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| Aufgabe | Bestimme die Fourierreihe von f(x)=sin(x)*cos(x)
Stimmen Fourierreihe und Funktion überein? |
Hallo,
ich bin echt verzweifelt..
Die Funktion ist doch ungerade, weshalb alle an's von vornerein 0 sind. Deshalb integriere ich folgendes:
[mm] b_{n}=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{sin(x)*cos(x)*sin(nx) dx}
[/mm]
= [mm] \pi*\integral_{0}^{\pi}{sin(2x)*sin(nx) dx}
[/mm]
(wegen sin(x)*cos(x)=sin(2x)/2)
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(2x-nx)-cos(2x+nx) dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi} (\bruch{sin(2x-nx}{2-n} [/mm] - [mm] \bruch{sin(2x+nx}{2+n}) [/mm] (Grenzen pi und 0)
Wenn ich hier jetzt meine Zahlen einsetze bekomme ich 0 raus. Wie kann das denn sein? Wo ist mein Fehler, was ist die Fourierreihe??
Ciao, Mike.
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hm ich seh gerade die Funktion ist auch pi-periodisch, liegts daran? Wie funktioniert das ganze dann? Dürfte ja für das Integral keine Rolle spielen..
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Hallo!
Deine Rechnung ist eigentlich richtig, allerdings übersiehst du da etwas.
Du kommst dem am besten auf die Schliche, wenn du das mal rückwärts angehst. Du schreibst bereits, daß du eine Funktion wie sin(2x) transformieren willst. Aber: diese Funktion ist bereits ihre eigene Fourier-Reihe, die lautet nämlich
$0*sin(x)+1*sin(2x)+0*sin(3x)+0*...$
Du siehst, daß eigentlich alle Koeffizienten 0 sein sollten, außer der für n=2.
Jetzt schau dir mal deine Formel an. Was passiert für n=2? Wenn du das korrekt betrachtest, kommst du auch auf das richtige Ergebnis!
Alternativ (und einfacher) kannst du auch direkt über die wahre Periode [mm] \pi [/mm] integrieren. Bedenke, daß immer gilt:
[mm] a_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(x)*\sin\frac{2\pi nx}{T}\,dx
[/mm]
Bisher war [mm] T=2\pi [/mm] (und du hast etwas mit der Länge des INtervalls getrickst). Was ist nun mit [mm] T=\pi [/mm] ?
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Also wenn ich n=2 in $ [mm] \pi\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{sin(2x)\cdot{}sin(nx) dx} [/mm] $ einsetze bekomme ich ein Integral von 0 bis pi über [mm] sin(2x)^2 [/mm] und somit ein Integral != 0.
Trotzdem bekomme ich 0, wenn ich pi in deine untere Gleichung einsetze. Beim Sinus bekomme ich [mm] sin(2\pi-2n\pi) [/mm] das 0 wird und [mm] sin(2\pi+2n\pi), [/mm] was auch 0 wird. Wenn ich 0 einsetze ebenso.. wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Di 20.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also wenn ich n=2 in
> [mm]\pi\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{sin(2x)\cdot{}sin(nx) dx}[/mm]
> einsetze bekomme ich ein Integral von 0 bis pi über
> [mm]sin(2x)^2[/mm] und somit ein Integral != 0.
>
> Trotzdem bekomme ich 0, wenn ich pi in deine untere
> Gleichung einsetze. Beim Sinus bekomme ich [mm]sin(2\pi-2n\pi)[/mm]
> das 0 wird und [mm]sin(2\pi+2n\pi),[/mm] was auch 0 wird. Wenn ich 0
> einsetze ebenso.. wo liegt mein Fehler?
Du übersiehst, dass deine Integration für n=2 nicht funktioniert: nicht nur der Zähler, sondern auch der Nenner des ersten Bruchs ist 0.
Setz mal in
[mm]\bruch{1}{2\cdot{}\pi}\integral_{0}^{\pi}{\left(cos(2x-nx)-cos(2x+nx)\right) dx} [/mm]
gleich n=2 ein, dann siehst du, dass 1/2 herauskommt.
