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Fourierreihen: Bitte um Korrektur/Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Di 12.02.2013
Autor: matheist

Aufgabe
Bestimmen Sie die Fourierreihe zu der periodischen Funktion f(x) im Grundintervall 0 [mm] \le x<2\pi [/mm]  

[mm] f(x)=\begin{cases}x, & 0\le x<\pi \\ 0, & \pi \le x<2\pi \end{cases} [/mm]

Geben Sie den Wert der Fourierreihe an den Stellen [mm] x_0=0 [/mm] und [mm] x_2=\pi [/mm] an.



Zunächst müssen die Koeffizienten bestimmt werden:

[mm] a_k=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xcos(kx) dx}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{cos(kx)}{k^2}+\bruch{xsin(kx)}{k}]_{0}^{\pi}=\bruch{1}{\pi}(\bruch{(-1)^k}{k^2}+0-\bruch{1}{k^2}-0)=\bruch{(-1)^k-1}{\pi*k^2} [/mm]

[mm] a_k=0 [/mm] wenn k gerade ist
[mm] a_k=\bruch{-2}{\pi*k^2} [/mm] wenn k ungerade ist


[mm] b_k=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xsin(kx) dx}=\bruch{1}{\pi}[\bruch{sinx}{k^2}-\bruch{xcosx}{k}]_{0}^{\pi}=\bruch{2}{k} [/mm]

[mm] b_k=\bruch{2}{k} [/mm] für alle k


[mm] S(x)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{(-1)^k-1}{\pi*k^2}cos(kx)+\bruch{2}{k}sin(kx)) [/mm]

--> Ich weiß leider nicht, was mit [mm] a_0 [/mm] gemeint ist. Ist das Ergebnis soweit richtig? Wie errechnet sich [mm] a_0? [/mm]



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. (@Moderatoren, es sollte ersichtlich sein, dass ich keine bösen Absichten habe. Der Newbiestatus kann meinetwegen wegfallen)

        
Bezug
Fourierreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Di 12.02.2013
Autor: MathePower

Hallo matheist,

> Bestimmen Sie die Fourierreihe zu der periodischen Funktion
> f(x) im Grundintervall 0 [mm]\le x<2\pi[/mm]  
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}x, & 0\le x<\pi \\ 0, & \pi \le x<2\pi \end{cases}[/mm]
>  
> Geben Sie den Wert der Fourierreihe an den Stellen [mm]x_0=0[/mm]
> und [mm]x_2=\pi[/mm] an.
>  
>
> Zunächst müssen die Koeffizienten bestimmt werden:
>  
> [mm]a_k=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xcos(kx) dx}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{cos(kx)}{k^2}+\bruch{xsin(kx)}{k}]_{0}^{\pi}=\bruch{1}{\pi}(\bruch{(-1)^k}{k^2}+0-\bruch{1}{k^2}-0)=\bruch{(-1)^k-1}{\pi*k^2}[/mm]
>  
> [mm]a_k=0[/mm] wenn k gerade ist
>  [mm]a_k=\bruch{-2}{\pi*k^2}[/mm] wenn k ungerade ist
>


[ok]


>
> [mm]b_k=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xsin(kx) dx}=\bruch{1}{\pi}[\bruch{sinx}{k^2}-\bruch{xcosx}{k}]_{0}^{\pi}=\bruch{2}{k}[/mm]
>  
> [mm]b_k=\bruch{2}{k}[/mm] für alle k
>


Das musst Du nochmal nachrechnen.


>
> [mm]S(x)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{(-1)^k-1}{\pi*k^2}cos(kx)+\bruch{2}{k}sin(kx))[/mm]
>  
> --> Ich weiß leider nicht, was mit [mm]a_0[/mm] gemeint ist. Ist
> das Ergebnis soweit richtig? Wie errechnet sich [mm]a_0?[/mm]
>  

[mm]\bruch{a_{0}}{2}[/mm] ist das Gleichglied:

[mm]\bruch{a_{0}}{2}=\bruch{1}{2 \pi}*\integral_{0}^{\pi}{x \ dx}[/mm]


>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. (@Moderatoren, es sollte
> ersichtlich sein, dass ich keine bösen Absichten habe. Der
> Newbiestatus kann meinetwegen wegfallen)


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Fourierreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:08 Di 12.02.2013
Autor: matheist

Es muss lauten:

$ [mm] b_k=\bruch{1}{k} [/mm] $ für alle k


[mm] S(x)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2}cos(kx)+\bruch{1}{k}sin(kx)) [/mm]

Gibt es für das [mm] a_0 [/mm] eine allgemeine Formel? Ist das Ergebnis richtig?

> Geben Sie den Wert der Fourierreihe an den Stellen $ [mm] x_0=0 [/mm] $ und $ [mm] x_2=\pi [/mm] $ an.

Das scheint mir immer noch nicht gelöst zu sein. Wo soll ich diese Werte einsetzen?

Bezug
                        
Bezug
Fourierreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:29 Mi 13.02.2013
Autor: fred97


> Es muss lauten:
>  
> [mm]b_k=\bruch{1}{k}[/mm] für alle k
>  
>
> [mm]S(x)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2}cos(kx)+\bruch{1}{k}sin(kx))[/mm]
>  
> Gibt es für das [mm]a_0[/mm] eine allgemeine Formel?




