Frage bzgl. Herangehensweise < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:14 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Aufgabenstellungen vervollständigt!
Gegeben sei die Folge [mm] (x_{k}, y_{k})=(1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}). [/mm] Geben Sie zu folgenden Punkten jeweils ein Beispiel an. Zeigen Sie, dass ihr Beispiel die geforderten Eigenschaften erfüllt.
(i) Eine Beschränkte Folge im [mm] \IR^{2}, [/mm] welche nicht konvergiert.
(ii) Eine unbeschränkte Folge im [mm] \IR^{3}, [/mm] die eine konvergente Komponentenfolge besitzt.
(iii) Eine unbeschränkte Folge im [mm] \IR^{2}, [/mm] die eine konvergente Teilfolge besitzt.
(iv) Eine (nichtkonstante) Funktion [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} f(x_{k}, y_{k})=42
[/mm]
(v) Eine Funktion [mm] \vec{g}: \IR^{2} \to \IR^{2}, [/mm] für die [mm] \vec{g}(x_{k}, y_{k}) [/mm] eine divergente Folge ist.
(vi) Eine Funktion j deren Niveaulinie zum Wert 2 ein Kreis um den Mittelpunkt (1,0) vom Radius 17 ist.
(vii) Eine Funktion h: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}, [/mm] deren Niveaulinie zum Wert 1 durch die Gerade gegeben ist, die durch die Punkte (1,0) und (2,5) verläuft. |
Hallo zusammen!
Ich gebe jetzt (vorerst) nicht alle Aufgabenstellungen an, da es mir im Moment ausschließlich um die Fragestellung geht. Ich verstehe irgendwie nicht den Zusammenhang zwischen der in der Einleitung gegebenen Folge und den dann folgenden (i), (ii), ... .
Ich würde mir jetzt zu den Aufgabenteilen (i), (ii), .... als Lösung Folgen einfallen lassen, die die geforderten Bedingungen erfüllen. Ich versteh nur einfach nicht was die in der Einleitung genannte Folge damit zu tun hat?!?
Vielen Dank für den Support!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Folge [mm](x_{k}, y_{k})=(1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}).[/mm]
> Geben Sie zu folgenden Punkten jeweils ein Beispiel an.
> Zeigen Sie, dass ihr Beispiel die geforderten Eigenschaften
> erfüllt.
>
> (i) Eine Beschränkte Folge im [mm]\IR^{2},[/mm] welche nicht
> konvergiert.
>
> (ii) Eine unbeschränkte Folge im [mm]\IR^{3},[/mm] die eine
> konvergente Komponentenfolge besitzt.
>
> (iii) ...
>
> .
> .
> .
>
> (vii) ...
> Hallo zusammen!
>
> Ich gebe jetzt (vorerst) nicht alle Aufgabenstellungen an,
> da es mir im Moment ausschließlich um die Fragestellung
> geht. Ich verstehe irgendwie nicht den Zusammenhang
> zwischen der in der Einleitung gegebenen Folge und den dann
> folgenden (i), (ii), ... .
>
> Ich würde mir jetzt zu den Aufgabenteilen (i), (ii), ....
> als Lösung Folgen einfallen lassen, die die geforderten
> Bedingungen erfüllen. Ich versteh nur einfach nicht was
> die in der Einleitung genannte Folge damit zu tun hat?!?
Die Folge $ [mm] (x_{k}, y_{k})=(1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}) [/mm] $ ist eine Folge, die die Eigenschaften in (ii) besitzt.
Mehr kann man zu Deiner Frage nicht sagen. Wie lauten denn (iii) - (vii) ?
FRED
>
> Vielen Dank für den Support!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fuoor |
Ich habe die Aufgabenstellung im ersten Post editiert. Ich hoffe man kann damit nun mehr anfangen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe die Aufgabenstellung im ersten Post editiert. Ich
> hoffe man kann damit nun mehr anfangen.
Nur (v) hat noch was mit der Folge $ [mm] (x_{k}, y_{k})=(1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1})$ [/mm] zu tun.
Warum hast Du die Ausgangsfrage auf "unbeantwortet" gestellt ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fuoor |
Sorry, ich dachte das wäre okay so. Kann ich das wieder ändern? Für mich hat sich ja nun tatsächlich die Frage beantwortet.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Di 04.11.2014 | | Autor: | fuoor |
Gegeben sei die Folge $ [mm] (x_{k}, y_{k})=(1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}). [/mm] $ Geben Sie zu folgenden Punkten jeweils ein Beispiel an. Zeigen Sie, dass ihr Beispiel die geforderten Eigenschaften erfüllt.
