ist T von -2 bis 2 also länge 4.
w= [mm] 2\pi/T [/mm] also [mm] 2\pi/4= \pi/2
[/mm]
Was anderes fällt mir nicht ein um das zu erlären??
|
|
|
| |
|
Hallo gernot2000,
> Ich hoffe jetzt bin ich auf dem richtigen weg:
>
> 2/T: in diesem fall ist T von -2 bis 2 also länge 4.
> w= [mm]2\pi/T[/mm] also [mm]2\pi/4= \pi/2[/mm]
>
> Was anderes fällt mir nicht ein um das zu erlären??
Jetzt bist Du auf dem richtigen Weg.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
hy MathePower!
Echt tausend dank, für deine HILFE!!!!!
Damit es mir endlich wirklich einleuchtet:
Warum hatten wir dann beim vorherigen Bsp
[mm] 1/\pi
[/mm]
dort war T von 0 bis , also 2
und [mm] w=2\pi/2 [/mm] also [mm] \pi, [/mm] ja das hatten wir aber,
ahhh, war deshalb [mm] 1/\pi [/mm] vor dem Integral weil du dachtest ich hätte das schon mal hingeschrieben, dashalb habe ich dauernd [mm] von1/\pi^{2} [/mm] gefaselt.
Lieg ich da richtig???
lg gernot
|
|
|
| |
|
Hallo gernot2000,
> hy MathePower!
> Echt tausend dank, für deine HILFE!!!!!
>
> Damit es mir endlich wirklich einleuchtet:
> Warum hatten wir dann beim vorherigen Bsp
>
> [mm]1/\pi[/mm]
>
> dort war T von 0 bis , also 2
> und [mm]w=2\pi/2[/mm] also [mm]\pi,[/mm] ja das hatten wir aber,
> ahhh, war deshalb [mm]1/\pi[/mm] vor dem Integral weil du dachtest
> ich hätte das schon mal hingeschrieben, dashalb habe ich
> dauernd [mm]von1/\pi^{2}[/mm] gefaselt.
>
> Lieg ich da richtig???
>
Ich habe angenommen, daß Du davon ausgegangen bist:
[mm]\integral_{0}^{2}{ \sin\left(n\pi x\right)*\sin\left(n\pi x\right) \ dx}=\pi[/mm]
Und durch diese Zahl wird dann bei der Berechnnung der Fourierkoeffizenten geteilt:
[mm]b_{n}=\bruch{\integral_{0}^{2}{ f\left(x\right)*\sin\left(n\pi x\right) \ dx}}{\integral_{0}^{2}{ \sin\left(n\pi x\right)*\sin\left(n\pi x\right) \ dx}}[/mm]
> lg gernot
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Betrachten Sie die auf[0,3] definierte funktion f(x)
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\ge0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
c) Setzten Sie die Funktion ungerade im Intervall [-3,3] fort und entwickeln Sie die Fouriereihe.
Wo konvergiert diese? |
Hallo MathePower!
Also nach der Formel, wenn ich sie jetzt endlich verstanden habe:
[mm] \bruch{2}{6}*\integral_{-3}^{3}{f(x)*sin(n*x*\bruch{\pi}{3}) dx}=
[/mm]
[mm] \bruch{2}{6}*\integral_{0}^{3}{1*sin(n*x*\bruch{\pi}{3}) dx}+\bruch{2}{6}*\integral_{-3}^{0}{(-1)*sin(n*x*\bruch{\pi}{3}) dx}
[/mm]
Hier mach ich mal kurz eine Pause bevor ich weiterrechne, stimmt es bis hierher??
Ich schreibs dann doch gleich rein, ich hätt folgendes ergebnis:
[mm] \bruch{4}{\pi}*sin(x*\bruch{\pi}{3})+ \bruch{4}{3\pi}*sin(3x*\bruch{\pi}{3})+ \bruch{4}{5\pi}*sin(5x*\bruch{\pi}{3})
[/mm]
Was sagst Du, stimmts?
Lg gernot2000
|
|
|
| |
|
Hallo gernot2000,
> Betrachten Sie die auf[0,3] definierte funktion f(x)
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\ge0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> c) Setzten Sie die Funktion ungerade im Intervall [-3,3]
> fort und entwickeln Sie die Fouriereihe.
> Wo konvergiert diese?
>
>
> Hallo MathePower!
>
> Also nach der Formel, wenn ich sie jetzt endlich verstanden
> habe:
>
> [mm]\bruch{2}{6}*\integral_{-3}^{3}{f(x)*sin(n*x*\bruch{\pi}{3}) dx}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{6}*\integral_{0}^{3}{1*sin(n*x*\bruch{\pi}{3}) dx}+\bruch{2}{6}*\integral_{-3}^{0}{(-1)*sin(n*x*\bruch{\pi}{3}) dx}[/mm]
>
> Hier mach ich mal kurz eine Pause bevor ich weiterrechne,
> stimmt es bis hierher??
>
Ja.
>
> Ich schreibs dann doch gleich rein, ich hätt folgendes
> ergebnis:
>
> [mm]\bruch{4}{\pi}*sin(x*\bruch{\pi}{3})+ \bruch{4}{3\pi}*sin(3x*\bruch{\pi}{3})+ \bruch{4}{5\pi}*sin(5x*\bruch{\pi}{3})[/mm]
>
> Was sagst Du, stimmts?
