Frage zu Vektor mit unbekannte < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabenteil A:
[mm] \pmat{ a & -1 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1}
[/mm]
Lösung : a = -2
Aufgabenteil B:
[mm] \pmat{ a & -1 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 4 & b & 0} [/mm] |
Meine Idee war da ich a ja schon habe das ich a einfach einsetze und dann die Determinante davon ausrechne. Dann fiel mir allerdings auf das es sich um eine 3x4 matrix handelt und die Determinante lässt sich ja nur von Quadratischen Matrizen ausrechnen.
Aber den oberen Teil kann ich ja auch nicht einfach weglassen oder?
Habe im übrigen die Matrix auch etwas vereinfach so das nurnoch eine Zahl in der letzten Spalte steht, das sieht dann so aus :
[mm] \pmat{ -2 (a) & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 4 & b & 0}
[/mm]
Ich soll b so wählen das die Vektoren Linear abhängig sind.
Außerdem gibt es noch eine Aufgabe bei der ich absolut überfragt bin :
"Beweisen Sie folgende Aussage :"
Seien [mm] {u,v}\subset [/mm] V linear unabhängig in einem beliebigen R-Vektorraum V. Dann sind auch {u+v,u-v} linear unabhängig.
Wie soll ich das beweisen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Di 17.04.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
wie heißt denn die Aufgabe dazu? 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Di 17.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabenteil A:
> [mm]\pmat{ a & -1 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1}[/mm]
>
> Lösung : a = -2
>
> Aufgabenteil B:
>
> [mm]\pmat{ a & -1 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 4 & b & 0}[/mm]
>
> Meine Idee war da ich a ja schon habe das ich a einfach
> einsetze und dann die Determinante davon ausrechne. Dann
> fiel mir allerdings auf das es sich um eine 3x4 matrix
> handelt und die Determinante lässt sich ja nur von
> Quadratischen Matrizen ausrechnen.
>
> Aber den oberen Teil kann ich ja auch nicht einfach
> weglassen oder?
>
> Habe im übrigen die Matrix auch etwas vereinfach so das
> nurnoch eine Zahl in der letzten Spalte steht, das sieht
> dann so aus :
>
> [mm]\pmat{ -2 (a) & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 4 & b & 0}[/mm]
Diophant hats ja schon gesagt: Was sollst Du denn mit den Matrizen anstellen ?
>
> Außerdem gibt es noch eine Aufgabe bei der ich absolut
> überfragt bin :
>
> "Beweisen Sie folgende Aussage :"
> Seien [mm]{u,v}\subset[/mm] V linear unabhängig in einem
> beliebigen R-Vektorraum V. Dann sind auch {u+v,u-v} linear
> unabhängig.
>
> Wie soll ich das beweisen?
Zeige: aus s,t [mm] \in \IR [/mm] und s(u+v)+t(u-v)=0 folgt stets t=s=0
FRED
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Oh entschuldigung.
Ich soll b so wählen das die Vektoren Linear abhängig sind.
@Fred,
Vielen Dank für deine Antwort zu Aufgabe 2. hat mir aber ehrlichgesagt absolut nichts gebracht. Irgendwie komm ich nich drauf...
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Hallo,
ehrlich gesagt: du machst es dir zu einfach. Das kann nicht in deinem Interesse liegen, denn so kommt man mit dem Stoff im Studium nicht zurecht, ganz gleich welches Gewicht die Mathematik dort besitzt.
Zu den Aufgaben A und B:
Ich nehme jetzt mal an, du meinst die Spaltenvektoren. Denn für Zeilenvektoren würde die Aufgabe B keinen Sinn machen. Ist dir klar, weshalb nicht? Vermutlich ist es dir nicht klar, denn sonst hättest du die Frage zu der anderen Aufgabe nicht gestellt.
