Frage Tensorprodukt < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | | [mm] f(A \otimes B) = A^T \otimes B^T [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] f(A \otimes B) = A \otimes B + A^T \otimes B^T [/mm] |
Hallo zusammen, es geht um die obige Abbildung von der der Kern, die Dimension des Kerns und dann auch die Dimension des Bildes zu bestimmen ist.
A, B sind dabei quadratische Matritzen der Dimension n mit Einträgen aus einem Körper K.
Meine Frage hier ist jetzt wie ich da rangehen sollte? Ich weiß, dass die Abbildung f linear ist (nach Voraussetzung), also sind alle Elemente der Form [mm] A \otimes B = 0 [/mm] auf jedenfall im Kern enthalten. Das Problem ist, wir haben das Tensorprodukt noch nicht explizit behandelt.
Gehe ich richtig in der Annahme, dass das Tensorprodukt (solange ein Körper bzw. ein Vektorraum und nicht bloß ein Modul zurgrunge liegt) Nullteilerfrei ist?
Dann wären ja bloß die Elemente der Form [mm] 0 \otimes B, A \otimes 0, 0 \otimes 0 [/mm] im Kern enthalten.
Wie genau verhält sich aber das Tensorprodukt zum Transponieren? Kann da sonst noch etwas schiefgehen?
Ebenfalls der Kern ist zu bestimmen für die zweite Funktion, damit habe ich mich aber noch nicht beschäftigt.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
|
|
| |
|
Was sind A, B, f? Was ist die Aufgabe? Du redest die ganze Zeit von Kernen, die du ausrechnen willst, in der "Aufgabe" steht nix davon.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 So 29.06.2014 | | Autor: | Lauschgift |
Das steht doch im Text, direkt am Anfang. Es geht um den Kern der beiden Abbildungen, was A, B und f sind steht dort auch. A, B sind quadratische Matritzen der Dimension n mit Einträgen aus einem Körper K, f ist eben die Abbildung aus Aufgabe 1 bzw. 2.
|
|
|
| |
|
Was heißt f ist "die" Abbildung? f ist eine beliebige Abbildung die diese Gleichung erfüllt? Eine Abbildung von wo nach wo? Irgendeine Abbildung oder linear? Wie wäre es, wenn du den gesamten Aufgabentext samt aller Definitionen der Buchstaben in der richtigen Reihenfolge widergibst, das macht es sehr viel übersichtlicher. Ich verstehe den Kontext der Aufgabe jedenfalls nicht und es ist mir auch zu aufwendig, die Infos (falls alle vorhandenen) aus dem Text zusammenzusuchen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 So 29.06.2014 | | Autor: | Lauschgift |
Folgendes:
Sei K ein Körper, [mm] n\in\IN\ [/mm], [mm]V = M_n (K). [/mm] Sei [mm] f(A \otimes B) = (A)^T \otimes (B)^T \in End(V \otimes V). [/mm] für alle [mm] A, B \in V [/mm]
Zu bestimmen ist Kern von f, Dimension des Kerns von f und Dimension des Bildes von f.
Hoffe, das macht es verständlicher!
|
|
|
| |
|
Ok, mit den neuen Infos sieht das ganze schon besser aus 
> [mm]f(A \otimes B) = A^T \otimes B^T[/mm]
> [mm]f(A \otimes B) = A \otimes B + A^T \otimes B^T[/mm]
>
> Hallo zusammen, es geht um die obige Abbildung von der der
> Kern, die Dimension des Kerns und dann auch die Dimension
> des Bildes zu bestimmen ist.
>
> A, B sind dabei quadratische Matritzen der Dimension n mit
> Einträgen aus einem Körper K.
>
> Meine Frage hier ist jetzt wie ich da rangehen sollte? Ich
> weiß, dass die Abbildung f linear ist (nach
> Voraussetzung), also sind alle Elemente der Form [mm]A \otimes B = 0[/mm]
> auf jedenfall im Kern enthalten. Das Problem ist, wir haben
> das Tensorprodukt noch nicht explizit behandelt.
Was genau weißt du denn? Sagt dir das Kronecker Produkt etwas? Sieh mal auf Wikipedia nach.
> Gehe ich richtig in der Annahme, dass das Tensorprodukt
> (solange ein Körper bzw. ein Vektorraum und nicht bloß
> ein Modul zurgrunge liegt) Nullteilerfrei ist?
