Frage zu didaktischem Modell < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mi 22.06.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
ich habe eine Frage, die sich um Folgendes dreht, man kann ja z.B. von Ortsvektoren sprechen und meint dann die Vektoren die vom Ursprung zu einem Punkt im Raum (nehmen wir mal [mm] $\mathbb{R}^3$) [/mm] gehen. Wenn man jetzt nur von diesen Vektoren ausgeht und sie als die einzigen Repräsentanten eines Pfeiles bestimmter Richtung und Länge ansieht (alle Vektoren sind am Ursprung angeklebt), wie macht es Sinn hier eine Addition zu definieren?
Ich habe dazu das unten angehängte Bild und versuche es zu interpretieren. Auf mich wirkt es, als würde man sagen, man hat die zwei Vektoren, die man addieren will und ergänzt sie sozusagen (ich weis, dass das nicht sauber formuliert ist) zu einem Parallelogramm und nimmt dann, wie bei der Parallelogrammregel üblich, die Diagonale des entstandenen Parallelogramms als Vektor der Summe, was meint ihr dazu, weil ich finde keine Erklärung zu dem Modell (läuft wohl unter Zeiger/Ortsvektoren).
Viele Grüße,
Reynir
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Ich finde das sehr anschaulich.
Man kennt das doch aus der Physik als Kräfteparallelogramm:
Zwei ziehen an einem Punkt.
Wie müsste einer ziehen, damit die selbe Kraft wirkt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mi 22.06.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ich verstehe nicht ganz, was du damit meinst, wie einer ziehen müsste. Ich nehme mal an du meinst am Wirkungspunkt. Die gleiche Kraft in Bezug auf was? Auf jeden Fall hat es mir schon mal geholfen, dass du mich auf das Kräfteparallelogramm verweisen hast, weil das war genau die Argumentation, wie ich sie vermutet hatte.
Viele Grüße,
Reynir
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Zwei Kräfte, z.B. Seile an einem Karren, ziehen am Punkt P.
Nun fragst du dich, wie man diese zwei Kräfte durch eine ersetzen kann.
Das muss dann ein Seil sein, dessen Richtung irgendwo zwischen den beiden einzelnen Seilen liegt und dessen Zugkraft größer ist als eine der Einzelkräfte.
Um das genau zu konstruieren, bedient man sich des Kräfteparallelogramms.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mi 22.06.2016 | | Autor: | Reynir |
Ich danke dir.
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> Zwei Kräfte, z.B. Seile an einem Karren, ziehen am Punkt
> P.
> Nun fragst du dich, wie man diese zwei Kräfte durch eine
> ersetzen kann.
> Das muss dann ein Seil sein, dessen Richtung irgendwo
> zwischen den beiden einzelnen Seilen liegt und dessen
> Zugkraft größer ist als eine der Einzelkräfte. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Dass die resultierende Kraft (ihrem Betrag nach) größer sein
sollte als die beiden Einzelkräfte, ist ein Irrtum !
Eine Parallelogrammdiagonale kann ja auch durchaus kürzer
sein als die kürzeste Seite des Parallelogramms.
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Sa 25.06.2016 | | Autor: | Reynir |
Ich danke auch euch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Mi 22.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
Pfeile von 0 aus kann man als komplexe Zahlen betrachten, und diese addieren.
das macht etwa Sin n wenn man [mm] A*sin(w*t)+B*sin(w*t+\phi.) [/mm] addieren will und sin und cos als Projektion von Pfeilen sieht. So was macht man in Physik der Schule, wenn man Schwingungen überlagern will, oder komplexe Widerstände ausrechnet.
wo sonst treten denn in der Schule reine Ortsvektoren auf?
wenn man die Ortsvektoren e1=(1.0) und e2=(0,1) hat und etwa (a,b)als 2a*e1+b*e2 sieht und muss man nur e1 und e2 addieren können. und braucht so was wie das Parallelogramm nicht, weil man immer nur Vielfache von e1 zu vielfachen von e2 addiert und e1+e1=2*e1 definiert.