Also: führe dir jetzt erstmal sehr gründlich die Definition der linearen Unabhängigkeit zu Gemüte. Wenn du sie verstanden hast, dann bildest du für die Aufgabenteile A und B jeweils mit den Spaltenvektoren ein homogenes LGS und es dürfte dir dann klar sein, mit welchem Ziel.
Ebenso sollte dir der Hinweis von FRED zu der anderen Aufgabe dann unmittelbar klar werden, sonst hast du das Konzept der linearen Unabhängigkeit noch nicht verstanden und solltest dir die Definition so lange anschauen, bis du den Sinn der gegebenen Tipps unmittelbar verstehst.
Gruß, Diophant
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Hi,
wie gesagt, zu aufgabe A hab ich die Lösung ja, die konnte ich mit hilfe der Determinante lösen und kam dann auf das Ergebnis das a = -2 ist
Ich hab die Aufgabe 1zu1 von der Klausur abgeschrieben.
Ich wollte doch NUR wissen wie ich aufgabenteil B lösen kann also wie ich auf die UNBEKANNTE b komme ohne die Determinante zu nutzen (was ich ja wie schon gesagt nicht tun kann da es eine 3x4 Matrix ist, und ich der überzeugung bin das ich die erste Spalte nicht einfach weglassen kann. Wie ich die Vektoren wählen muss damit sie Linear abhängig sind ist mir schon klar.
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Hallo,
wann sind denn Vektoren linear unabhängig?
Gruß, Diophant
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Wenn die determinante = 0 ist oder aber eben das LGS = 0
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Hallo,
nein, das hat doch zunächst einmal überhaupt nichts mit der Determinante zu tun.
![[]](/images/popup.gif) Hier bei Wikipedia kannst du bspw. die Definition nachlesen. Und genau diese Definition wirst du benötigen, sowohl für die Aufgabe B als auch für die Aufgabe mit den beiden Vektoren aus einem beliebigen K-Vektorraum.
Dass es bei der Aufgabe A auch mit der Determinante funktioniert, ist ein Spezialfall, der, wie du selbst schon gesagt hast, nur für die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren einer quadratischen Matrix funktioniert.
Die Determinantenfunktion einer solchen Matrix ist ja bekanntlich gleich Null, wenn der Rang dieser Matrix kleiner als ihre Dimension ist. Das habt ihr hier wohl ausgenutzt, da es automatisch nach sich zieht, dass dann Zeilen- und Spaltenvektoren jeweils linear abhängig sind.
Aber wie schon gesagt: man sollte sich immer zuerst die Definitionen der Dinge klar machen, und versuchen, diese anzuwenden wo immer es geht. Sonst gewöhnt man sich eine Denkweise an, die F. Schiller einmal treffend so formuliert hat:
...So wird aus Gurkensalat wirklich der Essig erzeugt! 
Gruß, Diophant
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Okay das hab ihc verstanden. Mein problem ist nur, und sonst würde ich mich nicht an euch wenden, dass wenn ich auf dem Schlauch stehe ich absolut auf keinen nenner komme.
Ich probier es jetzt einfach mal so wie ich es lösen würde. Sei bitte so nett und sag mir ob dass dann rihctig ist.
[mm] \pmat{ -2 (a) & 1 \\ -2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 4 & 0} [/mm] = [mm] \pmat{-1 \\ -1 \\ 2 \\ b} [/mm]
[mm] -1x_{2} [/mm] = 2
[mm] -2x_{1} [/mm] - 2 = -1
[mm] \gdw -2x_{1} [/mm] = 1
[mm] \gdw x_{1} [/mm] = -0,5
[mm] -2(a)x_{1} [/mm] - 2 = -1
[mm] \gdw -2x_{1} [/mm] = 1
[mm] \gdw x_{1} [/mm] = -0,5
4*(-0,5) = b
[mm] \gdw [/mm] -2 = b
Und zu Aufgabe [2]
Seien [mm] {u,v}\subset [/mm] V linear unabhängig in einem beliebigen R-Vektorraum V. Dann sind auch {u+v,u-v} unabhängig.