Ringe sind nullteilerfrei. Das Tensorprodukt ist jedoch a priori nur für Vektorräume definiert und liefert für zwei Vektorräume über einem Körper wieder einen Vektorraum. Die Frage ist also nicht wohldefiniert.
Du hast allerdings recht, dass das Produkt nichttrivialer Räume/Elemente wieder ungleich Null ist.
> Dann wären ja bloß die Elemente der Form [mm]0 \otimes B, A \otimes 0, 0 \otimes 0[/mm]
> im Kern enthalten.
Bedenke, dass A,B nicht Elemente aus V sind, womit [mm] $A\otimes [/mm] B$ ein Element von [mm] $V\times [/mm] V$ wäre, sondern ein Endomorphismus von [mm] $V\otimes [/mm] V$. Ganz so einfach ist es also nicht.
> Wie genau verhält sich aber das Tensorprodukt zum
> Transponieren? Kann da sonst noch etwas schiefgehen?
>
> Ebenfalls der Kern ist zu bestimmen für die zweite
> Funktion, damit habe ich mich aber noch nicht
> beschäftigt.
>
> Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
Verrate am besten mal, was du in etwa schon über das Tensorrodukt weißt und lies dir vielleicht mal den Wiki Artikel zum Kronecker Produkt sowie den Abschnitt Tensorprodukt linearer Abbildungen im Artikel zum Tensorprodukt durch.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Danke schonmal für die Antwort!
Ringe sind i.A. nicht Nullteilerfrei, betrachte alleine schon den Ring der Matritzen über einem Körper. Integritätsringe sind es.
Das Tensorprodukt kann man analog auch über (kommutativen) Ringen definieren, allerdings kann es da jedoch vorkommen, dass [mm] x \otimes y = 0 [/mm] gilt, obwohl sowohl x als auch y nicht Null sind. Das Tensorprodukt zweier R-Moduln ist in diesem Fall wieder ein R-Modul.
Wir haben das Tensorprodukt noch nie explizit "berechnet", sondern alleine über seine universelle Eigenschaft (die ist etwas zu länglich um sie hier zu zitieren) definiert. Entsprechend kann ich auch mit dem Kronecker-Produkt hier nicht arbeiten.
A, B sind sehr wohl Elemente aus V (dem Vektorraum der n x n - Matritzen), ich verstehe nicht ganz, was du hier meinst? Die Abbildung f ist ein Endomorphismus und geht von [mm] V \otimes V [/mm] nach [mm] V \otimes V [/mm], dass [mm] A \otimes B [/mm] nicht aus V stammt, ist mir bewusst.
Über mehr Input würde ich mich freuen :)
|
|
|
| |
|
> Danke schonmal für die Antwort!
>
> Ringe sind i.A. nicht Nullteilerfrei, betrachte alleine
> schon den Ring der Matritzen über einem Körper.
> Integritätsringe sind es.
Das ist schon klar. (Weitere Beispiele liefern direkte Produkte von Ringen mit mindestens zwei Faktoren.) Ich meinte: "Nur Ringe können die Eigenschaft besitzen, nullteilerfrei zu sein". Du hattest aber gefragt, ob das Tensorprodukt nullteilerfrei sei, und da das Tensorprodukt im Allgemeinen ein Modul ist, und nicht mit der Struktur eines Ringes oder einer Algebra ausgestattet ist, macht diese Frage keinen Sinn.
> Das Tensorprodukt kann man analog auch über (kommutativen)
> Ringen definieren, allerdings kann es da jedoch vorkommen,
> dass [mm]x \otimes y = 0[/mm] gilt, obwohl sowohl x als auch y nicht
> Null sind. Das Tensorprodukt zweier R-Moduln ist in diesem
> Fall wieder ein R-Modul.
Schon klar
> Wir haben das Tensorprodukt noch nie explizit "berechnet",
> sondern alleine über seine universelle Eigenschaft (die
> ist etwas zu länglich um sie hier zu zitieren) definiert.
> Entsprechend kann ich auch mit dem Kronecker-Produkt hier
> nicht arbeiten.
Das macht auch nichts (und tatsächlich ist die universelle Eigenschaft die einzig richtige Weise, das Tensorprodukt einzuführen).
