Frage zum Bernoulli ! < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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also, nun bin ich immer noch in den anfangskapiteln von ANA1 da geht es nun um folgendes
fuer alle natürlichen [mm] n\ge2 [/mm] gilt:
[mm] (1+\bruch{1}{n-1})^n>(1+\bruch{1}{n})^{n+1}
[/mm]
das soll halt gezeigt werdn, als tipp steht dann dabei :
[mm] (1+\bruch{1}{n^{2}-1})^n>1+\bruch{1}{n}
[/mm]
so, und damit fangen meine probs schon an, als bemerkung meint er dann das die letztere ungleichung leicht mit bernoulli sehen kann ... nur wie sehe ich das denn nun ?
bernoulli sieht ja folgendermassen aus
[mm] (1+x)^n>1+nx
[/mm]
setzte ich nun [mm] x=\bruch{1}{n^2-1} [/mm] ein
habe ich durch simples einsetzen folgendes:
[mm] (1+\bruch{1}{n^2-1} )^n>1+n\bruch{1}{n^2-1} [/mm]
so, schoen und gut, weiteres umformen ergibt
[mm] 1+\bruch{n}{n^2-1}<1+\bruch{n}{n-1}
[/mm]
so, bis hierhin, und nicht weiter komme ich, wenn ich weitere elemente in dieser kette einfuegen will komme ich auf sehr abskruse ergebnisse, bzw. auf ergebnisse die mich immer weiter verwirren ich sehe einfach wieder nit wieso die gleichung in verbindung zu dieser steht
[mm] (1+\bruch{1}{n^{2}-1})^n>1+\bruch{1}{n}
[/mm]
ueber den weiteren zusammenhang zu der obersten gleichung habe ich mir noch gar keine gedanken gemacht, wieso es reicht die zweite gleichung zu beweisen ... danke im vorraus !°
p.s.: wie mache ich eigentlich GROSSE alles umschliessende klammern ?!?!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:40 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo ehrlichbemuehter,
> also, nun bin ich immer noch in den anfangskapiteln von
> ANA1 da geht es nun um folgendes
>
> [mm](1+\bruch{1}{n-1})^n>(1+\bruch{1}{n})^{n+1}
[/mm]
>
> das soll halt gezeigt werdn, als tipp steht dann dabei :
>
>
> [mm](1+\bruch{1}{n^{2}-1})^n>1+\bruch{1}{n}
[/mm]
>
> so, und damit fangen meine probs schon an, als bemerkung
> meint er dann das die letztere ungleichung leicht mit
> bernoulli sehen kann ... nur wie sehe ich das denn nun ?
>
>
> bernoulli sieht ja folgendermassen aus
> [mm](1+x)^n>1+nx
[/mm]
>
> setzte ich nun [mm]x=\bruch{1}{n^2-1}[/mm] ein
>
> habe ich durch simples einsetzen folgendes:
>
> [mm](1+\bruch{1}{n^2-1} )^n>1+n\bruch{1}{n^2-1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> so, schoen und gut, weiteres umformen ergibt
>
>
> [mm]1+\bruch{n}{n^2-1}<1+\bruch{n}{n-1}
[/mm]
Korrektur:Hier bist du doch schon fast fertig:
Hier ist doch folgende Ungleichung noch zu zeigen:
[mm] $1+n*\bruch{1}{n^2-1}>1+\bruch{1}{n}$
[/mm]
(die linke Seite dieser Ungleichung ist die rechte Seite deiner direkten Bernoulli-Anwendung, die rechte Seite die rechte Seite der Hilfsungleichung)
[mm] $\gdw$ $n*\bruch{1}{n^2-1}>\bruch{1}{n}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $n^2>n^2-1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $0>-1$
[mm] $\gdw$ [/mm] $1>0$
Das stimmt nun 
> so, bis hierhin, und nicht weiter komme ich, wenn ich
> weitere elemente in dieser kette einfuegen will komme ich
> auf sehr abskruse ergebnisse, bzw. auf ergebnisse die mich
> immer weiter verwirren ich sehe einfach wieder nit wieso
> die gleichung in verbindung zu dieser steht
>
> [mm](1+\bruch{1}{n^{2}-1})^n>1+\bruch{1}{n}
[/mm]
Insgesamt haben wir doch dann:
[mm](1+\bruch{1}{n^{2}-1})^n>1+n\bruch{1}{n^2-1}>\ldots>1+\bruch{1}{n}[/mm]
Die erste Ungleichung ist deine Bernoulli-Andwendung, die letzte meine obige Umformungskette.