Frage: warum willst du auf der Schule eine Extra Kategorie Vektoren einführen?
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mi 22.06.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
das gehört zu einer didaktischen Veranstaltung und da sollen diese Modelle Möglichkeiten bieten sich der Vektorrechnung zu nähern. Es geht dabei weniger darum eine neue Kategorie einzuführen, sondern den Schülern eine tragfähige Grundvorstellung zu vermitteln und da kam unter anderem dieser Ansatz zum Tragen (wie ich finde ein Fehlgriff).
Neben anderen Modellen, wie etwa einer Definition über n-Tupel (ohne geometrische Anschauung) sollte hier die Addition von Vektoren definiert werden und es wurde dazu nicht mehr gezeigt, als dieses Bild. Da die immer irgendwelche teilweise abwegigen Verfahren haben (bei einem Zugang wurde Skalarmultiplikation über den 1.Strahlensatz definiert) wollte ich mich versichern, ob ich das Bild richtig interpretiert habe.
Wie würdet ihr zu den Vor-/Nachteilen dieses speziellen Zugangs stehen?
Viele Grüße,
Reynir
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Wenn ich mich an meine Schulzeit zurück erinnere, hatte ich große Schwierigkeiten den Übergang von Ortsvektoren zu den normalen, wie heißen die? Richtungsvektoren? zu kapieren.
Warum kann man die einfach so verschieben?
Es geht doch immer um Punkte, Orte, warum nicht alles mit Ortsvektoren erledigen?
Das waren so Fragen, an die ich mich erinnere.
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Im Bereich der (2- oder 3-dimensionalen) Anschauung sollen Vektoren (oder zunächst mal: Pfeile) angeben, wie man von einem Punkt P(a|b) des Koordinatensystems zu einem anderen Q(c|d) gelangt. Man zieht dann einen Pfeil von P zu Q, nennt ihn [mm] \overrightarrow{PQ}. [/mm] Dann stellt man fest, dass ein Pfeil "genauso" aussieht, wenn man beide Punkte gleichartig parallelverschiebt (mathematisch: (a+k|b+m) und (c+k|d+m)): Der entsprechende Pfeil ist zum ersten parallel, gleich lang und gleichsinnig orientiert. Das wiederholt man noch für ein paar andere Verschiebungen und erhält eine Menge solcher Pfeile.
Was haben alle diese Pfeile gemeinsam, und wie unterscheiden sie sich? gemeinsam sind die Koordinatendifferenzen c-a ubzw. d-b, unterschiedlich ist nur nur, wo genau sie liegen.
Idee: man fasst alle Pfeile mit den Koordinatendifferenzen c-a bzw. d-b zu einer Menge zusammen und nennt sie einen Vektor. Er wird mit
[mm] \vektor{c-a \\ d-b } [/mm] bezeichnet.
Dann führt man den Ortsvektor (besser wäre: Ortspfeil! - warum?) ein: Besonderheit ist, dass der Fußpunkt im Ursprung liegt und damit die Spitze genau auf dem Punkt landet, dessen Koordinaten mit denen des Vektors übereinstimmt.
Jetzt ergibt sich die Frage: Wie gelangt man von P über Q zu R?
Indem man den Pfeil [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] von P nach Q und dann den Pfeil [mm] \overrightarrow{QR} [/mm] von Q zu R zeichnet.
Wie erhält man nun den Pfeil für den direkten Weg von P zu R? Indem man [mm] \overrightarrow{PR} [/mm] dazu zeichnet. Wie erhält man [mm] \overrightarrow{PR} [/mm] aus den Daten von [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] und [mm] \overrightarrow{QR}? [/mm] Indem man die Koordinaten addiert.