Ich habe nun folgendes geschrieben:
(i) Eine Beschränkte Folge im $ [mm] \IR^{2}, [/mm] $ welche nicht konvergiert.
[mm] (x_{k}, y_{k})=(sin(k), [/mm] k)
(ii) Eine unbeschränkte Folge im $ [mm] \IR^{3}, [/mm] $ die eine konvergente Komponentenfolge besitzt.
[mm] (x_{k}, y_{k}, z_{k})=(1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}, k^{15})
[/mm]
(iii) Eine unbeschränkte Folge im $ [mm] \IR^{2}, [/mm] $ die eine konvergente Teilfolge besitzt.
[mm] (x_{k}, y_{k})=(\bruch{1}{k}+\bruch{k^{3}}{k}, k^{3})
[/mm]
(iv) Eine (nichtkonstante) Funktion $ [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] $ mit $ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} f(x_{k}, y_{k})=42 [/mm] $
[mm] f:\IR^{2} \to \IR^{2}
[/mm]
f(x,y) [mm] \to \bruch{42(x+y)^{3}-1}{(x+y)^{3}+1}
[/mm]
(v) Eine Funktion $ [mm] \vec{g}: \IR^{2} \to \IR^{2}, [/mm] $ für die $ [mm] \vec{g}(x_{k}, y_{k}) [/mm] $ eine divergente Folge ist.
[mm] \vec{g}=(x_{k}, y_{k})=(k^{2}+1, \wurzel{k})
[/mm]
(vi) Eine Funktion j deren Niveaulinie zum Wert 2 ein Kreis um den Mittelpunkt (1,0) vom Radius 17 ist.
Mir ist ein wenig schleierhaft was eine Niveaulinie sein soll ...
Eine Kreisfunktion an sich ist [mm] x^{2}+y^{2} \le [/mm] 289 ... damit der Kreis r=17 hat. Ich benötige hier also einen kleinen Denkanstoß.
(vii) Eine Funktion h: $ [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}, [/mm] $ deren Niveaulinie zum Wert 1 durch die Gerade gegeben ist, die durch die Punkte (1,0) und (2,5) verläuft.
Ebenso hier. Kleiner Denkanstoß. Vielleicht klärt es sich auch sobald ich weiß was eine Niveaulinie ist.
Vielen Dank für den Support!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Di 04.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Folge [mm](x_{k}, y_{k})=(1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}).[/mm]
> Geben Sie zu folgenden Punkten jeweils ein Beispiel an.
> Zeigen Sie, dass ihr Beispiel die geforderten Eigenschaften
> erfüllt.
>
> Ich habe nun folgendes geschrieben:
>
> (i) Eine Beschränkte Folge im [mm]\IR^{2},[/mm] welche nicht
> konvergiert.
>
>
> [mm](x_{k}, y_{k})=(sin(k),[/mm] k)
Das passt nicht. Diese Folge ist unbeschränkt.
>
>
> (ii) Eine unbeschränkte Folge im [mm]\IR^{3},[/mm] die eine
> konvergente Komponentenfolge besitzt.
>
>
> [mm](x_{k}, y_{k}, z_{k})=(1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}, k^{15})[/mm]
Passt.
>
>
> (iii) Eine unbeschränkte Folge im [mm]\IR^{2},[/mm] die eine
> konvergente Teilfolge besitzt.
>
>
> [mm](x_{k}, y_{k})=(\bruch{1}{k}+\bruch{k^{3}}{k}, k^{3})[/mm]
Passt nicht. Diese Folge enthält keine konvergente Teilfolge.
>
>
> (iv) Eine (nichtkonstante) Funktion [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] mit
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} f(x_{k}, y_{k})=42[/mm]
>
> [mm]f:\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm]
> f(x,y) [mm]\to \bruch{42(x+y)^{3}-1}{(x+y)^{3}+1}[/mm]
Das passt hinten und vorne nicht ! Du sollst $ [mm] (x_{k}, y_{k})=(1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}) [/mm] $ verwenden !
>
>
> (v) Eine Funktion [mm]\vec{g}: \IR^{2} \to \IR^{2},[/mm] für die
> [mm]\vec{g}(x_{k}, y_{k})[/mm] eine divergente Folge ist.
>
>
> [mm]\vec{g}=(x_{k}, y_{k})=(k^{2}+1, \wurzel{k})[/mm]
Passt auch nicht ! Auch hier, verwende $ [mm] (x_{k}, y_{k})=(1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}). [/mm] $
>
>
> (vi) Eine Funktion j deren Niveaulinie zum Wert 2 ein Kreis
> um den Mittelpunkt (1,0) vom Radius 17 ist.
