Frage zu Variablentransformati < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Do 15.01.2009 | | Autor: | Wimme |
Hi!
Bei der Herleitung zur Lösung von Ricatti DGLs kann ich einen Schritt leider nicht nachvollziehen.
Also man hat ja eine DGL der Form:
[mm] y'(x)+g(x)y(x)+h(x)y^2(x)=k(x)
[/mm]
Nun sei k(x) [mm] \neq [/mm] 0:
Dann rät man eine Lsg. [mm] \phi(x) [/mm] und definiert u(x) = y(x)- [mm] \phi(x)
[/mm]
Es gilt dann die Gleichung für u:
[mm] u'(x)+(g(x)+2\phi(x)h(x))u(x)+h(x)u^2(x) [/mm] = 0 also eine BernoulliDGL.
Setzt man nun z(x) = [mm] \frac{1}{u(x)} [/mm] erhält man angeblich
[mm] z'(x)-(g(x)+2\phi(x)h(x))z(x)-h(x) [/mm] = 0
ich erhalte jedoch:
[mm] 1-(g(x)+2\phi(x)h(x))z(x)-h(x) [/mm] = 0
Denn ich setze:
u(x) = [mm] \frac{1}{z(x)} [/mm] und u'(x) = [mm] -\frac{1}{z^2(x)}
[/mm]
Wo mache ich den Fehler, bzw. könnt ihr kurz vorführen wie man an die richtige Gleichung kommt?
dankesehr,
Wimme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Bei der Herleitung zur Lösung von Ricatti DGLs kann ich
> einen Schritt leider nicht nachvollziehen.
> Also man hat ja eine DGL der Form:
> [mm]y'(x)+g(x)y(x)+h(x)y^2(x)=k(x)[/mm]
>
> Nun sei k(x) [mm]\neq[/mm] 0:
> Dann rät man eine Lsg. [mm]\phi(x)[/mm] und definiert u(x) = y(x)-
> [mm]\phi(x)[/mm]
>
> Es gilt dann die Gleichung für u:
> [mm]u'(x)+(g(x)+2\phi(x)h(x))u(x)+h(x)u^2(x)[/mm] = 0 also eine
> BernoulliDGL.
>
> Setzt man nun z(x) = [mm]\frac{1}{u(x)}[/mm] erhält man angeblich
> [mm]z'(x)-(g(x)+2\phi(x)h(x))z(x)-h(x)[/mm] = 0
>
> ich erhalte jedoch:
> [mm]1-(g(x)+2\phi(x)h(x))z(x)-h(x)[/mm] = 0
>
> Denn ich setze:
> u(x) = [mm]\frac{1}{z(x)}[/mm] und u'(x) = [mm]-\frac{1}{z^2(x)}[/mm]
>
Die Ableitung von u ist falsch ! Übe nochmal die Quotientenregel.
Es ist $u'(x) = [mm] -\frac{1}{z^2(x)}z'(x)$
[/mm]
FRED
> Wo mache ich den Fehler, bzw. könnt ihr kurz vorführen wie
> man an die richtige Gleichung kommt?
>
> dankesehr,
> Wimme
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Do 15.01.2009 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Lösen Sie die Differentialgleichung
[mm] y'-y-e^{-x}y^2=-e^x
[/mm]
und geben Sie das maximale Existenzintervall an. |
Hallo!
Ja, das wars, danke dir. Dumm von mir...
Ich habe jetzt hier auch eine Aufgabe zu dem Thema. Ich dachte ich schreibe sie mal hier rein, damit ich unsere Konventionen nicht noch einmal schreiben muss.
Die Aufgabe findet ihr oben.
Also zur Lösung:
Die geratene Lösung ist [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] e^x
[/mm]
damit ergibt sich dann
[mm] z'(x)+3z(x)+e^{-x} [/mm] = 0
da g(x) = 3 und [mm] h(x)=-e^{-x} [/mm] stetig sind, gibt es nur eine Lösung, die da lautet:
z(x) = [mm] e^{-G(x)}(\eta [/mm] + [mm] \integral_{\xi}^{x}{h(t)e^{G(t)} dt}) [/mm] wobei [mm] z(\xi) [/mm] = [mm] \eta [/mm] die Anfangsbedingung ist.