> ueber den weiteren zusammenhang zu der obersten gleichung
> habe ich mir noch gar keine gedanken gemacht, wieso es
> reicht die zweite gleichung zu beweisen ... danke im
> vorraus !°
Weil die oberste Ungleichung durch eine einfach Division durch [mm] $\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$ [/mm] in deine Hilfsungleichung überführbar ist
Probier's mal, alles weitere dann morgen.
Viele Grüße,
Marc
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ok, das kann ich jetzt nachvollziehen, nur eine frage noch
so, nun machst du die umformungen, die frage die sich mir stellt, wir haben doch hier eine nicht ganz korrekte ungleichungskette oder ?
wir fangen doch mit
a>b and und machen dann weiter mit < damit ist doch ueberhaupt nichts ausgesagt ?!?!?!? oder ?
a>b<c
[mm] \gdw \bruch{n}{n^2-1}<\bruch{n}{n-1} [/mm]
[mm] \gdw\bruch{1}{n^2-1}<\bruch{1}{n-1}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{1}{(n+1)(n-1)}<\bruch{1}{n-1}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{1}{n+1}<1
[/mm]
[mm] \gdw1
[mm] \gdw0
wir muessten das doch irgendwie so aufziehen ...
[mm] (1+\bruch{1}{n^2-1} )^n> 1+\bruch{n}{n-1}>1+n\bruch{1}{n^2-1}
[/mm]
so, und dann
[mm] \gdw \bruch{n}{n-1}>\bruch{n}{n^2-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{n-1}>\bruch{1}{n^2-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{n-1}>\bruch{1}{(n+1)(n-1)}
[/mm]
[mm] \gdw 1>\bruch{1}{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] n+1>1
[mm] \gdw [/mm] n>0
ok, so sehe ich ein das obige aussage damit gueltigkeit erlangt ...
aber stellt sich nun nicht auch die frage nach gueltigkeit von :
[mm] (1+\bruch{1}{n^2-1} )^n> 1+\bruch{n}{n-1}
[/mm]
?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo ehrlichbemuehter,
> ok, das kann ich jetzt nachvollziehen, nur eine frage
> noch
>
>
> so, nun machst du die umformungen, die frage die sich mir
> stellt, wir haben doch hier eine nicht ganz korrekte
> ungleichungskette oder ?
>
> wir fangen doch mit
> a>b and und machen dann weiter mit < damit ist doch
> ueberhaupt nichts ausgesagt ?!?!?!? oder ?
>
>
> a>b<c
Ja, da hast du Recht, da hatte ich mich vertan.
> [mm]\gdw \bruch{n}{n^2-1}<\bruch{n}{n-1}[/mm]
>
> [mm]\gdw\bruch{1}{n^2-1}<\bruch{1}{n-1}
[/mm]
> [mm]\gdw\bruch{1}{(n+1)(n-1)}<\bruch{1}{n-1}
[/mm]
> [mm]\gdw\bruch{1}{n+1}<1
[/mm]
> [mm]\gdw1
> [mm]\gdw0
>
> wir muessten das doch irgendwie so aufziehen ...
>
> [mm](1+\bruch{1}{n^2-1} )^n> 1+\bruch{n}{n-1}>1+n\bruch{1}{n^2-1}
[/mm]
>
>
> so, und dann
> [mm]\gdw \bruch{n}{n-1}>\bruch{n}{n^2-1}
[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{n-1}>\bruch{1}{n^2-1}
[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{n-1}>\bruch{1}{(n+1)(n-1)}
[/mm]
>
> [mm]\gdw 1>\bruch{1}{n+1}
[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] n+1>1
>
> [mm]\gdw[/mm] n>0
>
> ok, so sehe ich ein das obige aussage damit gueltigkeit
> erlangt ...
>
> aber stellt sich nun nicht auch die frage nach gueltigkeit
> von :
>
> [mm](1+\bruch{1}{n^2-1} )^n> 1+\bruch{n}{n-1}
[/mm]
Vergiß' einfach den Zwischenschritt [mm] $1+\bruch{n}{n-1}$.