    Schau mal hier:



http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe



> Ist das
> Ergebnis richtig?

Ja


>  
> > Geben Sie den Wert der Fourierreihe an den Stellen [mm]x_0=0[/mm]
> und [mm]x_2=\pi[/mm] an.
>
> Das scheint mir immer noch nicht gelöst zu sein. Wo soll
> ich diese Werte einsetzen?

In S(x)


FRED


Bezug
                                
Bezug
Fourierreihen: Bitte um Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Mi 13.02.2013
Autor: matheist

[mm] S(0)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2} \to [/mm] für alle ungeraden k

[mm] S(0)=\bruch{\pi}{4} \to [/mm] für alle geraden k

[mm] S(\pi)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2}*(-1)^k=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^2k-1}{\pi\cdot{}k^2}=\bruch{\pi}{4} \to [/mm] für alle k

Bezug
                                        
Bezug
Fourierreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Mi 13.02.2013
Autor: MathePower

Hallo matheist,

>
> [mm]S(0)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2} \to[/mm]
> für alle ungeraden k
>  
> [mm]S(0)=\bruch{\pi}{4} \to[/mm] für alle geraden k
>  
> [mm]S(\pi)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2}*(-1)^k=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^2k-1}{\pi\cdot{}k^2}=\bruch{\pi}{4} \to[/mm]
> für alle k


Das korrekte Ergebnis lautet:

[mm]S\left(x\right)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{2}{\pi*\left(2*k-1\right)^{2}}*\cos\left(\left(2*k-1\right)*x\right)-\bruch{\left(-1\right)^{k}}{k}*\sin\left(k*x\right)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Fourierreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 Mi 13.02.2013
Autor: matheist

Danke MathePower.

> Das korrekte Ergebnis lautet:
>  
> [mm]S\left(x\right)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{2}{\pi*\left(2*k-1\right)^{2}}*\cos\left(\left(2*k-1\right)*x\right)-\bruch{\left(-1\right)^{k}}{k}*\sin\left(k*x\right)[/mm]

Ich kann das Ergebnis nicht ganz nachvollziehen. Ist das von mir ursprünglich berechnete S(x) falsch gewesen oder hast S(x) durch Einsetzen verändert? Wenn letzteres zutrifft, wie genau hast du das gemacht?

Bezug
                                                        
Bezug
Fourierreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Mi 13.02.2013
Autor: MathePower

Hallo matheist,

> Danke MathePower.
>  
> > Das korrekte Ergebnis lautet:
>  >  
> >
> [mm]S\left(x\right)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{2}{\pi*\left(2*k-1\right)^{2}}*\cos\left(\left(2*k-1\right)*x\right)-\bruch{\left(-1\right)^{k}}{k}*\sin\left(k*x\right)[/mm]
>  
> Ich kann das Ergebnis nicht ganz nachvollziehen. Ist das
> von mir ursprünglich berechnete S(x) falsch gewesen oder
> hast S(x) durch Einsetzen verändert? Wenn letzteres
> zutrifft, wie genau hast du das gemacht?


Zunächst stimmt der Koeffiizient vor [mm]\sin\left(k*x\right)[/mm]
in Deiner angegeben Formel nicht.

Dann ist der Koeffizient

[mm]\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2}[/mm]

nur für ungerade k von 0 verschieden.

Daher hab ich [mm]k:=2*k'-1[/mm] gesetzt.
Anschliessendes umbenennen von k' in k
liefert die oben angegebene Formel.


Gruss
MathePower


Bezug
                                                                
Bezug
Fourierreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Mi 13.02.2013
Autor: matheist

Hallo MathePower,

> Daher hab ich [mm]k:=2*k'-1[/mm] gesetzt.

Aber du hättest ja auch k:=2*k'+1 nehmen können. Warum -1?

Bezug
                                                                        
Bezug
Fourierreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Mi 13.02.2013
Autor: MathePower

Hallo matheist,

> Hallo MathePower,
>  
> > Daher hab ich [mm]k:=2*k'-1[/mm] gesetzt.
>  
> Aber du hättest ja auch k:=2*k'+1 nehmen können. Warum
> -1?


Weil ich den ganzen Ausdruck mit Sinus und Cosinus
unter einer Summe haben will.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Fourierreihen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Mi 13.02.2013
Autor: matheist


> Weil ich den ganzen Ausdruck mit Sinus und Cosinus
>  unter einer Summe haben will.

Ok, das macht Sinn :-)

Wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe, kommt folgendes Ergebnis zustande:

[mm] S(0)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{2}{\pi(2k-1)^{2}} [/mm]

[mm] S(\pi)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{\pi(2k-1)^{2}} [/mm]



Bezug
                                                                                        
Bezug
Fourierreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 Mi 13.02.2013
Autor: MathePower

Hallo matheist,

> > Weil ich den ganzen Ausdruck mit Sinus und Cosinus
>  >  unter einer Summe haben will.
>  
> Ok, das macht Sinn :-)
>  
> Wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe, kommt folgendes
> Ergebnis zustande:
>  
> [mm]S(0)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{2}{\pi(2k-1)^{2}}[/mm]
>  
> [mm]S(\pi)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{\pi(2k-1)^{2}}[/mm]
>  


Das stimmt.


Gruss
MathePower

Bezug
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