Linear unabhängig = u+v bzw. u-v [mm] \not= [/mm] 0
Mir ist nich ganz klar wie ich aus
s(u+v)+t(u-v)=0 folgt stets t=s=0
den beweis dass es so is konstruieren soll. Vielleicht bin ich auch verwirrt weil das ganze so "abstrakt" is...
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Hallo,
sach mal: meinst du das hier
>
> [mm]\pmat{ -2 (a) & 1 \\
-2 & 1 \\
0 & -1 \\
4 & 0}[/mm] = [mm]\pmat{-1 \\
-1 \\
2 \\
b}[/mm]
>
ernst? Ein Gleichheitszeichen steht grundsätzlich dafür, dass beide Seiten gleich sind. Deshalb muss man über oben zitiertes erst gar nicht nachdenken: links steht eine 4x2-Matrix und rechts ein Spaltenvektor.
> [mm]-1x_{2}[/mm] = 2
>
> [mm]-2x_{1}[/mm] - 2 = -1
> [mm]\gdw -2x_{1}[/mm] = 1
> [mm]\gdw x_{1}[/mm] = -0,5
>
> [mm]-2(a)x_{1}[/mm] - 2 = -1
> [mm]\gdw -2x_{1}[/mm] = 1
> [mm]\gdw x_{1}[/mm] = -0,5
>
> 4*(-0,5) = b
> [mm]\gdw[/mm] -2 = b
>
Nein, es macht so keinen Sinn, es ist falsch, und du hast die Definition nicht angewendet. Diese besagt im Fall der Matrix bei B, dass das LGS
[mm] x_1*\vektor{a \\ -2 \\ 0 \\ 4}+x_2*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2 \\ b}+x_3*\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0}=\overrightarrow{0}
[/mm]
unendlich viele Lösungen besitzen muss, dann heißen die drei Spaltenvektoren linear abhängig. Du kannst hier eigentlich für a und b unmittelbar die jeweiligen Werte ablesen, die sie nicht annehmen dürfen, wenn diese Forderung erfüllt sein soll. Subtrahiere dazu noch die beiden obersten Zeilen.
> Und zu Aufgabe [2]
>
> Seien [mm]{u,v}\subset[/mm] V linear unabhängig in einem beliebigen
> R-Vektorraum V. Dann sind auch {u+v,u-v} unabhängig.
>
> Linear unabhängig = u+v bzw. u-v [mm]\not=[/mm] 0
>
> Mir ist nich ganz klar wie ich aus
> s(u+v)+t(u-v)=0 folgt stets t=s=0
> den beweis dass es so is konstruieren soll. Vielleicht bin
> ich auch verwirrt weil das ganze so "abstrakt" is...
>
Mathematik ist abstrakt, dass sollte man als ihre Stärke anerkennen und nicht innerlich ablehnen (das ist ein ernst gemeinter Tipp).
Untersuche das LGS
r*(u+v)+s*(u-v)=0
Forme durch Ausmultiplizieren und Faktorisieren so um, dass etwas in der Form
[mm] \overline{r}*u+\overline{s}*v=0
[/mm]
dasteht. Jetzt nutze schlussendlich die lineare Unabhängigkeit von u und v, und es löst sich alles ganz schnell in Wohlgefallen auf.
Gruß, Diophant
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AUch wenn ich dann jetzt wie der letzte vollidiot dasteh.
Aber ich checks heut irgendwie absolut nich. Ich muss es aber bald können... Klausur wartet -.-"
Dann darf b nicht -4 sein und a nicht 0. Und ich dachte es kann unmöglich sein das mans einfach ablesen kann deshlab versuch ich die gnaze zeit solche "komplizierten" lösungsansätze...
Dann würde die Lösung für die aufgabe heißen b [mm] \not [/mm] 4
Und zu 2.
r*(u+v)+s*(u-v)=0
wäre dann ja
r*u + r*v + s*u - s*v = 0
## Ich bekomm grad ech die krise -.-"
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Hallo,
> Dann darf b nicht -4 sein und a nicht 0.