Viele Grüße
Rainer
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Hm ja danke. Trotzdem verstehe ich nicht so ganz, wieso ich für das Integral an sich keine Lösung finde. Vor allem weil Event_Horizon geschrieben hatte, dass ich einfach über die wahre Periode integrieren kann. Da bekomme ich aber ja trotzdem 0 heraus..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Di 20.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deiner Lösung steht doch im Nenner n-2! was ist damit für n=2
Gruss leduart
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Das meinte ich nicht, das ist mir schon klar. Ich habe mich gefragt wieso ich mit der wahren Periode hier:
$ [mm] a_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(x)\cdot{}\sin\frac{2\pi nx}{T}\,dx [/mm] $
Keine Lösung bekommen, obwohl Event_Horizont meinte das wäre der einfacherere Weg. Dass mein [mm] a_2 [/mm] = 1/2 wird wenn ich das da einsetze verstehe ich schon..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Di 20.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] sin^2(2x) [/mm] integriert gibt garantiert nicht 0, wenn dus über irgendein Stück integriersrT da [mm] sin^2 [/mm] ja ne positive fkt ist. also integrierst du falsch.
Gruss leduart
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Ja gut, das hat Rainer ja schon geschrieben.
Der Trick an der Sache ist, daß in dem Fall sowas wie [mm] \frac{\sin x}{x} [/mm] da steht, und [mm] $x\to [/mm] 0$ Der Grenzwert von diesem Bruch ist von 0 verschieden, und genau deshalb bleibt der n=2-Term als einziger der Fourier-Reihe bestehen.
Wie der Grenzwert genau aussieht, weiß ich aber grade nicht, das findet man aber tausendfach im Netz.
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Naja da beides gegen 0 geht kann man ja einfach den L'Hopital nehmen
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{cos(x)}{1} [/mm] = 1
Naja ich werde jedenfalls jetzt das Integral ausrechnen (das 0 ergibt) und dann bei der obigen Zeile von Rainer schreiben, dass für n=2 das Integral 1/2 ergibt und dadurch erklären dass sin(x)cos(x) schon die eigene Fourierreihe darstellt, wird schon passen ;)
Danke, ciao Mike.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:43 So 15.11.2009 | | Autor: | jachu |
| Aufgabe | Beweisen Sie das Additionstheorem
sin 2x = 2 sin x cos x
mittels Berechnung der Fourierreihe von sin x cos x. |
hallo,
habe eine ähnliche aufgabenstellung
und stecke fest...kann mir jemand da weiter helfen?
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Hallo,
> Beweisen Sie das Additionstheorem
> sin 2x = 2 sin x cos x
> mittels Berechnung der Fourierreihe von sin x cos x.
> hallo,
> habe eine ähnliche aufgabenstellung
>
> und stecke fest...kann mir jemand da weiter helfen?
Wo steckst du denn fest? Poste deine Rechnungen, und wo du Probleme hast!
Im obigen Post kannst du doch schon sehen, wie die Fourierreihe von sin(x)*cos(x) bestimmt wurde!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 So 15.11.2009 | | Autor: | jachu |
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 So 15.11.2009 | | Autor: | jachu |
also es ist soweit klar dass wenn ich sin(2x) entwickel dass man wieder auf sin(2x) kommt dass ist jedoch kein beweis dass 2sin(x)cos(x)=sin(2x)
also wollte ich erstmal auf direktem wege das integral berechnen jedoch weiß net wie...
$ [mm] \frac{2}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{sin(x)\*cos(x)\*sin(nx) dx} [/mm] $
wie Integrier ich 3 trigonometrische Funktionen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 So 15.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
partielle Integration z. Bsp sinx=u' Rest =v
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:16 So 15.11.2009 | | Autor: | jachu |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 15.11.2009 | | Autor: | jachu |
aso kann mir jemand auch gleich sagen wie ich eine mathematische umgebung herstellen kann in Latex sind das die $ zeichen funz hier aber nicht... denn manchmal befinde ich mich in der umgebung und manchmal nicht sieht unschön aus....
thx im vorraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:31 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> aso kann mir jemand auch gleich sagen wie ich eine
> mathematische umgebung herstellen kann in Latex sind das
> die $ zeichen funz hier aber nicht... denn manchmal befinde
> ich mich in der umgebung und manchmal nicht sieht unschön
> aus....