Damit hat man die Pfeiladdition als Wegverkettung eingeführt und definiert:
Man addiert zwei Pfeile geometrisch, indem man sie hintereinanderlegt (Fuß des zweiten an Spitze des ersten) und dann den freien (Start-)Fuß mit der freien (Ziel-)Spitze verbindet. (Bitte KEIN Parallelogramm bilden, s.u.). Man addiert zwei Pfeile algebraisch, indem man ihre Komponenten addiert.
Was, wenn aber die Pfeile nicht aneinanderliegen? Jetzt gehen wir noch mal auf den Vektor ein und sagen: Im geometrischen Fall legen wir die Vektoren aneinander, das heißt, wir verschieben unsere zu addierenden Pfeile so parallel zu den Ausgangspfeilen, dass sie wie oben beschrieben zu liegen kommen. Das ist überhaupt der Grund für den Begriff des Vektors statt der Pfeile. Algebraisch ändert sich nichts. Und ab jetzt sprechen wir immer von Vektoren, weil wir sie beliebig verschieben möchten.
Wie addiert man nun mehrere Vektoren? Man startet mit einem, legt den nächsten mit dem Fuß an die Spitze des ersten, den nächsten mit dem Fuß an die Spitze des zweiten, den nächsten ... Das Ergebnis ist dann der Vektor, der vom freien Fuß zur freien Spitze führt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier sieht man, dass man nicht mit Parallelogrammen operieren sollte. Legt man 5 Vektoren aneinander, hat man die Fläche sehr schön mit Parallelogrammen besudelt und verliert schnell den Überblick; eine Kette aus 5 hintereinandergelegten Vektoren ist problemlos!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 11:01 Do 23.06.2016 | | Autor: | Al-Chwarizmi |
Danke HJK für die klare Darlegung !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Sa 25.06.2016 | | Autor: | Reynir |
Ich dank dir auch.
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Die Einführung des Ortsvektors in meiner Darstellung geschieht unvermittelt und unterbricht den Gedankengang unnötig und an der Stelle auch sinnlos.
Der entsprechende Abschnitt sollte ans Ende gesetzt werden oder sogar besser erst nach Einführung des skalaren Produktes erfolgen.
Man braucht den Ortsvektor erst, wenn man Punkte im Raum beschreiben will - beispielsweise einen Schnittpunkt, eine Gerade oder eine Ebene - und dies dann mit Hilfe einer Schar von Ortsvektoren macht, deren Spitzen auf den betrachteten Objekten enden (Geraden- oder Ebenengleichung).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Mo 27.06.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
um jetzt noch auf deine Frage einzugehen, warum man eher vom Ortspfeil sprechen sollte, würde ich sagen, die Bezeichnung Vektor fällt in den Kontext der Äquivalenzklasse (genauer Repräsentant in Abhängigkeit von bestimmten Punkten ist uns egal), während ich entnehmen zu können glaube, dass Pfeile eher in den Kontext fielen, als bestimmte Punkte vorlagen (etwa der Verbindungspfeil), was ja auch das Setting für Ortsvektoren wäre.
Weiter würde mich noch eine Sache interessieren, du hast ja Translationen angesprochen, ich habe gehört, bei den Schülern sei es eine weit verbreitete Fehlvorstellung (FV) zu denken bei Verschiebungen würde nur das betrachtete Objekt bewegt und nicht jeden Punkt in der Ebene, wie hast du das wahrgenommen?