[/mm]
Ich habe meine alte Antwort nun korrigiert, ich habe nur die Umformungskette bei Korrektur geändert.
Falls es noch nicht klar sein sollte, schreibe ich nochmal alles auf, einen Großteil deiner Verwirrung bin ja nun ich Schuld
Viele Grüße,
Marc
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so, jetzt wird einiges klarer ;) jetzt muss ich leider arbeiten, werde aber heute abend noch die division durchfuehren um den kompletten weg zu verstehen !
DANKE !
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so, nun zur umwandlung von
[mm] \left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^n>\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}
[/mm]
in
[mm] \left(1+\bruch{1}{n^{2}-1}\right)^n>1+\bruch{1}{n}
[/mm]
also, division von der ersten gleichung mit [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] ergibt:
[mm] \bruch{\left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^n}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}>1+\bruch{1}{n}
[/mm]
ouh mann, da setzt bei mirr im gehirrn wieder die blockade ein ... mit dem rechten teil der ungleichung kann ich mich ja anfreunden
nur der linke teil sieht fuer mich unveraenderlich aus ....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 Do 24.02.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo ehrlichbemuehter,
> so, nun zur umwandlung von
>
> [mm]\left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^n>\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}
[/mm]
> in
> [mm]\left(1+\bruch{1}{n^{2}-1}\right)^n>1+\bruch{1}{n}
[/mm]
>
>
> also, division von der ersten gleichung mit
> [mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n[/mm] ergibt:
>
> [mm]\bruch{\left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^n}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}>1+\bruch{1}{n}
[/mm]
>
> ouh mann, da setzt bei mirr im gehirrn wieder die blockade
> ein ... mit dem rechten teil der ungleichung kann ich mich
> ja anfreunden
> nur der linke teil sieht fuer mich unveraenderlich aus ....
Schreibe doch mal die Ausdrücke in den Klammern (auf der linken Seite) als ein Bruch. Dann wirst du sehen, dass du kürzen kannst... (beachte: man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert...)
Viel Erfolg,
Marc
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> [mm]\bruch{\left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^n}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}>1+\bruch{1}{n}
[/mm]
also gut,
[mm] \left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^n [/mm] wird mit meinen bescheidenen umformungskenntnissen zu :
[mm] \left(\bruch{n-1+1}{n-1}\right)^n=\bruch{n^n}{(n-1)^n}
[/mm]
so, den nenner forme ich um zu :
[mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n=\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n=\bruch{(n+1)^n}{n^n}
[/mm]
so, nach der umformung habe ich also
[mm] \bruch{\bruch{n^n}{(n-1)^n}}{\bruch{(n+1)^n}{n^n}}
[/mm]
multiplikation mit kehrwehrt:
[mm] \bruch{n^n}{(n-1)^n}*\bruch{n^n}{(n+1)^n}
[/mm]
leider sind meine rolladen wieder unten, was nun ? soll ich nun [mm] n^n [/mm] ausklammern um es zu kuerzen ?
zwischenzeitlich hatte ich auch die obskure idee die binominalkoeffizenten da reinzubasteln, in anbetracht der schreibarbeit lass ich aber lieber mal die finger davon ...
der bruch gefaellt mir ja eigentlich schon, nur sehe ich nicht wie ich ihn kleinhacken kann ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Do 24.02.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo ehrlichbemuehter!
> [mm]\bruch{\left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^n}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}>1+\bruch{1}{n}
[/mm]
>
> also gut,
> [mm]\left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^n[/mm] wird mit meinen
> bescheidenen umformungskenntnissen zu :
> [mm]\left(\bruch{n-1+1}{n-1}\right)^n=\bruch{n^n}{(n-1)^n}
[/mm]
>
> so, den nenner forme ich um zu :
>
> [mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n=\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n=\bruch{(n+1)^n}{n^n}
[/mm]
>
> so, nach der umformung habe ich also
>
>
> [mm]\bruch{\bruch{n^n}{(n-1)^n}}{\bruch{(n+1)^n}{n^n}}
[/mm]
>
> multiplikation mit kehrwehrt:
>
> [mm]\bruch{n^n}{(n-1)^n}*\bruch{n^n}{(n+1)^n}
[/mm]
>
> leider sind meine rolladen wieder unten, was nun ? soll ich
> nun [mm]n^n[/mm] ausklammern um es zu kuerzen ?