Der "Standard" ist hier [mm]...[/mm] und nicht $...$. In den meisten Faellen funktionieren die Dollarzeichen auch, aber eben nicht immer. (Siehe auch hier.)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 So 15.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh nicht direkt nen dicken Fehler, aber bei cos hast du die untere Grenze weggelassen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 So 15.11.2009 | | Autor: | jachu |
naja wenn ich jetzt für die untere grenze x=0 einsetzt ist das ja eh 0 da ich ja [mm] \frac{x}{n}* [/mm] cos(..) habe
hmm hast du denn vielleicht ne idee wie ich jetzt fortfahren kann dass ich die additionstheoreme beweisen kann denn das bringt mich leider nicht weiter wie ich gehofft habe:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Mo 16.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast recht, ich seh mirs morgen noch mal an
Gute Nacht leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:28 Mo 16.11.2009 | | Autor: | jachu |
sehe gerade dass ich oben falsch eingesetzt habe und dann vergessen habe das zu integieren und damit weiter rechnen...
anstatt
[mm] \int [/mm] 1 dx
muss da [mm] \int \frac{1}{n}cos(nx) [/mm] stehen
jedoch ändert das nichts am ergebnis da dies eh null ist wenn man die grenzen einsetzt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:32 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> sehe gerade dass ich oben falsch eingesetzt habe und dann
> vergessen habe das zu integieren und damit weiter
> rechnen...
> anstatt
> [mm]\int[/mm] 1 dx
>
> muss da [mm]\int \frac{1}{n}cos(nx)[/mm] stehen
>
> jedoch ändert das nichts am ergebnis da dies eh null ist
> wenn man die grenzen einsetzt
Ist das jetzt noch eine offene Frage? Ich kann hier nicht wirklich erkennen, was du wissen willst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Di 17.11.2009 | | Autor: | jachu |
sorry...
wollt was ändern und habe es gelöscht ohne das zu merken
$u'=sin (xn) [mm] u=-\frac{1}{n}cos(xn) \\
[/mm]
v=(cos(x)*sin(x)) [mm] v'=2cos^2(x)-1 \\
[/mm]
[mm] \biggl[\frac{1}{n}cos(nx)\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi -\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}2cos^2(x)dx-\int_0^\pi1 [/mm] $ [mm] dx\\
[/mm]
so das in der eckigen klammer ist [mm] null\\
[/mm]
$ [mm] u=-\frac{1}{n}cos(nx) u'=sin(xn)\\
[/mm]
[mm] v'=2cos^2(x) [/mm] v [mm] =x+sin(x)cos(x)\\
[/mm]
$ [mm] \biggl[\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}x\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi x\cdot{}sin(x)-\int_0^\pi [/mm] $ [mm] sin(xn)*sin(x)*cos(x)dx$\\
[/mm]
das in den eckigen klammern ist wieder null dann bleiben die beiden integralle [mm] übrig...\\
[/mm]
da das eine integral auf der rechten seite dem linken entsprich addiere ich auf beiden Seiten das [mm] integral\\
[/mm]
$ [mm] 2\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\int_0^\pi [/mm] $ [mm] x*sin(nx)\\
[/mm]
als nächstes teile ich die funktin durch [mm] 2\\
[/mm]
$ [mm] \frac{\biggl[-\frac{x}{n}cos(nx)\biggr]_0^\pi+\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(nx)dx}{2} $\\
[/mm]
$ [mm] =\frac{-\frac{\pi}{n}cos(n\pi)+\biggl[\frac{1}{n^2}sin(nx)\biggr]_0^\pi}{2} $\\
[/mm]
so wenn man die grenzen einsetzt verschwindet der 2te term... weiß aber nicht was ich jetzt weiter machen soll falls das was ich gemacht [mm] habe\\ [/mm] überhaupt richtig ist...
