Fräskurve < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist eine Sinuskurve, welche gefräst werden soll. Das Problem dabei ist, dass der Fräser eine bestimmte Ausdehnung hat. Wenn ein analytischer Ausdruck für die Kurve des Fräser-Mittelpunktes existiert - wie lautet dieser? |
Diese Frage ist meine Version einer Kurzfassung eines praktischen Problems, vor welchem ich zur Zeit stehe.
In ein Werkstück soll eine sinusartige (im Spezialfall noch etwas andere Kurve) gefräst werden. Zur Verfügung steht aber nur ein kugelförmiger Fräskopf mit einer gewissen Ausdehnung (größer 0, kugelförmig, aber mit kleinerem Radius als der Krümmungsradius der Sinuskurve).
Die Fräsermittelpunkt-Kurve soll am Ende somit an jeder Position den gleichen Abstand zur zu fräsenden (Sinus-)Kurve haben.
Der Fräser kommt dabei von oben, so dass die gesuchte Kurve oberhalb der Ausgangskurve liegt.
Mich interessiert, ob es überhaupt möglich ist, diese Kurve in eine ("einfache") Funktion zu verwandeln.
Das Problem ist für mich hierbei die sich ändernde "Halb"-Periodenlänge.
Damit ist die eigentliche Aufgabe noch nicht komplett gelöst, doch hoffte ich, dass eine Lösung im "Sinus-Ansatz" für das Erkennen einer allgemeinen Lösung hilft.
Wenn es einfacher sein sollte keine Winkelfunktion, sondern ein Polynom zu fräsen (eine Parabel reicht da natürlich vorerst), ist mir sicher auch geholfen, weil ich denke, dass da eine Verallgemeinerung mittels Taylor-Reihe möglich ist.
Mein Problem ist der äquidistante Abstand beider Funktionen zueinander. Ich raffe einfach nicht, wie man aus dieser Eigenschaft die gesuchte Funktion findet. Man müsste ja in jedem Punkt der Ausgangsfunktion die Normale bilden und diese im richtigen Abstand (mit der richtigen Orientierung - also nach "oben") "markieren" und diese Stellen anschließend verbinden. Daraus eine Funktion bilden übersteigt aber derzeit meinen Horizont.
Ich hoffe, dass durch den langen Text nicht gleich jeder abgeschreckt wird und doch einer in den Weiten dieses Forums existiert, der mir da helfen kann (reverent, Al-Chwarizmi, mathepower usw. (ohje hoffentlich fühlt sich ein Nichtgenannter nicht diskriminiert)).
In froher Erwartung,
pi-roland.
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> Gegeben ist eine Sinuskurve, welche gefräßt werden soll.
> Das Problem dabei ist, dass der Fräßer eine bestimmte
> Ausdehnung hat. Wenn ein analytischer Ausdruck für die
> Kurve des Fräßer-Mittelpunktes existiert - wie lautet
> dieser?
> Diese Frage ist meine Version einer Kurzfassung eines
> praktischen Problems, vor welchem ich zur Zeit stehe.
> In ein Werkstück soll eine sinusartige (im Spezialfall
> noch etwas andere Kurve) gefräßt werden. Zur Verfügung
> steht aber nur ein kugelförmiger Fräßkopf mit einer
> gewissen Ausdehnung (größer 0, kugelförmig, aber mit
> kleinerem Radius als der Krümmungsradius der Sinuskurve).
> Die Fräßermittelpunkt-Kurve soll am Ende somit an jeder
> Position den gleichen Abstand zur zu fräßenden
> (Sinus-)Kurve haben.
> Der Fräßer kommt dabei von oben, so dass die gesuchte
> Kurve oberhalb der Ausgangskurve liegt.
> Mich interessiert, ob es überhaupt möglich ist, diese
> Kurve in eine ("einfache") Funktion zu verwandeln.
> Das Problem ist für mich hierbei die sich ändernde
> "Halb"-Periodenlänge.
>
> Damit ist die eigentliche Aufgabe noch nicht komplett
> gelöst, doch hoffte ich, dass eine Lösung im
> "Sinus-Ansatz" für das Erkennen einer allgemeinen Lösung
> hilft.
> Wenn es einfacher sein sollte keine Winkelfunktion,
> sondern ein Polynom zu fräßen (eine Parabel reicht da
> natürlich vorerst), ist mir sicher auch geholfen, weil ich
> denke, dass da eine Verallgemeinerung mittels Taylor-Reihe
> möglich ist.