Nein, mit dem Kürzen befand ich mich auf dem Holzweg, ich konnte mich nur daran erinnern, dass ich das in der letzten Nacht vereinfacht hatte.
> zwischenzeitlich hatte ich auch die obskure idee die
> binominalkoeffizenten da reinzubasteln, in anbetracht der
> schreibarbeit lass ich aber lieber mal die finger davon
> ...
>
> der bruch gefaellt mir ja eigentlich schon, nur sehe ich
> nicht wie ich ihn kleinhacken kann ...
Schau' doch mal in Richtung deines Umformungszieles: [mm] $(1+\bruch{1}{n^{2}-1})^n$
[/mm]
Dort haben wir nur eine Klammer, mit einem Exponenten n. Das ist also für [mm]\bruch{n^n}{(n-1)^n}*\bruch{n^n}{(n+1)^n}[/mm] dein nächstes Ziel (bzw. du hättest in deinem Zwischenergebnis nicht erst das Potenzgesetz [mm] $\left(\bruch{a}{b}\right)^n=\bruch{a^n}{b^n}$ [/mm] im Zähler und Nenner anwenden sollen...
So, kürzen kannst du also nicht, aber im Nenner die 3. binomische Formel anwenden. Im Zähler ergänzt du $-1+1$, machst zwei Brüche aus dem einen kürzt und hast das Endergebnis.
Viele Grüße,
Marc
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kann ich [mm] (n-1)^n(n+1)^n [/mm] zu [mm] (n^2-1)^n [/mm] zusammenfassen ?
dann waere ich bei [mm] \bruch{n^n n^n}{(n^2-1)^n}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Do 24.02.2005 | | Autor: | Marc |
Hakllo ehrlichbemuehter!
> kann ich [mm](n-1)^n(n+1)^n[/mm] zu [mm](n^2-1)^n[/mm] zusammenfassen ?
>
>
> dann waere ich bei [mm]\bruch{n^n n^n}{(n^2-1)^n}[/mm]
Genau, nur hast du die Faktoren nicht alle unter in eine Klammer geschrieben:
[mm] $\bruch{\left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^n}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}=\left( \bruch{1+\bruch{1}{n-1}}{1+\bruch{1}{n}} \right)^n=\ldots=\left( \bruch{n^2}{n^2-1}\right)^n$
[/mm]
Jetzt noch $-1+1$ im Zähler ergänzen, Bruch aufspalten, und du bist am Ziel.
Viele Grüße,
Marc
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[mm] \left( \bruch{n^2-1+1}{n^2-1}\right)^n= \left( 1+\bruch{1}{n^2-1}\right)^n
[/mm]
schwere geburt, ich habe noch eine frage ...
das (n-1)(n+1) = [mm] n^2-1 [/mm]
ist sehe ich ein, aber wieso kann ich dann einfach :
[mm] (n-1)^n(n+1)^n [/mm] = [mm] (n^2-1 )^n [/mm]
machen ?
fuer n = 2
[mm] (2-1)^2(2+1)^2 [/mm] = [mm] (2^2-1 )^2
[/mm]
1*9 = 9
fuer n = 3
[mm] (3-1)^3(3+1)^3 [/mm] = [mm] (3^2-1 )^3
[/mm]
[mm] 2^3 [/mm] * [mm] 4^3 =8^3 [/mm]
512= 512
scheint ja zu stimen, faszinierend ...
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Do 24.02.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo ehrlichbemuehter!
> [mm]\left( \bruch{n^2-1+1}{n^2-1}\right)^n= \left( 1+\bruch{1}{n^2-1}\right)^n
[/mm]
>
>
>
>
> schwere geburt, ich habe noch eine frage ...
>
> das (n-1)(n+1) = [mm]n^2-1[/mm]
> ist sehe ich ein, aber wieso kann ich dann einfach :
>
> [mm](n-1)^n(n+1)^n[/mm] = [mm](n^2-1 )^n[/mm]
>
> machen ?
Das liegt an dem  Potenzgesetz [mm] $a^n*b^b=(a*b)^n$:
[/mm]
[mm] $(n-1)^n*(n+1)^n=\left((n-1)*(n+1)\right)^n=(n^2-1)^n$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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