>
Der Anfang der Fourierreihe stimmt.
Die komplette Fourierreihe lautet:
[mm]\bruch{4}{\pi}\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2k+1}*\sin\left(\left(2k+1\right)*\bruch{\pi}{3}*x\right)[/mm]
> Lg gernot2000
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Vielen dank MathePower!!
Wie kann ich jetzt sagen WO diese konvergiert?
mfg gernot2000
|
|
|
| |
|
Hallo gernot2000,
> Vielen dank MathePower!!
>
> Wie kann ich jetzt sagen WO diese konvergiert?
>
Die Fourierreihe konvergiert zunächst einmal dort.
wo die gegebene Funktion auch konvergiert.
Interessant sind jedoch die Sprungstellen
der periodisch fortgesetzten Funktion.
> mfg gernot2000
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Das wäre in diesem fall ja um 0, die sprungstelle?
|
|
|
| |
|
Hallo gernot2000,
> Das wäre in diesem fall ja um 0, die sprungstelle?
Ja, es gibt aber noch mehr Sprungstellen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo MathePower!
Wieso mehrer Sprungstellen?
Ich betrachte doch die Funktion im Bereich[-3,3] und diese hat für alle werte f(>0)=1 und alle f(<0)=-1.
Wo ist hier noch eine andere sprungstelle?
Die einzige Idee die ich diesbezüglich hätte,wäre für alle 3,6,9,12 und natürlich auchjeweilige -3,-6,-9....?
Sind das die anderen?
Hier würde sie gegen 0 konvergieren oder?
lg gernot2000
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Fr 09.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo MathePower!
>
> Wieso mehrer Sprungstellen?
> Ich betrachte doch die Funktion im Bereich[-3,3] und diese
> hat für alle werte f(>0)=1 und alle f(<0)=-1.
> Wo ist hier noch eine andere sprungstelle?
> Die einzige Idee die ich diesbezüglich hätte,wäre für
> alle 3,6,9,12 und natürlich auchjeweilige -3,-6,-9....?
> Sind das die anderen?
Ja
> Hier würde sie gegen 0 konvergieren oder?
Ja
FRED
>
>
> lg gernot2000
|
|
|
| |
|
Okay danke fred!
Könntest du mir noch hierbei helfen:
a) Geben Sie ein vollständiges Othogonalsystem auf dem Intervall [-3,3]an.
Hier fehlt mir komplett der Ansatz? Was muss ich hier tun, der begriff ist mir bekannt, auch e.-Schmidt verfahren, aber auf die funktion angewandt, bin ich etwas verwirrt!
Wie muss man hier vorgehen?
lg gernot2000
|
|
|
| |
|
Hat hierzu niemand eine Idee?
lg gernot
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Fr 09.11.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
auf dem intervall [mm] [0,2\pi] [/mm] bzw [mm] [-\pi,+\pi) [/mm] geben die funktionen sin(nx),cos(nx) [mm] n\in\IN [/mm] ein vollständiges orthogonales funktionensystem dar, wenn das Skalarprodukt <f,g> durch [mm] k*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*g(x) dx} [/mm] definiert ist. k kann man so wählen, dass es auch noch orthonormal ist.
die fkt bilden dann einen VR.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Betrachten Sie die auf[0,3] definierte funktion f(x)
>
> $ [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\ge0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] $ |
Aber was ist in diesem Fall mein f(x) bzw g(x), ich habe ja nur eine funktion gegeben? Muss man die Zweite so wählen
dass es ein OGS wird?
lg gernot
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Fr 09.11.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
deine Vektoren [mm] v_n [/mm] und [mm] u_n [/mm] sind die fkt [mm] v_n=sin(nx) [/mm] und [mm] u_n=cos(nx)
[/mm]
das hat nichts mit der gegebenen fkt zu tun.
nur bei dir nicht wie in meinem bsp auf [mm] -\pi [/mm] bis [mm] +\pi [/mm] sondern auf -3 bis +3, soviel musst du noch selbst tun.
und dann zeigen, dass mit dem Skalarprodukt [mm] =0 [/mm] für [mm] n\ne [/mm] m und entsprechend mit den u und u und v
wenn du das richtige k wählst ist auch noch [mm] =1 [/mm]
die richtigen sin hast du schon in deiner aufgabe benutzt!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ahllo leduart und vielen Dank erstmals!
Habe mir jetz gedacht, mein cosinus mus cos(n*pi/3*x) sein, der ist es aber nicht. Habe mir jetzt auf wiki über Fourierreihen und vor allem hilberträume durchgelesen. habe jetzt versucht den richtigen cos zu finden aber es mag mir einfach nicht gelingen.
Könntest du mir bitte einen hinweis geben, worin mein denkfehler besteht?
lg gernot
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Sa 10.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
doch genau die und die entsprechenden sin fkt sind das Fundamentalsystem.
wieso denkst du dass das falsch ist?
Gruss lediart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Sa 10.11.2012 | | Autor: | gernot2000 |
Weil bei mir beim differenzieren nicht 0 rauskam! Ich werde noch mal nachrechnen!
vielen dank, ist ja dann eigentlich ziemlich simpel, diese frage zu beantworten, sprich ein OGS anzugeben.
danke nochmals!!!
OK hab gerade nachgerechnet, es kommt 0 heraus! :)
lg gernot
|
|
|
|