Das ist leider falsch, und ich möchte dir erklären weshalb:
Wenn b=-4 ist, dann lautet die letzte Gleichung
[mm] 4x_1-4x_2=0
[/mm]
Dies schränkt die Lösungsmenge des LGS nicht in dem Sinne ein, dass eine einzelne Lösung heraus kommt. Anders sieht es aus, wenn b=0 ist. Dann lautet Gleichung IV:
[mm] 4x_1=0 [/mm] => [mm] x_1=x_2=x_3=0
[/mm]
und die Vektoren wären linear unabhängig. Das möchtest du nicht, deshalb musst du [mm]b\neq{0}[/mm] fordern.
Analog kommt man zu einem auszuschließenden Wert für a, wenn man das tut, was ich vorgeschlagen habe: nämlich die Gleichungen I und II zu subtrahieren. Versuche jetzt, das obige nachzuvollziehen und den Wert für a, der ausgeschlossenwerden muss, selbst zu bestimmen. Gerade, wenn du im Klausurstress bist, bringt es dir nichts, unverstandenen Rechnungen runterzuhauen, sondern du solltest unbedingt versuchen, Ruhe zu bewahren und die Dinge richtig zu verstehen.
> Und zu 2.
> r*(u+v)+s*(u-v)=0
> wäre dann ja
>
> r*u + r*v + s*u - s*v = 0
Ja, und hier muss man jetzt so weitermachen:
(r+s)*u+(r-s)*v=0
Jetzt sind aber u und v per Voraussetzung linear unabhängig. Was folgt daher sofort für Summe und Differenz von r und s? Und was folgt daraus für r und s selbst und damit für die Ausgangsfrage?
Gruß, Diophant
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Nur um sicher zu gehen das ich jetzt keinen fehler da mach.
Ich glaube das mein Dozent mal sagte das ich das ergebnis aus A einfach übernehmen kann so dass folgendes da steht
$ [mm] x_1\cdot{}\vektor{-2 \\ -2 \\ 0 \\ 4}+x_2\cdot{}\vektor{-1 \\ -1 \\ 2 \\ b}+x_3\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0}=\overrightarrow{0} [/mm] $
Ändert ja erstmal nichts an dem LGS.
Desweiteren kann ich das ganze ja noch als Matrix schreiben (ist mir persönlich lieber)
[mm] \pmat{ -2 & -1 & 1\\ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 4 & b & 0 }
[/mm]
Addieren wir 2 mit 3 erhält man
[mm] \pmat{ -2 & -1 & 1\\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 4 & b & 0 }
[/mm]
Man hätte aber doch auch die möglichkeit 2 von 1 zu Addieren dann würde diese Zeile schonmal wegfallen...
Okay aber mach ich einfach mal weiter wie du gesagt hast.
Sagen wir b = 0, um auf ein ergebnis für [mm] x_{1} [/mm] zu kommen.
Demnach is [mm] 4x_{1} [/mm] = 0
Eingesetzt in den nächsten Term wären also [mm] -2*0x_{1} [/mm] + [mm] 1x_{2} [/mm] + [mm] 0x_{3} [/mm] = 0 also [mm] x_{2} [/mm] = 0
eingesetzt in den nächsten Term [mm] 0*0x_{1} [/mm] + [mm] 2*0x_{2} [/mm] - [mm] 1x_{3} [/mm] = 0
also [mm] x_{3} [/mm] = 0, heißt [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}=0 [/mm]
Daraus schließe ich dass die Vektoren für alle b [mm] \not= [/mm] 0 linear abhängig sind. Weil für [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}=0 [/mm] die Vektoren Linear unabhängig sind.
Zu Aufgabe 2
(r+s)*u+(r-s)*v=0
Aufgrund der vorraussetzung das die beiden Linear Unabhägngi sind ergibt sich, (r+s)*0 + (r-s) * 0 = 0
Jetzt noch eine ganz Kurze frage zu noch einer GANZ anderen Aufgabe die ich aber eigentlich kann. Möchte nur wissen ob ich auf der richtigen Spur ist.
