Frage zu Jordan < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Sa 25.09.2010 | | Autor: | jacob17 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Im Mom. lerne ich für meine LA Klausur und bin gerade beim
Thema Jordannormalform. Leider versteh' ich hierzu so ein paar Grundlagen nocht nicht z.B
Hat man einen Endomorphismus F:V--->V eines K-VR V gegeben Nun ist z.Z dass einen natürliche Zahl d mit 0<d<dimV existiert für die Im [mm] F^{d+1} [/mm] = Im [mm] F^{d} [/mm] und ker [mm] F^{d+1}=kerF^{d} [/mm] Könnt ihr mir erklären was das denn genau bedeuten soll und inwiefern dass für die Jordannormalform relevant ist. Würd' es nämlich echt wahnsinnig gerne verstehen.
Viele Grüße
jacob
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> existiert für die Im [mm]F^{d+1}[/mm] = Im [mm]F^{d}[/mm] und ker
> [mm]F^{d+1}=kerF^{d}[/mm] Könnt ihr mir erklären was das denn
> genau bedeuten soll
Es gibt ein k ab dessen Potenz sich weder der Kern noch das Bild ändert.
Am Beispiel des Bildes [mm]Im[/mm] wird es vielleicht gut ersichtlich.
[mm]Bld(F)\supseteq Bld(F^2)\supseteq Bld(F^3)\supseteq Bld(F^4)\supseteq \ldots[/mm]
Für die (endliche) Dimension bedeutet das, dass sie immer kleiner wird. Damit muss es zwangläufig irgendwann mal gelten [mm]Bld(F^k)=Bld(F^{k+1})[/mm] für ein k
> und inwiefern dass für die
> Jordannormalform relevant ist. Würd' es nämlich echt
> wahnsinnig gerne verstehen.
Es gibt den Satz von Fitting, der besagt, dass dieses k für den Kern und Bild identisch ist, also auch [mm]\ker(f^k)=\ker(f^{k+1})[/mm].
Und somit die Fittingzerlegung:
[mm]V = Ker ( f^k) \oplus Bld ( f^k)[/mm] (Fitting-Zerlegung).
Mit dieser Zerlegung kann man das F kleinhacken (in einen nilpotenten und bijektiven Teil)
Der nächste Satz ist eine Folgerung daraus (beweis geht über Induktion)
Seien V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und f [mm] \in [/mm] End (V) nilpotent. Dann existiert eine Basis von V, bzgl. der die Matrix von f folgende Form hat:
[mm]A=\pmat{J& & \\
\ & \ddots &\\
& & J}[/mm] wobei [mm]J=\pmat{ 0&&\\
1&\ddots&\\
&\ddots&}[/mm]
Also kurz gesagt ist deine erwähnte Tatsache ein Hilfssatz für die Existenz einer Basis, die eine solche tolle Form ermöglicht.
> Viele Grüße
> jacob
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 25.09.2010 | | Autor: | jacob17 |
Vielen Dank für deine Antwort. Was mich aber noch interessiert ist warum ich die Wahl einer Jordanbasis von V bzgl.derer die Darstellungsmatrix des Endomorphismus f von V in Jordan Normalform ist von den einzelnen Jordanblöcke zu den verschiedenen Eigenwerten abhängig mache. Angenommen ich habe folgende Jordan Normalform A = [mm] \pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0\\ 0&0&1} [/mm] gegeben. Somit habe ich die zwei Eigenwerte 3 und 1 von f. Um nun eine Basis zu ermitteln betrachte ich zunächst den EW 3 Zu diesem gibt es einen Block der Länge 2 also picke ich mir einen Vektor aus [mm] Ker(A-3E_3)^{2} [/mm] heraus der aber nicht in [mm] Ker(A-3E_3) [/mm] liegen darf danach multpliziere ich diesen mit [mm] A-3E_3 [/mm] oder? Da man zum EW 1 nur einen Block der Länge eins hat nimmt man einfach einen Vektor aus [mm] ker(A-1E_3) [/mm] Jetzt frage ich mich warum man das genau so macht und wie das mit meiner vorherigen Frage zusammenhängt. Mir fehlt da im Mom. noch so der Gesamtüberblick.
jacob
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Ich will es nur anreißen, da der Beweis ein haufen Schreibarbeit ist.
Hast du eine Matrix A mit Eigenwert 3, dann ist [mm] A-3E_3 [/mm] nilpotent. Darauf kannst du den obigen erwähnten Satz anwenden. Die Gesamte Antowrt befindet sich eigentlich direkt im Beweis.
Die Idee ist folgende:
Du weißt [mm]0\subseteq Ker(f)\subseteq Ker(f^2)\subseteq Ker(f^3)\subseteq \ldots \subseteq Ker(f^{m-1})=Ker(f^{m})\subseteq V[/mm]. Außerdem ist
[mm]x\in Ker(f^i) \Rightarrow f(x)\in Ker(f^{i-1})[/mm] (Warum?)
Jetzt zerhackt man wieder den ganzen Raum in kleine Teile
[mm]V=Ker(f^m)=Ker(f^{m-1})\oplus U_1[/mm]
und Induktiv zerlegt man [mm]Ker(f^{m-1})[/mm]
[mm]Ker(f^{m-1})=\left [Ker(f^{m-2})+f(U_1)\right ]\oplus U_2[/mm]
...
[mm]Ker(f)=\left [ 0+f^{m-1}(U_1)+f^{m-2}(U_2)+\ldots+f(U_{m-1}) \right ] \oplus U_m[/mm]
Lange Rede kurzer Sinn:
Man kommt auf
[mm]V=U_1\oplus f^2(U_1)\oplus f^3(U_1)\ldots \oplus f^{m-1}(U_1)[/mm]
[mm]\oplus U_2\oplus f^2(U_2)\oplus f^3(U_2)\ldots \oplus f^{m-2}(U_2)[/mm]
[mm]\oplus U_3\oplus f^2(U_3)\oplus f^3(U_3)\ldots \oplus f^{m-3}(U_3)[/mm]
[mm]\oplus\ldots\oplus U_m[/mm]
Umgeschrieben auf die Basen sieht das ganze so aus:
Sei [mm]b_1\ldots b_{r_1}[/mm] eine Basis von [mm]U_1[/mm]
Sei [mm]b_{r_1+1}\ldots b_{r_2}[/mm] eine Basis von [mm]U_2[/mm]
V hat als Basis:
[mm]b_1, f^2(b_1), f^3(b_1)\ldots , , f^{m-1}(b_1)[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
[mm]b_{r_1}, f^2(b_{r_1}), f^3(b_{r_1})\ldots , , f^{m-1}(b_{r_1})[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
[mm]b_{r_m}[/mm]
Hier liegt die Antwort deiner Frage. Falls du ein Skript hast, solltest du dir den Beweis anschauen.
Ein Beispiel noch:
https://matheraum.de/read?t=695407 (siehe erste Antwort)
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