> Mein Problem ist der äquidistante Abstand beider
> Funktionen zueinander. Ich raffe einfach nicht, wie man aus
> dieser Eigenschaft die gesuchte Funktion findet. Man
> müsste ja in jedem Punkt der Ausgangsfunktion die Normale
> bilden und diese im richtigen Abstand (mit der richtigen
> Orientierung - also nach "oben") "markieren" und diese
> Stellen anschließend verbinden. Daraus eine Funktion
> bilden übersteigt aber derzeit meinen Horizont.
>
> Ich hoffe, dass durch den langen Text nicht gleich jeder
> abgeschreckt wird und doch einer in den Weiten dieses
> Forums existiert, der mir da helfen kann (reverent,
> Al-Chwarizmi, mathepower usw. (ohje hoffentlich fühlt sich
> ein Nichtgenannter nicht diskriminiert)).
> In froher Erwartung,
>
> pi-roland.
Hallo π - Roland,
du suchst also die Gleichung einer Art "Parallelkurve" zu einer
gegebenen Kurve im Sinne von ![[]](/images/popup.gif) parallel / verwandte Begriffe .
Das Wesentliche, was ich dazu sagen kann, ist dies, dass
solche Parallelkurven im Allgemeinen keine einfachen
Darstellungen durch Funktionsgleichungen besitzen.
Schon das Beispiel einer Parallelkurve zu einer quadratischen
Funktion (Parabel) zeigt, dass auch die Form einer solchen
Kurve nicht elementar ist. Parallelkurven zu Parabel .
Zur praktischen Realisation auf einer automatisch gesteuerten
Fräsmaschine sehe ich eigentlich nur eine parametrische
Darstellung. Dabei sollte es möglich sein, den Mittelpunkt
des Fräskopfes nicht nur durch eine Funktion y(x) zu führen,
sondern durch eine Funktion (x(t),y(t)) eines Parameters t.
Neu, aber intuitiv nicht so ganz fremd ist mir die Schreib-
weise "fräßen" bzw. "Fräßer", welche wohl besagen möchte,
dass sich die Fräse bzw. der Fräskopf buchstäblich durch
das zu bearbeitende Material frisst ... 
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:53 Mo 31.10.2011 | | Autor: | pi-roland |
Danke für deine Antwort! Das "spart" Arbeit.
Die eigentliche Kurve, die gefräst werden soll, besteht aus lauter Kreissegmenten. Ein konkaver Viertelkreis wechselt dabei mit einem konvexen Viertelkreis ab. Das Resultat ist eine sinusähnliche Funktion.
Bei einem runden Fräskopf (im zweidimensionalen ist er kreisförmig) ist das Problem nicht weiter schwierig, da sich nur die Radien der Kreise ändern.
Die Fräsmittelpunktkurve ist hier einfach: großer Kreis - kleiner Kreis - großer Kreis - usw.
Das lässt sich auch einigermaßen automatisieren, doch ein letzter Schritt - die Darstellung als elementare Funktion - hätte mein Herz noch mehr erfreut. (Soll noch einer sagen, dass Mathematik und Ästhetik nichts miteinander zu tun haben. Ich fand Formeln schon immer schön.)
Auch der Fräser hat sich nach dem üppigen Nachtmahl erholt und kann wieder seiner eigentlichen Aufgabe nachgehen - Fräsen.
Gruß in die Vergangenheit,
[mm] \pi\mathrm{-roland}.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:50 Mo 31.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Danke für deine Antwort! Das "spart" Arbeit.
>
> Die eigentliche Kurve, die gefräst werden soll, besteht
> aus lauter Kreissegmenten. Ein konkaver Viertelkreis
> wechselt dabei mit einem konvexen Viertelkreis ab. Das
> Resultat ist eine sinusähnliche Funktion.
> Bei einem runden Fräskopf (im zweidimensionalen ist er
> kreisförmig) ist das Problem nicht weiter schwierig, da
> sich nur die Radien der Kreise ändern.
> Die Fräsmittelpunktkurve ist hier einfach: großer Kreis -
> kleiner Kreis - großer Kreis - usw.
> Das lässt sich auch einigermaßen automatisieren, doch
> ein letzter Schritt - die Darstellung als elementare
> Funktion - hätte mein Herz noch mehr erfreut. (Soll noch
> einer sagen, dass Mathematik und Ästhetik nichts
> miteinander zu tun haben. Ich fand Formeln schon immer
> schön.)