Gegeben ist ein LGS Ax = b
Ich solle Rang(A), dim Bild(A), dim Kern (A) und Kern (A) bestimmen.
für diese Bestimmungen muss ich ja Ax = 0 setzen. Richtig?
Und für die Lösungsgesamtheit von Ax = b muss ich das ganze in Zeilen Stufen form bringen und von unten nach oben Auflösen. Ist auch das richtig soweit?
Grüße,
Obi
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Hallo,
> Nur um sicher zu gehen das ich jetzt keinen fehler da
> mach.
>
> Ich glaube das mein Dozent mal sagte das ich das ergebnis
> aus A einfach übernehmen kann so dass folgendes da steht
>
> [mm]x_1\cdot{}\vektor{-2 \\
-2 \\
0 \\
4}+x_2\cdot{}\vektor{-1 \\
-1 \\
2 \\
b}+x_3\cdot{}\vektor{1 \\
1 \\
-1 \\
0}=\overrightarrow{0}[/mm]
>
> Ändert ja erstmal nichts an dem LGS.
>
> Desweiteren kann ich das ganze ja noch als Matrix schreiben
> (ist mir persönlich lieber)
>
> [mm]\pmat{ -2 & -1 & 1\\
-2 & -1 & 1 \\
0 & 2 & -1 \\
4 & b & 0 }[/mm]
>
> Addieren wir 2 mit 3 erhält man
>
> [mm]\pmat{ -2 & -1 & 1\\
-2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & -1 \\
4 & b & 0 }[/mm]
>
> Man hätte aber doch auch die möglichkeit 2 von 1 zu
> Addieren dann würde diese Zeile schonmal wegfallen...
>
> Okay aber mach ich einfach mal weiter wie du gesagt hast.
>
> Sagen wir b = 0, um auf ein ergebnis für [mm]x_{1}[/mm] zu kommen.
>
> Demnach is [mm]4x_{1}[/mm] = 0
> Eingesetzt in den nächsten Term wären also [mm]-2*0x_{1}[/mm] +
> [mm]1x_{2}[/mm] + [mm]0x_{3}[/mm] = 0 also [mm]x_{2}[/mm] = 0
>
> eingesetzt in den nächsten Term [mm]0*0x_{1}[/mm] + [mm]2*0x_{2}[/mm] -
> [mm]1x_{3}[/mm] = 0
> also [mm]x_{3}[/mm] = 0, heißt [mm]x_{1}=x_{2}=x_{3}=0[/mm]
>
> Daraus schließe ich dass die Vektoren für alle b [mm]\not=[/mm] 0
> linear abhängig sind. Weil für [mm]x_{1}=x_{2}=x_{3}=0[/mm] die
> Vektoren Linear unabhängig sind.
Etwas entscheidendes hast du vergessen: was muss für a) gelten?
>
> Zu Aufgabe 2
>
> (r+s)*u+(r-s)*v=0
>
> Aufgrund der vorraussetzung das die beiden Linear
> Unabhägngi sind ergibt sich, (r+s)*0 + (r-s) * 0 = 0
Das ist Unsinn.
> Jetzt noch eine ganz Kurze frage zu noch einer GANZ anderen
> Aufgabe die ich aber eigentlich kann. Möchte nur wissen ob
> ich auf der richtigen Spur ist.
>
> Gegeben ist ein LGS Ax = b
>
> Ich solle Rang(A), dim Bild(A), dim Kern (A) und Kern (A)
> bestimmen.
> für diese Bestimmungen muss ich ja Ax = 0 setzen.
> Richtig?
>
> Und für die Lösungsgesamtheit von Ax = b muss ich das
> ganze in Zeilen Stufen form bringen und von unten nach oben
> Auflösen. Ist auch das richtig soweit?