also es bleibt übrig
$ [mm] \int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=\frac{\pi\cdot{}cos(n\pi)}{2-n} $\\
[/mm]
so das $ [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] $ einsetzten um $ [mm] b_n [/mm] $ zu erhalten dann kürzt sich das $ [mm] \pi [/mm] $ auf der rechten seite [mm] weg...\\
[/mm]
$ [mm] \frac{1}{\pi}\cdot{}\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=\frac{cos(n\pi)}{2-n} $\\
[/mm]
wenn anstatt des cos(nx) ein sin(nx) stehen würde, würde die fourier Reihe sin(2x) sein...und damit hät ich das bewiesen jedoch habe ich irgendwo [mm] ein\\ [/mm] fehler gemacht weiß net ob bei der integration oder sonst wo... wenn jemand den fehler finden würde wär ich echt sehr [mm] dankbar..\\
[/mm]
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Hallo jachu,
> sorry...
>
> wollt was ändern und habe es gelöscht ohne das zu merken
>
>
> $u'=sin (xn)
> [mm]u=-\frac{1}{n}cos(xn) \\[/mm]
> v=(cos(x)*sin(x))
> [mm]v'=2cos^2(x)-1 \\[/mm]
>
> [mm]\biggl[\frac{1}{n}cos(nx)\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi -\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}2cos^2(x)dx-\int_0^\pi1[/mm]
> $ [mm]dx\\[/mm]
Das muss hier so lauten:
[mm]\biggl[\red{-}\frac{1}{n}cos(nx)\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi -\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}2cos^2(x) \ dx-\int_0^\pi\red{\left(-\frac{1}{n}cos(xn)\right)}*\left(\red{-}1\right) \ dx[/mm]
>
> so das in der eckigen klammer ist [mm]null\\[/mm]
>
> $ [mm]u=-\frac{1}{n}cos(nx) u'=sin(xn)\\[/mm]
> [mm]v'=2cos^2(x)[/mm]
> v [mm]=x+sin(x)cos(x)\\[/mm]
>
> $
> [mm]\biggl[\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}x\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi x\cdot{}sin(x)-\int_0^\pi[/mm]
> $ [mm]sin(xn)*sin(x)*cos(x)dx$\\[/mm]
>
> das in den eckigen klammern ist wieder null dann bleiben
> die beiden integralle [mm]übrig...\\[/mm]
> da das eine integral auf der rechten seite dem linken
> entsprich addiere ich auf beiden Seiten das [mm]integral\\[/mm]
>
> [mm]2\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\int_0^\pi[/mm]
> [mm]x*sin(nx)\\[/mm]
>
> als nächstes teile ich die funktin durch [mm]2\\[/mm]
>
> [mm]\frac{\biggl[-\frac{x}{n}cos(nx)\biggr]_0^\pi+\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(nx)dx}{2}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]=\frac{-\frac{\pi}{n}cos(n\pi)+\biggl[\frac{1}{n^2}sin(nx)\biggr]_0^\pi}{2}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> so wenn man die grenzen einsetzt verschwindet der 2te
> term... weiß aber nicht was ich jetzt weiter machen soll
> falls das was ich gemacht [mm]habe\\[/mm] überhaupt richtig ist...