>
> Auch der Fräser hat sich nach dem üppigen Nachtmahl
> erholt und kann wieder seiner eigentlichen Aufgabe
> nachgehen - Fräsen.
>
> Gruß in die Vergangenheit,
>
> [mm]\pi\mathrm{-roland}.[/mm]
Du bist lustig. Ein Halbkreis oberhalb der x-Achsen mit dem Radius (r+a) und dem Mittelpunkt im Ursprung hat die Funktionsgleichung [mm] f(x)=\wurzel{(r+a)^2-x^2}, [/mm] da es sich nur um einen Viertelkreis handelt, musst du den Definitionsbereich links und rechts etwas beschneiden.
Der daran anschließende untere Bogen hat vom Mittelpunkt her eine seitliche Verschiebung v und den Radius r-a. Er wird beschrieben durch
[mm] f(x)=-\wurzel{(r-a)^2-(x-v)^2}.
[/mm]
Gruß Abakus
PS: Ach so, da der Viertelkreis jeweils nicht die x-Achse berührt (das würde nur ein Halbkreis mit der genannten Gleichung an seinen Rändern tun), muss auch noch eine Korrektur in Form einer vertikalen Verschiebung erfolgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Mo 31.10.2011 | | Autor: | pi-roland |
Hallo Abakus (wusste doch, dass ich einen der sehr fleißigen im meiner ersten Nachricht vergessen hatte),
natürlich ist mir diese Form der Kreisgleichung bekannt. Das Programm, welches die CNC-Maschine steuert, war schon vorhanden und sollte mit minimalen Aufwand das richtige Ergebnis liefern. Da der Urheber etwas komplizierter dachte, kam es zu einem Programm, in dem aus den Mittelpunkten der Kreise die aktuelle Fräserkopfposition errechnet wird. Der Fräserdurchmesser wurde aber vernachlässigt, was zu einem falschen Ergebnis führte.
Mich wunderte es nur, dass die Fräsmaschinensteuerung nicht in der Lage ist den Fräser mit einzubeziehen, so dass nur die gewünschte Form programmiert werden muss und der Rest von der Steuerung übernommen wird. Diese Arbeit bleibt demnach doch beim Programmierer hängen und kann beliebig kompliziert werden.
Mit deinem Ansatz dürfte es auch wesentlich einfacher sein aus den gegebenen Größen (Abstand zwischen Min und Max in [mm] \Delta [/mm] x und [mm] \Delta [/mm] y) die Fräßerpositionen für das Werkstück zu berechnen. Werde das mal in Angriff nehmen und die Lösung zur Korrektur hierher stellen.
Vielen Dank für deine Bemühungen.
Klappernde Grüße,
[mm] \pi\mathrm{-roland}.
[/mm]
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Hallo (f)ra(e)sender Roland,
was Abakus vorschlägt, habe ich schon mal durch Formeln
dargestellt.
Es sei R der Radius der Viertelkreise, die zusammengesetzt
die Pseudosinuskurve ergeben. Der Radius des Fräskopfes
sei [mm] \rho. [/mm] Ferner setzte ich [mm] e:=R/\sqrt{2} [/mm] und [mm] \varepsilon:=\rho/\sqrt{2}
[/mm]
Die Pseudosinuskurve ist analog wie die Kurve y=sin(x) ins
Koordinatensystem gelegt, mit Nullstellen [mm] x_k=k*2\,e
[/mm]
Um zu einem beliebigen x-Wert den zugehörigen y-Wert
des Fräskopfmittelpunktes zu berechnen, berechne ich
zuerst den Wert [mm] x_0 [/mm] im Grundintervall [mm] [-\varepsilon\,...\,4\,e-\varepsilon] [/mm] mit
dem gleichen y-Wert:
$\ [mm] x_0:=x-4*e*\left\lfloor \frac{x+\varepsilon}{4\,e}\right\rfloor$ [/mm]
Dann wird mittels einer Fallunterscheidung aus diesem [mm] x_0
[/mm]
der y-Wert berechnet:
$\ [mm] y:=\begin{cases} -e+\sqrt{(R+\rho)^2-(x_0-e)^2} &\quad falls\quad x_0<2\,e+\varepsilon \\ e-\sqrt{(R-\rho)^2-(x_0-3\,e)^2} & \quad sonst \end{cases}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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