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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Do 13.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, an alle! 
Ich habe versucht eine Aufgabe zu lösen, bin mir aber nicht sicher, ob sie stimmt. Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen. Vielen Dank schon mal im Voraus!
Das ist die Aufgabe:
Sei K ein Körper und sei V ein K-Vektorraum. Weiter sei n [mm] \ge [/mm] 1.
(a) Seien [mm] f_{i} [/mm] : V [mm] \to [/mm] K lineare Abbildungen für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n.
Für x [mm] \in [/mm] V sei g(x) = [mm] (f_{1}(x), [/mm] ..., [mm] f_{n}(x)).
[/mm]
Zeige, dass g : V [mm] \to K^{n} [/mm] eine lineare Abbildung ist.
(b) Sei g : V [mm] \to K^{n} [/mm] linear. Für x [mm] \in [/mm] V definieren wir [mm] f_{1}(x), [/mm] ..., [mm] f_{n}(x) [/mm] durch:
[mm] (f_{1}(x), [/mm] ..., [mm] f_{n}(x)) [/mm] = g(x) .
Zeige, dass die Funktionen [mm] f_{i} [/mm] : V [mm] \to [/mm] K linear sind für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n.
Ich gebe erstmal die allgemeine Definition von "Linearen Abbildungen" an, wie wir sie in der Vorlesung gelernt haben:
Seien V, W K-Vektorräume; f : V [mm] \to [/mm] W Abbildung.
f heißt linear, wenn für alle x, y [mm] \in [/mm] V, [mm] \alpha \in [/mm] K, gilt:
(1) f(x+y) = f(x) + f(y)
(2) [mm] f(\alpha [/mm] x) = [mm] \alpha [/mm] f(x)
So, und das hier ist meine Lösung:
Zu (a):
(1a) g(x+y) = g(x) + g(y) (zu zeigen)
g(x+y) = [mm] (f_{1}(x+y), [/mm] ..., [mm] f_{n}(x+y)) [/mm] = [mm] (f_{i} (x+y))_{1 \le i \le n}
[/mm]
Da ja [mm] f_{i} [/mm] : V [mm] \to [/mm] K eine lineare Abbildung ist, gilt also:
[mm] (f_{i} (x+y))_{1 \le i \le n} [/mm] = [mm] (f_{i} (x))_{1 \le i \le n} [/mm] + [mm] (f_{i} (y))_{1 \le i \le n}
[/mm]
Also: g(x+y) = [mm] (f_{i} (x))_{1 \le i \le n} [/mm] + [mm] (f_{i} (y))_{1 \le i \le n}
[/mm]
= g(x) + g(y)
(2a) [mm] g(\alpha [/mm] x) = [mm] \alpha [/mm] g(x) (zu zeigen)
[mm] g(\alpha [/mm] x) = [mm] (f_{1}(\alpha [/mm] x), ..., [mm] f_{n}(\alpha [/mm] x)) = [mm] (f_{i} (\alpha x))_{1 \le i \le n}
[/mm]
Da ja [mm] f_{i} [/mm] : V [mm] \to [/mm] K eine lineare Abbildung ist, gilt also:
[mm] (f_{i} (\alpha x))_{1 \le i \le n} [/mm] = [mm] \alpha (f_{i} (x))_{1 \le i \le n}
[/mm]
Also: [mm] g(\alpha [/mm] x) = [mm] \alpha (f_{i} (x))_{1 \le i \le n}
[/mm]
= [mm] \alpha [/mm] g(x)
Ist das so richtig bis jetzt?
Die Teilaufgabe (b) habe ich genauso analog gemacht.
Ich weiß aber nicht, ob das stimmt, weil ich mir nicht vorstellen kann, dass das so einfach ist. Da ist doch bestimmt ein Haken, oder?
Hoffe, ihr könnt mir helfen! Vielen Dank!
Gute Nacht!
Ciao!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo VHN
nein, da ist kein Haken.
Diese Beweise "Zeige, dass ... eine Gruppe ist", "Zeige, dass ... ein Körper ist" und so weiter sind so einfach, weil ja immer nur die Axiome verifiziert werden müssen. Weil der Verktorraum nicht gerade viele Axiome hat, ist das halt eben so kurz.
Vielleicht hätte man jeweils beim letzten Gleichheitszeichen noch begründen können: ... weil [mm] $K^n$ [/mm] ein Vektorraum ist.
Ist aber nur ein Detail, und evtl. gar nicht nötig, weil ihr das schon des Langen und Breiten bewiesen habt. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo VHN
Ich hab noch ganz vergessen:
Ein Vektorraum ist ja definiert als Abelsche Gruppe mit den angeführten Linearitätseigenschaften.
Aus diesem Grunde musst du auch noch zeigen, dass jedes Element (hier eine Funktion) ein additiv Inverses hat, und auch ein Null-Element ist zu suchen (und zu finden!).
Mit lieben Grüssen
Paul
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