Fourierreihe f(x)=1 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 So 04.05.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich soll die gewöhnliche Fourierreihe der [mm] 2\pi [/mm] fortgesetzten Funktion bestimmen.
f(x)= 1 für 0 [mm] \le x\le \pi [/mm] und 0 für [mm] \pi \le [/mm] x [mm] \le 2\pi
[/mm]
Da die Nullfunktion wenig interessant ist .Habe ich mich der f(x)=1 gewidmet.
Nun habe ich einige Fragen,weil ich die vor mir liegende LÖsung nicht verstehe.
f(x)=1 eine konstante Funktion ist ja gerade also müsste ich doch ak berechnen. In der Lösung wird aber bk berechnet. Weiters bin ich mir nicht sicher ob a0 berechnet gehört. Wann muss ich a0 berechnen und wann fällt es weg. Wenn ich a0 hier berechne kommt 2 heraus.
Eine letzte Frage bezieht sich dann auf die Integrationsgrenzen.
[mm] bk=\bruch{2}{T}\integral_{-T}^{T}{f(x)sin(kx) dx}
[/mm]
In der Lösung wird folgendes geschrieben: [mm] bk=\bruch{2}{\2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)sin(kx) dx}=bk=\bruch{2}{0}\integral_{0}^{\pi}{f(x)sin(kx) dx}
[/mm]
Warum werden 2 verschiedene T eingesetzt am Anfang .Da in der Angabe auf der [mm] 2\pi [/mm] fortgesetzten Funktion.Denke ich das T= [mm] 2\pi [/mm] ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 So 04.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo racy90,
für die Betrachtung der Periodizität kannst Du nicht einfach den Anteil der Funktion, der einen Wert von Null besitzt, weglassen. Du musst schon den Funktionsverlauf über die gesamte Periode betrachten.
Hierbei muss ein Gleichanteil auftreten der Größe 1/2 und der Rest ist durch Sinuskomponenten beschreibbar. Wenn Du nun für die Periode T = Pi einsetzt, käme man zu Deinem Ergebnis, was allerdings nicht stimmt, denn die Periode T soll ja gerade den Wert 2 Pi haben.
Für eine Periode der Länge L gilt allemein:
[mm] b_k = \bruch{2}{L} \int_0^L f(x) \sin(\bruch{2 \pi}{L} kx)\, dx [/mm]
Bei der Auswertung dieses Intergrals darfst Du nun die Funktionswerte einesetzen und nun, aber erst nun, brauchst Du nur über 1 zu integrieren bis x = Pi, da der Rest der Funktion den Wert Null besitzt, also
[mm] b_k = \bruch{1}{\pi} \int_0^{\pi} 1 \cdot \sin (kx)\, dx [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 So 04.05.2014 | | Autor: | racy90 |
Aber gibt es einen a0 Term auch?
Bei mir wäre der 2 falls er existiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 04.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Ja, den gibt es, denn das Signal, einfach aufintergiert, ergibt einen Wert von ungleich Null. Ich habe Dir das Endergebnis ja bereits hingeschrieben.
[mm] a_0 = \bruch{1}{\pi} \int_0^{\pi} 1 \, dx = 1 [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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