Frage zum Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo,
Ich habe mal eine Frage zu folgendem Beweis. Ich habe das mal in dem üblichen Schema zusammengefasst:
Vor.: [mm] \emptyset \not= [/mm] A [mm] \subset \IR
[/mm]
H....Menge der Häufungspunkte von A
Beh.: H ist abgeschlossen
Bew.
Zunächst mal die Frage: Ist Häufungspunkt dasselbe wie ein Berühungspunkt? Also bezeichnen beide Begriffe den gleichen Sachverhalt?
Es ex. ein Häufungspunkt, etwa a, in H, da A nichtleer ist.
Dabei muss jedoch nicht gelten: a [mm] \in [/mm] A
Es folgt nun:
Es ex. eine injektive Folge [mm] (x_{n}) \in H^{\IN}, [/mm] die gegen a konvergiert.
Somit gilt: [mm] |x_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Wie kann man jetzt weiter vorgehn bzw, ist bisher alles richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Ich habe mal eine Frage zu folgendem Beweis. Ich habe das
> mal in dem üblichen Schema zusammengefasst:
>
> Vor.: [mm]\emptyset \not=[/mm] A [mm]\subset \IR[/mm]
> H....Menge der
> Häufungspunkte von A
>
> Beh.: H ist abgeschlossen
>
> Bew.
>
> Zunächst mal die Frage: Ist Häufungspunkt dasselbe wie
> ein Berühungspunkt? Also bezeichnen beide Begriffe den
> gleichen Sachverhalt?
nein. In metrischen Räumen [mm] $(X,d)\,$ [/mm] für $A [mm] \subseteq [/mm] X$ gilt:
$a [mm] \in [/mm] X$ ist genau dann Berührpunkt von [mm] $A\,,$ [/mm] wenn eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $A\,$ [/mm] mit [mm] $a_n \to [/mm] a$ existiert.
$h [mm] \in [/mm] X$ ist genau dann Häufungspunkt von [mm] $A\,,$ [/mm] wenn eine Folge [mm] $(h_n)_n$ [/mm] in [mm] $A\,$ [/mm] mit $h [mm] \not=h_n \to [/mm] h$ existiert.
Das ist ein kleiner, aber feiner Unterschied. z.B. sind alle Punkte einer Menge stets auch Berührpunkte (wähle die entsprechende konstante Folge), aber sie müssen bzw. werden i.a. keine Häufungspunkte sein. Ferner ist aber auch jeder Häufungspunkt einer Menge selbst Berührpunkt dieser. (Folgt per Definitionem.)
Beispiel:
[mm] $$M:=\{1\} \cup \{1/n: n \in \IN_{\ge 2}\}$$
[/mm]
als Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] mit üblicher vom Betrage induzierter Metrik.
Menge der Häufungspunkte von [mm] $M\,:$
[/mm]
[mm] $$\{0\}$$
[/mm]
Menge der Berührpunkte von [mm] $M\,:$
[/mm]
$$M [mm] \cup \{0\}\,.$$
[/mm]
Warum ist etwa [mm] $1/2\,$ [/mm] Berührpunkt von $M$? Naja:
Für [mm] $a_n=1/2$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ist [mm] $a_n \in [/mm] M$ und es gilt [mm] $a_n \to 1/2\,.$
[/mm]
Warum ist aber [mm] $1/2\,$ [/mm] kein HP?
Wäre [mm] $1/2\,$ [/mm] HP, so gäbe es [mm] $h_n \in [/mm] M$ mit [mm] $h_n \not=1/2$ [/mm] für alle [mm] $n\,$ [/mm] und mit [mm] $h_n \to 1/2\,.$ [/mm] Solche [mm] $h_n$'s [/mm] existieren aber nicht. (Warum? Z.B. weil man zeigen kann, dass [mm] $1/2\,$ [/mm] hier ein isolierter Punkt ist.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Ich habe mal eine Frage zu folgendem Beweis. Ich habe das
> mal in dem üblichen Schema zusammengefasst:
>
> Vor.: [mm]\emptyset \not=[/mm] A [mm]\subset \IR[/mm]
> H....Menge der
> Häufungspunkte von A
>
> Beh.: H ist abgeschlossen
>
> Bew.
