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| Aufgabe | Gegeben ist die periodische Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0 \le x<1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } 1 \le x<3 \mbox{ }\\ f(x+3k), & \mbox{für } sonstige, k \in \IZ \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie die Fourierreihe von f(x) und geben Sie das trigonometrische Polynom
[mm] F_{6}(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{n=1}^{6}(a_{n}cos(\bruch{2\pi}{p}*nx)+b_{n}sin(\bruch{2\pi}{p}*nx)) [/mm] an.
Die Formeln für [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] lauten:
[mm] a_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*cos(\bruch{2\pi}{p}*nx) dx}
[/mm]
[mm] b_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*sin(\bruch{2\pi}{p}*nx) dx} [/mm] |
Hallo,
wie gehe ich denn am besten an diese Aufgabe heran? Das ist meine Fourier-Premiere wenn man so will und ich möchte gerne verstehen was ich da tue. Gibt es eine bestimmte Vorgehensweise bei diesen Aufgabentypen? Oder könnt ihr diese hier bestätigen:
Schritt 1) Aufstellen der Funktionsgleichung im Grundintervall
Schritt 2) Betrachtung der Symmetrie
Schritt 3) Berechnung der Koeffizienten
Was ist das Grundintervall? Ich habe hier ja drei f(x) in drei unterschiedlichen Intervallen gegeben. Oder muss ich für jedes f(x) eine eigene Berechnung durchführen?
Die Periode ist p=3k, das weiß ich. Wie die Funktion ausschaut weiß ich auch.
Gruß, Andreas
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Hallo Mathe-Andi,
> Gegeben ist die periodische Funktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0 \le x<1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } 1 \le x<3 \mbox{ }\\ f(x+3k), & \mbox{für } sonstige, k \in \IZ \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Berechnen Sie die Fourierreihe von f(x) und geben Sie das
> trigonometrische Polynom
>
> [mm]F_{6}(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{n=1}^{6}(a_{n}cos(\bruch{2\pi}{p}*nx)+b_{n}sin(\bruch{2\pi}{p}*nx))[/mm]
> an.
>
> Die Formeln für [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] lauten:
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*cos(\bruch{2\pi}{p}*nx) dx}[/mm]
>
> [mm]b_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*sin(\bruch{2\pi}{p}*nx) dx}[/mm]
>
> Hallo,
>
> wie gehe ich denn am besten an diese Aufgabe heran? Das ist
> meine Fourier-Premiere wenn man so will und ich möchte
> gerne verstehen was ich da tue. Gibt es eine bestimmte
> Vorgehensweise bei diesen Aufgabentypen? Oder könnt ihr
> diese hier bestätigen:
>
> Schritt 1) Aufstellen der Funktionsgleichung im
> Grundintervall
>
> Schritt 2) Betrachtung der Symmetrie
>
> Schritt 3) Berechnung der Koeffizienten
>
>
> Was ist das Grundintervall? Ich habe hier ja drei f(x) in
> drei unterschiedlichen Intervallen gegeben. Oder muss ich
> für jedes f(x) eine eigene Berechnung durchführen?
>
Das Grundintervall ist [mm]\left[0,3\right[[/mm]
Für dieses führst Du due Berechnungen aus.
> Die Periode ist p=3k, das weiß ich. Wie die Funktion
> ausschaut weiß ich auch.
>
>
> Gruß, Andreas
Gruss
MathePower
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Ok, das Grundintervall ist das Intervall, das die Funktion in einer Periode durchläuft. Bitte korrigieren, falls ich falsch liege.
Man bestimmt also das Grundintervall, bestimmt die Funktion f(x) im jeweiligen Intervall (falls nicht schon gegeben) und dann setze ich in die Formeln aus der Formelsammlung ein [mm] (a_{n}, b_{n} [/mm] sind ja oben gegeben) und [mm] a_{0} [/mm] ist:
[mm] a_{0}=\bruch{2}{T}\integral_{(T)}^{}{y(t) dt}
[/mm]
sprich das wären dann in diesem Fall:
[mm] a_{0}=\bruch{2}{3}\integral_{0}^{3}{f(x) dx}
[/mm]
Frage 1: Aber welches f(x) denn hier? f(x)=1 oder f(x)=0 ?