> also es bleibt übrig
> [mm]\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=\frac{\pi\cdot{}cos(n\pi)}{2-n}[/mm][mm] \\[/mm]
>
>
> so das [mm]\frac{1}{\pi}[/mm] einsetzten um [mm]b_n[/mm] zu erhalten dann
> kürzt sich das [mm]\pi[/mm] auf der rechten seite [mm]weg...\\[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{\pi}\cdot{}\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=\frac{cos(n\pi)}{2-n}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> wenn anstatt des cos(nx) ein sin(nx) stehen würde, würde
> die fourier Reihe sin(2x) sein...und damit hät ich das
> bewiesen jedoch habe ich irgendwo [mm]ein\\[/mm] fehler gemacht
> weiß net ob bei der integration oder sonst wo... wenn
> jemand den fehler finden würde wär ich echt sehr
> [mm]dankbar..\\[/mm]
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 17.11.2009 | | Autor: | jachu |
ja danke habe das auch schon bemerkt;)
ändert trotzdem nichts am problem da sich das später rauskürzt denn der term tritt später nochmal posetiv auf... also habe ich immer noch das selbe endergebnis... und damit kann ich die addtitonstheoreme nicht beweisen..:(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Di 17.11.2009 | | Autor: | jachu |
$u'=sin (xn) [mm] u=-\frac{1}{n}cos(xn) \\
[/mm]
v=(cos(x)*sin(x)) [mm] v'=2cos^2(x)-1 \\
[/mm]
[mm] \biggl[\frac{1}{n}cos(nx)\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi -\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}2cos^2(x)dx-\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(xn) [/mm] $ [mm] dx\\
[/mm]
so das in der eckigen klammer ist [mm] null\\
[/mm]
$ [mm] u=-\frac{1}{n}cos(nx) u'=sin(xn)\\
[/mm]
[mm] v'=2cos^2(x) [/mm] v [mm] =x+sin(x)cos(x)\\
[/mm]
$ [mm] \biggl[\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}x\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi x\cdot{}sin(x)-\int_0^\pi [/mm] $ [mm] sin(xn)*sin(x)*cos(x)dx$\\
[/mm]
das in den eckigen klammern ist wieder null dann bleiben die beiden integralle [mm] übrig...\\
[/mm]
da das eine integral auf der rechten seite dem linken entsprich addiere ich auf beiden Seiten das [mm] integral\\
[/mm]
$ [mm] 2\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\int_0^\pi [/mm] $ [mm] x*sin(nx)\\
[/mm]
als nächstes teile ich die funktin durch [mm] 2\\
[/mm]
$ [mm] \frac{\biggl[-\frac{x}{n}cos(nx)\biggr]_0^\pi+\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(nx)dx}{2} $\\
[/mm]
$ [mm] =\frac{-\frac{\pi}{n}cos(n\pi)+\biggl[\frac{1}{n^2}sin(nx)\biggr]_0^\pi}{2} $\\
[/mm]
so jetzt subtrahier ich das Integral [mm] \int_0^\pi \frac{1}{n}cos(nx)dx [/mm] was ich oben habe aber bis jetzt noch nicht beachtet habe also kürzent sich das weg und übrig bleibt noch:
$ [mm] \int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\frac{\pi\cdot{}cos(n\pi)}{2*n} [/mm] $$ [mm] \\ [/mm] $
[mm] a_n=\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\frac{cos(n\pi)}{2*n}
[/mm]
damit ist noch nicht bewiesen dass dass dier reihe sin(2x) ist..:(
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Hallo jachu,
> $u'=sin (xn)
> [mm]u=-\frac{1}{n}cos(xn) \\[/mm]
> v=(cos(x)*sin(x))
> [mm]v'=2cos^2(x)-1 \\[/mm]
>
> [mm]\biggl[\frac{1}{n}cos(nx)\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi -\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}2cos^2(x)dx-\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(xn)[/mm]
> $ [mm]dx\\[/mm]
>