Und G(x) = [mm] \integral_{\xi}^{x}{g(t)} [/mm] dt
Ich erhalte dann:
z(x) = [mm] \eta \cdot e^{3\xi-3x}-0.5e^{-x}+0.5e^{-3x+2\xi}
[/mm]
Dann wäre die Lösung
y(x) = [mm] e^x [/mm] + 1/z(x)
Ist das so richtig? Vor allem: Wie gehe ich am geschicktesten mit den Konstanten um?
Dankesehr!
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Hallo Wimme,
> Lösen Sie die Differentialgleichung
> [mm]y'-y-e^{-x}y^2=-e^x[/mm]
> und geben Sie das maximale Existenzintervall an.
> Hallo!
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> Ja, das wars, danke dir. Dumm von mir...
>
> Ich habe jetzt hier auch eine Aufgabe zu dem Thema. Ich
> dachte ich schreibe sie mal hier rein, damit ich unsere
> Konventionen nicht noch einmal schreiben muss.
> Die Aufgabe findet ihr oben.
>
> Also zur Lösung:
> Die geratene Lösung ist [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]e^x[/mm]
> damit ergibt sich dann
> [mm]z'(x)+3z(x)+e^{-x}[/mm] = 0
>
> da g(x) = 3 und [mm]h(x)=-e^{-x}[/mm] stetig sind, gibt es nur eine
> Lösung, die da lautet:
> z(x) = [mm]e^{-G(x)}(\eta[/mm] + [mm]\integral_{\xi}^{x}{h(t)e^{G(t)} dt})[/mm]
> wobei [mm]z(\xi)[/mm] = [mm]\eta[/mm] die Anfangsbedingung ist.
> Und G(x) = [mm]\integral_{\xi}^{x}{g(t)}[/mm] dt
>
> Ich erhalte dann:
> z(x) = [mm]\eta \cdot e^{3\xi-3x}-0.5e^{-x}+0.5e^{-3x+2\xi}[/mm]
>
> Dann wäre die Lösung
> y(x) = [mm]e^x[/mm] + 1/z(x)
>
> Ist das so richtig? Vor allem: Wie gehe ich am
> geschicktesten mit den Konstanten um?
Die Lösung stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Konstanten kannst Du vielleicht als eine neue Konstante definieren.
>
> Dankesehr!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Wimme |
Hi Mathepower!
Herzlichen Dank für deine Antwort.
Hmm...du sagst die Konstanten sollte ich vielleicht noch als EINE neue Konstante definieren.
Nun habe ich ja 2 Konstanten in meiner Lösung, die auch nicht direkt zusammenliegen. Wie kann ich das denn jetzt als eine Konstante ausdrücken?
Was ist eigentlich genau das maximale Existenzintervall?
Muss ich einfach gucken, wo y(x) alles definiert ist?
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Hallo!
Ganz einfach:
$z(x) = [mm] \eta \cdot e^{3\xi-3x}-0.5e^{-x}+0.5e^{-3x+2\xi}$
[/mm]
$= [mm] e^{-3x}*\left(\eta*e^{3\xi} + \bruch{1}{2}*e^{2\xi}\right) -\bruch{1}{2}*e^{-x}$
[/mm]
Der ganze Term in der Klammer ist konstant und kann nun als = c definiert werden 
Grüße,
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Wimme |
ahja, danke, dumm von mir.
Ok, dann habe ich 2 Lösungen:
1) y(x) = [mm] e^x
[/mm]
2) y(x) = [mm] e^x+\frac{1}{ce^{-3x}-0.5e^{-x}}
[/mm]
Was genau ist jetzt das maximale Existenzintervall?
1) ist überall definiert.
2) ist nur für [mm] x=-0.5ln(\frac{1}{2c}) [/mm] nicht definiert.
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Hallo Wimme,
> ahja, danke, dumm von mir.
> Ok, dann habe ich 2 Lösungen:
>
> 1) y(x) = [mm]e^x[/mm]
> 2) y(x) = [mm]e^x+\frac{1}{ce^{-3x}-0.5e^{-x}}[/mm]
>
> Was genau ist jetzt das maximale Existenzintervall?
>
> 1) ist überall definiert.
> 2) ist nur für [mm]x=-0.5ln(\frac{1}{2c})[/mm] nicht definiert.
1) gilt für den Fall c=0?
Hier muß dann stehen: [mm]y\left(x\right)=-e^{x}[/mm]
2) gilt ja nur für Fall c>0
Muß nicht noch der Fall c<0 untersucht werden?
Gruß
MathePower
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