>
>
> Mir ist ein wenig schleierhaft was eine Niveaulinie sein
> soll ...
> Eine Kreisfunktion an sich ist [mm]x^{2}+y^{2} \le[/mm] 289 ...
> damit der Kreis r=17 hat. Ich benötige hier also einen
> kleinen Denkanstoß.
>
>
> (vii) Eine Funktion h: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2},[/mm] deren
> Niveaulinie zum Wert 1 durch die Gerade gegeben ist, die
> durch die Punkte (1,0) und (2,5) verläuft.
>
> Ebenso hier. Kleiner Denkanstoß. Vielleicht klärt es sich
> auch sobald ich weiß was eine Niveaulinie ist.
http://de.wikipedia.org/wiki/Niveaumenge
FRED
>
>
> Vielen Dank für den Support!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Di 04.11.2014 | | Autor: | fuoor |
Hallo Fred,
dann habe ich die Frage doch nicht verstanden. Ich dachte ich könnte willkürlich irgendwelche Folgen angeben.
Wie verstehe ich denn dann die Frage genau. Wenn ich mir [mm] (1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}) [/mm] anschaue, sehe ich, dass Komponente 1. konvergent ist mit dem Grenzwert 1. Komponente 2 ist divergent. Diese Folge ist also insgesamt divergent. Soweit so gut.
Wie übertrage ich das jetzt auf die geforderten Eigenschaften. Ich muss ja scheinbar die Ausgangsfolge so modifizieren, dass gewünschte Eigenschaften auftreten. Aber wie mache ich das. Wie und wo modifiziere ich da, damit gewünschte Eigenschaften auftreten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Di 04.11.2014 | | Autor: | fuoor |
Ich wandle mal meine Mitteilung in eine Frage um:
Hi Fred,
dann habe ich die Frage doch nicht verstanden. Ich dachte ich könnte willkürlich irgendwelche Folgen angeben.
Wie verstehe ich denn dann die Frage genau. Wenn ich mir $ [mm] (1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}) [/mm] $ anschaue, sehe ich, dass Komponente 1. konvergent ist mit dem Grenzwert 1. Komponente 2 ist divergent. Diese Folge ist also insgesamt divergent. Soweit so gut.
Wie übertrage ich das jetzt auf die geforderten Eigenschaften. Ich muss ja scheinbar die Ausgangsfolge so modifizieren, dass gewünschte Eigenschaften auftreten. Aber wie mache ich das. Wie und wo modifiziere ich da, damit gewünschte Eigenschaften auftreten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Di 04.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> .... Ich muss ja scheinbar die Ausgangsfolge so
> modifizieren, dass gewünschte Eigenschaften auftreten.
> Aber wie mache ich das. Wie und wo modifiziere ich da,
> damit gewünschte Eigenschaften auftreten?
>
So wie die Aufgabe gestellt ist, musst Du das nicht. Du kannst auch sagen, dass Du so stark modifizierst, dass man die ursprüngliche Folge nicht mehr erkennt. Es kommt auf das Gleiche heraus.
Fang an mit I: beschränkt und nicht konvergent. Da musst Du nur noch den unbeschränkten Anteil ändern.
Zu III: Wie lautet die Definition von Teilfolge?
Zu IV: Wenn Du am Ende mit 42 multiplizieren willst, dann musst Du zu der am Anfang gegebenen Folge eine Abbildung [mm] $\IR^2 \to \IR$ [/mm] finden, deren Wert dann gegen 1 konvergiert. Wie die Funktion aussieht, ist die freigestellt: Summe oder Differenz oder Produkt (vom Quotienten würde ich erst einmal abraten) oder Wurzel aus der Summe der Quadrate oder was Dir sonst gerade einfällt.
Zu V: Du musst erst mal eine Funktion ohne Bezug auf die am Anfang gegebene Folge angeben. Dann setzt Du die Folge ein und zeigst, dass das Endergebnis die geforderten Eigenschaften hat.
Zur Niveaulinie: Du hast eine Funktion, die von [mm] $\IR^2 \to \IR$ [/mm] abbildet. Dann kannst Du Dir die Funktionswerte als Gebirge über der xy-Ebene vorstellen. Die Höhenlinien in diesem Gebirge heißen Niveaulinien.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Di 04.11.2014 | | Autor: | fuoor |
zu (i) Ich muss also den unbeschränkten Teil ändern. Das wäre dann [mm] \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}. [/mm] Ich beschränke, indem ich das ganze in ein Intervall presse. Wäre jetzt jedenfalls meine Idee. Oder wieder falsch? :/
(ii) Ist ja nun klar.