Freage 2: Ich nehme an, man nimmt für k (Periode p=3*k) 1 an? Oder muss das k mit in die Gleichung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Mo 22.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich muss ganz f(x) integriert werden, da f stückweise definiert ist, teilst du das Integral in die 2 entsprechenden Teile hier von 0 bis 1 und 1 bis 3
(das zweite ist hier 0, aber allgemein musst du aufteilen.)
die Periode ist 3 und nicht 3k.
ausserdem hast du nur 2 Intervalle, dann setzt die Periode ein.
Gruss leduart
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Ich habe erstmal [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] berechnet. Ist meine Rechnung richtig?
[mm] a_{0}=\bruch{2}{T}*\integral_{(T)}^{}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}*\integral_{0}^{1}{1 dx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}*\integral_{1}^{3}{0 dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}[x]_{0}^{1}+c=\bruch{2}{3}+c
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*cos(\bruch{2*\pi}{p}*x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}\integral_{0}^{1}{1*cos(\bruch{2*\pi}{3}*x) dx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}\integral_{1}^{3}{0*cos(\bruch{2*\pi}{3}*x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}[sin(\bruch{2*\pi}{3}*x)]_{0}^{1}+c [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}(sin(\bruch{2*\pi}{3})) \approx [/mm] 0,577
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Hallo Mathe-Andi,
> Ich habe erstmal [mm]a_{0}[/mm] und [mm]a_{1}[/mm] berechnet. Ist meine
> Rechnung richtig?
>
> [mm]a_{0}=\bruch{2}{T}*\integral_{(T)}^{}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}*\integral_{0}^{1}{1 dx}[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{3}*\integral_{1}^{3}{0 dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}[x]_{0}^{1}+c=\bruch{2}{3}+c[/mm]
>
Hier gibt es keine Integrationskonstante c. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]a_{1}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*cos(\bruch{2*\pi}{p}*x) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{3}\integral_{0}^{1}{1*cos(\bruch{2*\pi}{3}*x) dx}[/mm]
> + [mm]\bruch{2}{3}\integral_{1}^{3}{0*cos(\bruch{2*\pi}{3}*x) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{3}[sin(\bruch{2*\pi}{3}*x)]_{0}^{1}+c[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}(sin(\bruch{2*\pi}{3})) \approx[/mm] 0,577
>
Hier hast Du bei der Integration den Faktor [mm]\bruch{3}{2*\pi}[/mm] vergessen.
Dann ist [mm]a_{1}=\bruch{\sin\left(\bruch{2*\pi}{3}\right)}{\pi}[/mm]
Gruss
MathePower
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Ok, ich hatte in der Integrationstabelle bei cos(x) geschaut, statt bei cos(ax). Jetzt klebt ein Hinweis dort, damit mir das nicht nochmal passiert.
Ich habe jetzt auch [mm] b_{1} [/mm] ausgerechnet:
[mm] b_{1}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*sin(\bruch{2*\pi}{p}*x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}\integral_{0}^{1}{1*sin(\bruch{2*\pi}{3}*x) dx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}\integral_{1}^{3}{0*sin(\bruch{2*\pi}{3}*x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}[-\bruch{cos(\bruch{2*\pi}{3}*x)}{\bruch{2*\pi}{3}}]_{0}^{1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}(-\bruch{cos(\bruch{2*\pi}{3})+1}{\bruch{2*\pi}{3}}) [/mm] = [mm] -\bruch{cos(\bruch{2*\pi}{3}+1)}{\pi} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2*\pi}
[/mm]
Ich hoffe das ist richtig!?
Ich habe jetzt [mm] a_{0}, a_{1} [/mm] und [mm] b_{1} [/mm] ausgerechnet. Im Hinblick auf die Aufgabenstellung ("Berechnen Sie die Fourierreihe von f(x)"; das Polynom jetzt erstmal noch nicht), muss ich diese drei Koeffizienten einfach die die Fourier-Gleichung einsetzen?