> so das in der eckigen klammer ist [mm]null\\[/mm]
>
> $ [mm]u=-\frac{1}{n}cos(nx) u'=sin(xn)\\[/mm]
> [mm]v'=2cos^2(x)[/mm]
> v [mm]=x+sin(x)cos(x)\\[/mm]
>
> $
> [mm]\biggl[\frac{1}{n}cos(xn)\cdot{}x\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)\biggr]_0^\pi-\int_0^\pi x\cdot{}sin(x)-\int_0^\pi[/mm]
> $ [mm]sin(xn)*sin(x)*cos(x)dx$\\[/mm]
>
> das in den eckigen klammern ist wieder null dann bleiben
> die beiden integralle [mm]übrig...\\[/mm]
> da das eine integral auf der rechten seite dem linken
> entsprich addiere ich auf beiden Seiten das [mm]integral\\[/mm]
>
> [mm]2\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\int_0^\pi[/mm]
> [mm]x*sin(nx)\\[/mm]
>
> als nächstes teile ich die funktin durch [mm]2\\[/mm]
>
> [mm]\frac{\biggl[-\frac{x}{n}cos(nx)\biggr]_0^\pi+\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(nx)dx}{2}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]=\frac{-\frac{\pi}{n}cos(n\pi)+\biggl[\frac{1}{n^2}sin(nx)\biggr]_0^\pi}{2}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> so jetzt subtrahier ich das Integral [mm]\int_0^\pi \frac{1}{n}cos(nx)dx[/mm]
> was ich oben habe aber bis jetzt noch nicht beachtet habe
> also kürzent sich das weg und übrig bleibt noch:
>
>
> [mm]\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\frac{\pi\cdot{}cos(n\pi)}{2*n}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]a_n=\int_0^\pi sin(xn)\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(x)dx=-\frac{cos(n\pi)}{2*n}[/mm]
>
> damit ist noch nicht bewiesen dass dass dier reihe sin(2x)
> ist..:(
Bei dem Integral
[mm]\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(nx\right) * \sin\left(x\right)*\cos\left(x\right)\ dx}[/mm]
ist es richtig die partielle Integration anzuwenden.
Jetzt hast Du diese einmal angewendet.
Definieren wir folgende Funktionen:
[mm]u_{0}:=\sin\left(n*x\right)[/mm]
[mm]v_{0}:=\sin\left(x\right)*\cos\left(x\right)[/mm]
[mm]u_{k+1}=\integral_{}^{}{u_{k} \ dx}[/mm]
[mm]v_{k+1}=\bruch{dv_{k}}{dx}[/mm]
Dann ist
[mm]\integral_{}^{}{u_{0}*v_{0} \ dx}=u_{1}*v_{0}-\integral_{}^{}{u_{1}*v_{1} \ dx}[/mm]
Nochmalige Anwendung liefert:
[mm]\integral_{}^{}{u_{1}*v_{1} \ dx}=u_{2}*v_{1}-\integral_{}^{}{u_{2}*v_{2} \ dx}[/mm]
Nun gilt:
[mm]u_{1}=-\bruch{1}{n}*\cos\left(nx\right)[/mm]
[mm]u_{2}=-\bruch{1}{n^{2}}*\sin\left(nx\right)=-\bruch{1}{n^{2}}*u_{0}[/mm]
[mm]v_{1}=\cos^{2}\left(x\right)-\sin^{2}\left(x\right)=2*\cos^{2}\left(x\right-1)[/mm]
[mm]v_{2}=-4*\sin\left(x\right)*\cos\left(x\right)=-4*v_{0}[/mm]
Damit kannst Du eine Stammfunktion des Integrals
[mm]\integral_{}^{}{\sin\left(n*x\right)*\sin\left(x\right)*\cos\left(x\right) \ dx}[/mm]
angegeben und somit den Wert des Integrals berechnen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Do 19.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich sehe grad, dass vor lauter Integralen ich übersehen habe, dass ein Fehler von Anfang an drin ist.
sinx*cosx hat die Periode [mm] \pi [/mm] und nicht [mm] 2\pi
[/mm]
deshalb ist die Grundfunktion nicht sinx sondern sin2x, man hat also die Koeffizenten von sin2nx zu bestimmen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Do 19.11.2009 | | Autor: | jachu |
stimmt muss die koeffizienten für sin(2nx) berechnen...
danke ich habe jetzt nun das ergebnis habe es jedoch in exponentialfunktion umgewandelt und dann es integriert habe mir damit viel gesparrt^^
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