Ich würde dir raten, das in einem neuen Thread zu fragen, sonst wird es einfach nur chaotisch. Die Ausgangsfragen sind - optimistisch gesehen - zu 25% geklärt.
Gruß, Diophant
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a muss [mm] \not= [/mm] 0 sein da für a = 0 die Vektoren (wie auch bei b) linear unabhängig sind.
Richtig soweit?
Okay, das war doof irgendwie. Wenn man r+s und r-s mit 2 zueinander linear unabhängigen Vektoren multipliziert dürfte eigentlich ja nichts "linear abhängiges" herauskommen ums ganz blöd auszudrücken..
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Hallo,
nein, es muss a=-2 und b=0 gelten, damit die Vektoren linear abhängig sind.
Und wenn man u, v linear unabhängig hat und interssiert sich für die lineare Unabhängigkeit von u+v und u-v, dann setzt man
r(u+v)+s*(u-v)=0 <=>
r*u+v*u+s*u-s*v=0 <=>
(r+s)*u+(r-s)*v=0
Nun sind aber u und v linear unabhängig, daher folgt
r+s=0 [mm] \wedge [/mm] r-s=0 => r=s=0
und daraus folgt, dass (u+v) und (u-v) linear unabhängig sind.
Nochmal ein ehrlich gemeinter Rat (es ist aber deine Sache, ihn zu akzeptieren oder nicht): wenn du über diese Thematik demnächst eine Klausur schreiben musst, dann ist es dringend angesagt, dass du dir die Bedeutung solcher Begriffe wie linearer Unabhängigkeit, Kern, Bild, Dimension, usw. usf. noch einmal sehr gründlich klar machst.
Gruß, Diophant
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Das beides gelten muss is mir schon klar.
Aber wieso ist es jetzt doch -2 ?
wenn a = -2 gilt
folgt daraus doch, [mm] -2-1x_{2}+1_{3} [/mm] = 0
da wir vorrangehend ja schon "festgestellt" haben das [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{3}= [/mm] 0 ist (wegen b = 0)
Die ganzen "Matrix"-Begriffe bin ich mir im Klaren zu kämpfen hab ich mit Vektoren, warum auch immer. Zum glück darf ich eine zusammenfassung mit in die Klausur nehmen.
In Wikipedia steht doch Gibt es nur eine einzige Lösung, nämlich dass [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = a _3 = 0 , dann sind die Vektoren linear unabhängig. Existieren weitere Lösungen, sind sie linear abhängig.
Deshalb bin ich ums so auszudrücken. Verwirrt.
Da mir die Lösungen für die Klausuren nicht vorliegen frag ich lieber nach ob ich auf der richtigen spur bin (deshalb die Frage vorhin wegen Rang und co.) bevor ich was komplett falsches rechne und mir das noch einpräge.
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Hallo,
I-II ergibt:
[mm] (a+2)*x_1=0
[/mm]
Ist [mm] a\ne{-2} [/mm] dann folgt [mm] x_1=0 [/mm] und die Vektoren sind linear unabhängig. Ist jedoch a=-2 dann kann [mm] x_1 [/mm] jeden beliebigen Wert annehemen.- Insofern muss ich mich entschuldigen, weil ich es heute Mittag in der Eile auch falsch formuliert habe.
Wenn du deine Fragen besser vorbereiten würdest und etwas strukturierter formulieren, was unklar ist, dann könnte das auch helfen, solche Missverständnisse und Fehler zu vermeiden.
Auch dies schreibe ich nicht in der Absicht zu kritisieren, sondern in dem Sinne, dass die Hilfe und der Nutzen, den du daraus ziehst, optimiert werden können.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 19.04.2012 | | Autor: | ObiKenobi |
Diese Lösung war laut Klausurlösung (die ich von meinem Dozenten per Mail erhalten habe) richtig.
Hab nur die MAtrix falsch aufgeschrieben da ich nicht wusste wie ich es mit | darstellen kann
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