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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Do 22.09.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Man berechne die Fourier Transformation der folgenden Funktion:
[mm] $\Psi_{1}(x) [/mm] = [mm] e^{-a|x|}sin(k_{0}x), [/mm] \ a>0$ |
Hallo,
Unterscheide 3 Fälle:
1. $x<0 [mm] \Rightarrow [/mm] |x| = -x$
Damit ist die Fouriertransformierte: [mm] $F(\Psi_{1}(x);k] [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} e^{x(a-ik)} [/mm] sin (kx)dx $
mit zweimaliger partieller Integration komme ich auf:
[mm] $\frac{e^{x(a-ik)}(-kcos(kx)+(a-ik)sin(kx)}{a(a-2ik)}\Big|_{-\infty}^{\infty}$
[/mm]
das sieht falsch aus!
2. $x=0 [mm] \Rightarrow F[\Psi_{1}(x);k] = [/mm] 0$
3. $x>0 [mm] \Rightarrow [/mm] |x| = x$
In diesem Fall ist die Fouriertransformierte: [mm] $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x(ik+a)}sin(kx)dx$
[/mm]
Wieder zweimal partiell integrieren ergibt :
[mm] $\frac{e^{x(-a-ik)}(-kcos(kx)-(a+ik)sin(kx))}{a(a+2ik)}\Big|_{-\infty}^{\infty}$
[/mm]
Auch das scheint falsch..
Was wurde falsch gemacht??
Vielen Dank für jegliche Hilfe!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Do 22.09.2011 | | Autor: | chrisno |
Der Betrag wird unter dem Integral gebildet. Du musst also das Integral in zwei Integrale zerlegen, von [mm] $-\infty$ [/mm] bis 0 und von 0 bis [mm] $\infty$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Fr 23.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
OK,
dann hat man für:
$x<0: [mm] \frac{-k}{a(a-2ik)}$ [/mm] , $x=0 : 0 $ , $x>0: [mm] \frac{-k}{a(a+2ik)} [/mm] $
Kann das so stimmen? Es soll die Fouriertransformierte skizziert werden, soll man hierbei einerseits den Realteil und den Imaginärteil separat skizzieren?
> GruB
Danke sehr.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Fr 23.09.2011 | | Autor: | chrisno |
nein, das stimmt so nicht. Du hast ein und zwar nur Integral, das musst Du lösen. Du zerlegst das Integral, um es in zwei Teilen zu lösen. Dann musst Du diese beiden Teilergebnisse zusammenfassen. Vergiss doch mal für einen Moment die mit Fourier verbundenen Begriffe. Löse einfach das Integral.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Fr 23.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> nur ein Integral
habe ich nicht zwei wegen der fallunterscheidung für x<0 und x>0 aber eine Summe :
$ [mm] \frac{e^{x(a-ik)}(-kcos(kx)+(a-ik)sin(kx)}{a(a-2ik)}\Big|_{-\infty}^{0} [/mm] + [mm] \frac{e^{x(-a-ik)}(-kcos(kx)-(a+ik)sin(kx))}{a(a+2ik)}\Big|_{0}^{\infty} [/mm] = [mm] \frac{-2k}{a^{2}+4k^{2}}$ [/mm] ?
Oder meinst du für jeden Fall ein Integral?
1. x<0 : [mm] $\frac{e^{x(a-ik)}(-kcos(kx)+(a-ik)sin(kx)}{a(a-2ik)}\Big|_{-\infty}^{0}+ \frac{e^{x(a-ik)}(-kcos(kx)+(a-ik)sin(kx)}{a(a-2ik)}\Big|_{0}^{\infty}=... [/mm] $
und
2. x>0 : [mm] $\frac{e^{x(-a-ik)}(-kcos(kx)-(a+ik)sin(kx))}{a(a+2ik)}\Big|_{-\infty}^{0} [/mm] + [mm] \frac{e^{x(-a-ik)}(-kcos(kx)-(a+ik)sin(kx))}{a(a+2ik)}\Big|_{0}^{\infty}=...$
[/mm]
Dann geht das bestimmte aber nicht mehr...
> GruB
Danke vielmals.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Fr 23.09.2011 | | Autor: | chrisno |
> habe ich nicht zwei wegen der fallunterscheidung für x<0
> und x>0 aber eine Summe :
>
> [mm]\frac{e^{x(a-ik)}(-kcos(kx)+(a-ik)sin(kx)}{a(a-2ik)}\Big|_{-\infty}^{0} + \frac{e^{x(-a-ik)}(-kcos(kx)-(a+ik)sin(kx))}{a(a+2ik)}\Big|_{0}^{\infty} = \frac{-2k}{a^{2}+4k^{2}}[/mm]
Die Summe hattest Du oben nicht hingeschrieben.
Wie Du siehst, erübrigt sich nun die Frage nach Real- und Imaginärteil. Das konnte man der Funktion direkt ansehen. (Die Details der Integration habe ich nicht nachgerechnet.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Fr 23.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo chrisno,
danke für die Geduld.
Gruss
kushkush
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