Kann man da etwa korrigierend Gegensteuern, wenn man konkret Geraden durch den Ursprung betrachtet und dann hier thematisiert, dass sie durch Verschiebung eines Punktes auf der Geraden entstehen? (War ein Vorschlag diesem Problem zu begegnen)
Viele Grüße,
Reynir
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Der Begriff "Ortspfeil" ist nicht passend. "Ortsvektor" ist schon richtig. Dem Ganzen liegt ein Mißverständnis zugrunde. Der Begriff "Vektor" bezieht sich auf ein Objekt, das bestimmte Eigenschaften hat. Dagegen bezeichnet "Ortsvektor" strenggenommen kein Objekt, sondern die Rolle, die ein Objekt, hier ein Vektor, spielt. So ist zum Beispiel im Folgenden der Vektor [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] der Ortsvektor des Punktes [mm]A[/mm]:
[mm]A = (1,1,2) \, , \ \ B = (-2,1,3) \, , \ \ C = (-1,2,5)[/mm]
Es gibt also keine zwei verschiedenen Sorten von Vektoren, wie manche Leute meinen, nämlich "normale" Vektoren und Ortsvektoren (die man besser "Ortspfeile" nennen solle). Sondern Vektoren können in verschiedenen Kontexten verschiedene Rollen einnehmen. Ein Vektor kann z.B. die Rolle einnehmen
- des Ortsvektors eines Punktes
- eines Richtungsvektors einer Geraden
- eines Normalenvektors einer Ebene
So käme ja auch niemand auf den Gedanken, in der linearen Funktionsgleichung [mm]y = 3x+2[/mm] zu sagen, die Zahl 3 sei der Natur nach von anderer Art als die Zahl 2. Nein, 3 und 2 sind ganz normale reelle Zahlen, die aber hier verschiedene Rollen spielen. Die Zahl 3 spielt die Rolle der Steigung, die Zahl 2 die Rolle des [mm]y[/mm]-Achsenabschnitts.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Do 30.06.2016 | | Autor: | Reynir |
Danke für deine Hilfe.
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> Der Begriff "Ortspfeil" ist nicht passend. "Ortsvektor" ist
> schon richtig. Dem Ganzen liegt ein Mißverständnis
> zugrunde. Der Begriff "Vektor" bezieht sich auf ein Objekt,
> das bestimmte Eigenschaften hat. Dagegen bezeichnet
> "Ortsvektor" strenggenommen kein Objekt, sondern die Rolle,
> die ein Objekt, hier ein Vektor, spielt. So ist zum
> Beispiel im Folgenden der Vektor [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] der
> Ortsvektor des Punktes [mm]A[/mm]:
>
> [mm]A = (1,1,2) \, , \ \ B = (-2,1,3) \, , \ \ C = (-1,2,5)[/mm]
>
> Es gibt also keine zwei verschiedenen Sorten von Vektoren,
> wie manche Leute meinen, nämlich "normale" Vektoren und
> Ortsvektoren (die man besser "Ortspfeile" nennen solle).
Ja, richtig, es gibt nur eine Sorte von Ortsvektoren, denn Vektoren bezeichnen immer eine ganze Klasse von Pfeilen, auch "der" Ortsvektor.
Warum hat er aber einen anderen Namen und heißt nicht einfach Vektor???
Der Ortsvektor des Punktes A enthält den OrtsPFEIL, der genau vom URSPRUNG auf den Punkt A führt. Und weil der (und nur dieser Vertreter) den Fuß im Ursprung haben muss und daher nicht verschiebbar ist, sollte er Ortspfeil heißen. Das gilt aber nur für die Definition des Ortsvektors. Danach spricht man dann sinnvoller Weise nur noch vom Ortsvektor, weil man diesen Pfeil ja auch hin- und herschieben kann.
> Sondern Vektoren können in verschiedenen Kontexten
> verschiedene Rollen einnehmen. Ein Vektor kann z.B. die
> Rolle einnehmen
>
> - des Ortsvektors eines Punktes
> - eines Richtungsvektors einer Geraden
> - eines Normalenvektors einer Ebene
>
> So käme ja auch niemand auf den Gedanken, in der linearen
> Funktionsgleichung [mm]y = 3x+2[/mm] zu sagen, die Zahl 3 sei der
> Natur nach von anderer Art als die Zahl 2. Nein, 3 und 2
> sind ganz normale reelle Zahlen, die aber hier verschiedene
> Rollen spielen. Die Zahl 3 spielt die Rolle der Steigung,
> die Zahl 2 die Rolle des [mm]y[/mm]-Achsenabschnitts.
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