[mm] f(x)=\bruch{a_{0}}{2}[a_{1}*cos(\bruch{2*\pi}{p}*x)+b_{1}*sin(\bruch{2*\pi}{p}*x)]
[/mm]
Das wäre ja dann:
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}[\bruch{sin(\bruch{2*\pi}{3})}{\pi}*cos(\bruch{2*\pi}{3}*x)+\bruch{3}{2*\pi}*sin(\bruch{2*\pi}{3}*x)]
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo Mathe-Andi,
> Ok, ich hatte in der Integrationstabelle bei cos(x)
> geschaut, statt bei cos(ax). Jetzt klebt ein Hinweis dort,
> damit mir das nicht nochmal passiert.
>
> Ich habe jetzt auch [mm]b_{1}[/mm] ausgerechnet:
>
> [mm]b_{1}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*sin(\bruch{2*\pi}{p}*x) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{3}\integral_{0}^{1}{1*sin(\bruch{2*\pi}{3}*x) dx}[/mm]
> + [mm]\bruch{2}{3}\integral_{1}^{3}{0*sin(\bruch{2*\pi}{3}*x) dx}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{2}{3}[-\bruch{cos(\bruch{2*\pi}{3}*x)}{\bruch{2*\pi}{3}}]_{0}^{1}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{2}{3}(-\bruch{cos(\bruch{2*\pi}{3})+1}{\bruch{2*\pi}{3}})[/mm]
> = [mm]-\bruch{cos(\bruch{2*\pi}{3}+1)}{\pi}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2*\pi}[/mm]
>
Das stimmt leider nicht.
> Ich hoffe das ist richtig!?
>
>
> Ich habe jetzt [mm]a_{0}, a_{1}[/mm] und [mm]b_{1}[/mm] ausgerechnet. Im
> Hinblick auf die Aufgabenstellung ("Berechnen Sie die
> Fourierreihe von f(x)"; das Polynom jetzt erstmal noch
> nicht), muss ich diese drei Koeffizienten einfach die die
> Fourier-Gleichung einsetzen?
>
> [mm]f(x)=\bruch{a_{0}}{2}[a_{1}*cos(\bruch{2*\pi}{p}*x)+b_{1}*sin(\bruch{2*\pi}{p}*x)][/mm]
>
> Das wäre ja dann:
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{3}[\bruch{sin(\bruch{2*\pi}{3})}{\pi}*cos(\bruch{2*\pi}{3}*x)+\bruch{3}{2*\pi}*sin(\bruch{2*\pi}{3}*x)][/mm]
>
> Ist das richtig?
>
Gruss
MathePower
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> Ich habe jetzt auch [mm]b_{1}[/mm] ausgerechnet:
>
>
[mm]b_{1}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*sin(\bruch{2*\pi}{p}*x) dx}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}\integral_{0}^{1}{1*sin(\bruch{2*\pi}{3}*x) dx}[/mm] + [mm]\bruch{2}{3}\integral_{1}^{3}{0*sin(\bruch{2*\pi}{3}*x) dx}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[-\bruch{cos(\bruch{2*\pi}{3}*x)}{\bruch{2*\pi}{3}}]_{0}^{1}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}(-\bruch{cos(\bruch{2*\pi}{3})+1}{\bruch{2*\pi}{3}})[/mm] = [mm]-\bruch{cos(\bruch{2*\pi}{3}+1)}{\pi}[/mm]
Hoppla, ich habe die [mm] \bruch{2}{3} [/mm] zweimal ausmultipliziert. Ich habe den letzten Term oben weggenommen, jetzt müsste es stimmen.
Meine andere Frage besteht weiterhin:
> > Ich habe jetzt [mm]a_{0}, a_{1}[/mm] und [mm]b_{1}[/mm] ausgerechnet. Im
> > Hinblick auf die Aufgabenstellung ("Berechnen Sie die
> > Fourierreihe von f(x)"; das Polynom jetzt erstmal noch
> > nicht), muss ich diese drei Koeffizienten einfach die die
> > Fourier-Gleichung einsetzen?