(iii) Eine konvergente Teilfolge ist z.B. [mm] (-1)^{k} [/mm] mit k=2k. So etwas muss ich nun also aus der Folge machen?
(iv) Kann ich hier also sagen, dass
[mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] mit [mm] (1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}) \to (1+\bruch{1}{\bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}})
[/mm]
so dann funktioniert? Ich multipliziere das Ganze dann natürlich noch mit 42.
(v) Kann ich leider noch immer nicht nachvollziehen.
(vi) und (vii) Was Niveaulinien sind kann ich mittlerweile nachvollziehen. Ich weiß nur nicht wie ich die Grundfunktion in einen Kreis umfunktioniere. Vor allem mit Mittelpunkt (0,1) und r=17. Niveaulinien kann ich ja selber festlegen. Aber wie komme ich an die Funktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Di 04.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> zu (i) Ich muss also den unbeschränkten Teil ändern. Das
> wäre dann [mm]\bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}.[/mm] Ich beschränke,
> indem ich das ganze in ein Intervall presse. Wäre jetzt
> jedenfalls meine Idee. Oder wieder falsch? :/
Das erkläre mal genauer. Was soll nun in ein Intervall gepresst werden. Ich sehe da keine Möglichkeit. Warum bist Du nicht bereit anstelle von [mm]\bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}.[/mm] etwas anderes hin zu schreiben?
>
> (ii) Ist ja nun klar.
>
> (iii) Eine konvergente Teilfolge ist z.B. [mm](-1)^{k}[/mm] mit
> k=2k. So etwas muss ich nun also aus der Folge machen?
Nicht aus der Folge. Eine Folge machen, die so etwas tut.
>
> (iv) Kann ich hier also sagen, dass
>
> [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] mit [mm](1+\bruch{1}{k}, \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}) \to (1+\bruch{1}{\bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}})[/mm]
Nein, eine Funktionsvorschrift fängt mit [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y) = [/mm] an. Ansonsten kommst Du dem Ziel näher.
>
> so dann funktioniert? Ich multipliziere das Ganze dann
> natürlich noch mit 42.
>
> (v) Kann ich leider noch immer nicht nachvollziehen.
Dann schreibe mal irgendeine, möglichst einfache Funktion [mm] $\IR^2 \to \IR^2$ [/mm] hin. Dein Verständnisproblem hängt mit dem bei iv zusammen.
>
> (vi) und (vii) Was Niveaulinien sind kann ich mittlerweile
> nachvollziehen. Ich weiß nur nicht wie ich die
> Grundfunktion in einen Kreis umfunktioniere.
Warum in aller Welt willst Du das? Es steht so nicht in der Aufgabe.
> Vor allem mit
> Mittelpunkt (0,1) und r=17. Niveaulinien kann ich ja selber
> festlegen. Aber wie komme ich an die Funktion?
Schreibe eine Funktion, die für den Kreis Null ergibt, sonst nicht. Ein Paraboloid ist da ein einfacher Zugang.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Di 04.11.2014 | | Autor: | fuoor |
(i) Ich könnte statt [mm] \bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1} [/mm] einfach [mm] (-1)^{k} [/mm] schreiben. Dadurch wäre die Folge beschränkt, aber trotzdem unbestimmt divergent.
(iii) Auch hier kann ich doch dann wieder mit [mm] (-1)^{2k} [/mm] oder [mm] (-1)^{2k-1} [/mm] arbeiten. Indem ich als Folge [mm] (1+\bruch{1}{k},\bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}(-1)^{2k})
[/mm]
Oder wieder falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Di 04.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> (i) Ich könnte statt [mm]\bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}[/mm] einfach
> [mm](-1)^{k}[/mm] schreiben. Dadurch wäre die Folge beschränkt,
> aber trotzdem unbestimmt divergent.
ja
>
> (iii) Auch hier kann ich doch dann wieder mit [mm](-1)^{2k}[/mm]
> oder [mm](-1)^{2k-1}[/mm] arbeiten. Indem ich als Folge
> [mm](1+\bruch{1}{k},\bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}(-1)^{2k})[/mm]
>
> Oder wieder falsch?
ja, wo ist die konvergente Teilfolge?
Ich mach Schluss, ich habe schon überzogen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Di 04.11.2014 | | Autor: | fuoor |
$ [mm] (1+\bruch{1}{k},\bruch{(k+1)^{3}}{k^{2}+1}(-1)^{k}) [/mm] $
Sollte so aussehen. Dann wäre die konvergente Teilfolge k=2k oder k=2k-1.
Ich habs nun endlich soweit ... dank dir für den Support, das hat mich insgesamt weitergebracht :).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:17 Mi 05.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Die konvergiert nicht.
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