> A, B sind sehr wohl Elemente aus V (dem Vektorraum der n x
> n - Matritzen), ich verstehe nicht ganz, was du hier
> meinst? Die Abbildung f ist ein Endomorphismus und geht von
> [mm]V \otimes V[/mm] nach [mm]V \otimes V [/mm], dass [mm]A \otimes B[/mm] nicht aus V
> stammt, ist mir bewusst.
Ja, ich war hier mit den Bezeichnungen durcheinander gekommen.
Um mal mit der Aufgabe voran zu kommen: Ist $f$ injektiv? Surjektiv? Was folgt für Kern und Bild?
> Über mehr Input würde ich mich freuen :)
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
> Um mal mit der Aufgabe voran zu kommen: Ist [mm]f[/mm] injektiv?
> Surjektiv? Was folgt für Kern und Bild?
>
Okay, also schauen wir mal: Injektivität würde bedeuten, dass der Kern nur den Nullvektor enthält, da f ein Endomorphismus ist. Surjektivität würde entsprechend bedeuten, dass das Bild von f gleich dem Vektorraum [mm] V \otimes V [/mm] ist.
Injektivität würde für die ganze Aufgabe reichen, denn der Kern enthielte dann nur den Nullvektor, dann folgt aus Kern-Bild-Satz (die Dimension von [mm] V \otimes V [/mm] ist ja bekannt, da die Dimension von V bekannt ist und V ein Vektorraum ist) bereits die Dimension des Bildes.
Für Injektivität wäre zu zeigen, dass zwei gleiche Bilder bereits das gleiche Urbild haben, im Grunde also dass folgendes gelten muss:
[mm] (A')^T \otimes (B')^T = A^T \otimes B^T \gdw A \otimes B = A' \otimes B' [/mm]
Doch wie ist da ranzugehen? Ich bin mir nicht sicher, ob ich genug Eigenschaften kenne, um darüber eine Aussage zu treffen. Wahrscheinlich fallen mir aber auch einfach nicht die richtigen ein :)
|
|
|
| |
|
In beliebigen Kategorien sind Involutionen (=Endomorphismen, deren Quadrat die Identität ergibt) Automorphismen.
|
|
|
| |
|
Ah, also ist f in diesem Fall selbstinvers und damit bijektiv? Dann wäre der Kern bloß Null, die Dimension des Kerns gleich Null und die Dimension des Bildes gleich der Dimension von [mm] V \otimes V [/mm]?
Falls das stimmt, würde ich mich über einen Tipp für die gleiche Aufgabe freuen, nur dass diesmal die Funktion
[mm] f(A \otimes B) = A \otimes B + A^T \otimes B^T [/mm]
betrachtet werden soll.
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Mo 30.06.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ah, also ist f in diesem Fall selbstinvers und damit
> bijektiv? Dann wäre der Kern bloß Null, die Dimension des
> Kerns gleich Null und die Dimension des Bildes gleich der
> Dimension von [mm]V \otimes V [/mm]?
>
> Falls das stimmt, würde ich mich über einen Tipp für die
> gleiche Aufgabe freuen, nur dass diesmal die Funktion
>
> [mm]f(A \otimes B) = A \otimes B + A^T \otimes B^T[/mm]
>
> betrachtet werden soll.
Wenn $n > 1$ ist, kannst du ganz einfach nicht-triviale Elemente im Kern finden, indem du $B = [mm] I_n$ [/mm] (Einheitsmatrix) setzt. Hier ist es also nicht ganz so einfach wie beim ersten Teil der Aufgabe.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 02.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Mo 30.06.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Dann wären ja bloß die Elemente der Form [mm]0 \otimes B, A \otimes 0, 0 \otimes 0[/mm]
> im Kern enthalten.
Ein kleiner Hinweis dazu: diese drei Elemente sind gleich. Es ist ja schliesslich $0 [mm] \otimes [/mm] B = (0 + 0) [mm] \otimes [/mm] B = (0 [mm] \otimes [/mm] B) + (0 [mm] \otimes [/mm] B)$, womit $0 [mm] \otimes [/mm] B$ das neutrale Element im Tensorraum sein muss. Genauso folgt $A [mm] \otimes [/mm] 0 = 0 [mm] \otimes [/mm] 0 = $ neutrales Element.
LG Felix
|
|
|
|