> >
> >
> [mm]f(x)=\bruch{a_{0}}{2}[a_{1}*cos(\bruch{2*\pi}{p}*x)+b_{1}*sin(\bruch{2*\pi}{p}*x)][/mm]
> >
> > Das wäre ja dann:
> >
[mm]f(x)=\bruch{1}{3}[\bruch{sin(\bruch{2*\pi}{3})}{\pi}*cos(\bruch{2*\pi}{3}*x)-\bruch{cos(\bruch{2*\pi}{3}+1)}{\pi})*sin(\bruch{2*\pi}{3}*x)][/mm]
Ist das nun richtig?
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mo 22.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Klammer falsch und die Werte (ungerundet) der sin und cos noch angeben Brüche und Wurzeln-
es ist günstiger direkt [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] zu berechnen als jedes einzeln.
Gruss leduart
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[mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] lauten dann:
[mm] a_{n}=\bruch{sin(\bruch{2*\pi*n}{3})}{\pi*n}
[/mm]
[mm] b_{n}=-\bruch{cos(\bruch{2*\pi*n}{3})+1}{\pi*n}
[/mm]
Möchte ich jetzt [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3}, [/mm] usw. haben, muss ich dann einfach das entsprechende n dort einsetzen?
Die Fourierreihe gebe ich dann in der allgemeinen Form an? Ist diese Form hier richtig?:
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}+\summe_{n=1}^{\infty} [\bruch{sin(\bruch{2*\pi*n}{3})}{\pi*n}*cos(\bruch{2*\pi*n}{3}) [/mm] - [mm] \bruch{cos(\bruch{2*\pi*n}{3})+1}{\pi*n}*sin(\bruch{2*\pi*n}{3})]
[/mm]
Dann hätte ich gar nicht [mm] a_{1} [/mm] und [mm] b_{1} [/mm] berechnen müssen, sondern die allgemeinen [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n}, [/mm] wie leduart schon sagte. Und in obiger Form muss/kann ich ja auch keine gerundeten Werte angeben. Ich hoffe das ist richtig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Di 23.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] sin(2\pi/3)=sin(\pi=3) [/mm] sollte man angeben können in Vielfachen von [mm] \wurzel{3} [/mm] ein paar sin und cos Werte sollte man exakt wissen, 0°,30°.45° 60°. 90°, und danach die Symmetrien von sin.
Gruss leduart
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Danke leduart. Ich habe meine Winkeltabelle mal hervorgeholt und sehe, was du meinst.
Es ist auch
[mm] cos(\bruch{2*\pi*n}{3}) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Nachdem ich alles vereinfacht habe steht meine Reihe so da:
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}+\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{\wurzel{3}}{2*\pi*n})
[/mm]
Ist das richtig?
Gruß, Andreas
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Hallo Mathe-Andi,
> Danke leduart. Ich habe meine Winkeltabelle mal
> hervorgeholt und sehe, was du meinst.
>
> Es ist auch
>
> [mm]cos(\bruch{2*\pi*n}{3})[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Nachdem ich alles vereinfacht habe steht meine Reihe so
> da:
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{3}+\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{\wurzel{3}}{2*\pi*n})[/mm]
>
> Ist das richtig?
>
Leider nein.
Die Reihe lautet vollständig:
[mm]f(x)=\bruch{1}{3}+\summe_{n=1}^{\infty}\red{a_{n}*\cos\left(\bruch{2*\pi*n}{p}*x\right)+b_{n}*\sin\left(\bruch{2*\pi*n}{p}*x\right)}[/mm]
>
> Gruß, Andreas
>
Gruss
MathePower
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Hey,
also [mm] a_{1} [/mm] und [mm] b_{1} [/mm] sehen folgender maßen aus:
[mm] a_{1}[\bruch{1}{\pi}\cdot{}sin(\bruch{2\pi}{3})]
[/mm]
[mm] b_{1}[-\bruch{cos(\bruch{2\pi}{3})}{\pi}+\bruch{1}{\pi}]
[/mm]
jetzt nur noch die anderen Koeffizienten anreihen.
J.DEan
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Hallo JamesDean,
ich habe die Koeffizienten von [mm] a_{1}, b_{1} [/mm] bis [mm] a_{6}, b_{6} [/mm] angereiht und da kann man echt gut was kürzen. Mich würde interessieren, was du als Endterm für das Trigonometrische Polynom heraus hast.
Ich habe:
[mm] F_{6}(x)=\bruch{1}{3}+\bruch{11\wurzel{3}}{40*\pi}
[/mm]
Allerdings sind die Terme und Rechnungen so lang, dass man da schnell einen Fehler reinhaut.
Ich kann ja nochmal abtippen, was ich für die einzelnen Koeffizienten heraus habe:
[mm] a_{1}=\bruch{\wurzel{3}}{2\pi}
[/mm]
[mm] b_{1}=\bruch{3}{2\pi}
[/mm]
[mm] a_{2}=-\bruch{\wurzel{3}}{4\pi}
[/mm]
[mm] b_{2}=\bruch{3}{4\pi}
[/mm]
[mm] a_{3}=0
[/mm]
[mm] b_{3}=0
[/mm]
[mm] a_{4}=\bruch{\wurzel{3}}{8\pi}
[/mm]
[mm] b_{4}=\bruch{3}{8\pi}
[/mm]
[mm] a_{5}=-\bruch{\wurzel{3}}{10\pi}
[/mm]
[mm] b_{5}=\bruch{3}{10\pi}
[/mm]
[mm] a_{6}=0
[/mm]
[mm] b_{6}=0
[/mm]
Man muss eben die ganze Zeit beachten, dass [mm] sin(\bruch{2\pi}{3})=\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm]
und dass
[mm] cos(\bruch{2\pi}{3})=-\bruch{1}{2} [/mm] ist.
Sollte ich falsch liegen, verbessert mich bitte. 
Gruß, Andreas
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Hallo Mathe-Andi,
> Hallo JamesDean,
>
> ich habe die Koeffizienten von [mm]a_{1}, b_{1}[/mm] bis [mm]a_{6}, b_{6}[/mm]
> angereiht und da kann man echt gut was kürzen. Mich würde
> interessieren, was du als Endterm für das Trigonometrische
> Polynom heraus hast.
>
> Ich habe:
>
> [mm]F_{6}(x)=\bruch{1}{3}+\bruch{11\wurzel{3}}{40*\pi}[/mm]
>
Das ist falsch.
> Allerdings sind die Terme und Rechnungen so lang, dass man
> da schnell einen Fehler reinhaut.
>
> Ich kann ja nochmal abtippen, was ich für die einzelnen
> Koeffizienten heraus habe:
>
> [mm]a_{1}=\bruch{\wurzel{3}}{2\pi}[/mm]
>
> [mm]b_{1}=\bruch{3}{2\pi}[/mm]
>
> [mm]a_{2}=-\bruch{\wurzel{3}}{4\pi}[/mm]
>
> [mm]b_{2}=\bruch{3}{4\pi}[/mm]
>
> [mm]a_{3}=0[/mm]
>
> [mm]b_{3}=0[/mm]
>
> [mm]a_{4}=\bruch{\wurzel{3}}{8\pi}[/mm]
>
> [mm]b_{4}=\bruch{3}{8\pi}[/mm]
>
> [mm]a_{5}=-\bruch{\wurzel{3}}{10\pi}[/mm]
>
> [mm]b_{5}=\bruch{3}{10\pi}[/mm]
>
> [mm]a_{6}=0[/mm]
>
> [mm]b_{6}=0[/mm]
>
>
> Man muss eben die ganze Zeit beachten, dass
> [mm]sin(\bruch{2\pi}{3})=\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> und dass
>
> [mm]cos(\bruch{2\pi}{3})=-\bruch{1}{2}[/mm] ist.
>
>
> Sollte ich falsch liegen, verbessert mich bitte.
>
> Gruß, Andreas
Gruss
MathePower
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