>
> Zunächst mal die Frage: Ist Häufungspunkt dasselbe wie
> ein Berühungspunkt? Also bezeichnen beide Begriffe den
> gleichen Sachverhalt?
>
Ergänzend zu Marcel:
> Es ex. ein Häufungspunkt, etwa a, in H, da A nichtleer
> ist.
Das ist falsch ! Eine Menge muß keine Häufungspunkte haben ! Endliche Mengen haben keine Häufungspunkte !
>
> Dabei muss jedoch nicht gelten: a [mm]\in[/mm] A
Stimmt , ein Häufungspunkt kan, muß aber nicht, zur Menge gehören.
>
> Es folgt nun:
>
> Es ex. eine injektive Folge [mm](x_{n}) \in H^{\IN},[/mm] die gegen
> a konvergiert.
Was soll das H ? Du meinst wohl A.
>
> Somit gilt: [mm]|x_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Wie kann man jetzt weiter vorgehn bzw, ist bisher alles
> richtig?
Nee. Du mußt anders vorgehen: nimm eine konvergente Folge aus H her und zeige, dass ihr Limes wieder zu H gehört.
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke.
Ich hab eigentlich versucht, den Gedankengang der Lösung zu verstehn. Naja, jetzt mach ich es mal ganz ohne Lösungshinweise.
Ähm, also es gilt (salopp) : A nichtleer, H Menge der Häufungspunkte von A
zz H abgeschlossen.
Wenn ich das jetzt aber richtig verstanden hab, kann H auch leer sein, weil es keine Häufungspunkte von A geben muss.
Für die Abgeschlossenheit muss aber doch gelten, dass die Menge Menge aller Berührpunkte gleich der Menge selbst ist. Also das muss ich zeigen.
Dann darf es aber doch keinen Häufungspunkt geben oder?
EDIT: Letzter Satz ist Blödsinn. Das seh ich jetzt xD Aber wie kann ich jetzt an den Beweis herangehen. Eigentlich muss ich doch zeigen: Wenn ich eine Folge in H hätte, dann müsste ihr Grenzwert auch in H liegen. Salopp formuliert. Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Solrakt,
> Danke.
>
> Ich hab eigentlich versucht, den Gedankengang der Lösung
> zu verstehn. Naja, jetzt mach ich es mal ganz ohne
> Lösungshinweise.
>
> Ähm, also es gilt (salopp) : A nichtleer, H Menge der
> Häufungspunkte von A
>
> zz H abgeschlossen.
>
> Wenn ich das jetzt aber richtig verstanden hab, kann H auch
> leer sein, weil es keine Häufungspunkte von A geben muss.
>
> Für die Abgeschlossenheit muss aber doch gelten, dass die
> Menge Menge aller Berührpunkte gleich der Menge selbst
> ist. Also das muss ich zeigen.
>
> Dann darf es aber doch keinen Häufungspunkt geben oder?
>
> EDIT: Letzter Satz ist Blödsinn. Das seh ich jetzt xD
okay. Der war wirklich Blödsinn. Es stimmt übrigens: Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Berührpunkte enthält. Aber darum geht's hier doch gar nicht. Oder?
> Aber
> wie kann ich jetzt an den Beweis herangehen. Eigentlich
> muss ich doch zeigen: Wenn ich eine Folge in H hätte, dann
> müsste ihr Grenzwert auch in H liegen. Salopp formuliert.
> Stimmt das?
Fast. Du hast zu zeigen: Wenn Du eine Folge in [mm] $H\,$ [/mm] hast, die konvergiert (d.h. sie hat in [mm] $X\,$ [/mm] (!!) einen Grenzwert), dann muss dieser Grenzwert schon in [mm] $H\,$ [/mm] liegen.
Du willst hier ja zeigen, dass die Menge [mm] $H\,$ [/mm] selbst abgeschlossen ist (anders gesagt: Die Menge [mm] $H\,$ [/mm] stimmt mit der Menge IHRER Berührpunkte überein. Aber ich glaube nicht, dass Du das schon benutzen darfst...).
Also: Seien [mm] $h_n$ [/mm] alle in [mm] $H\,$ [/mm] so, dass [mm] $h_n \to [/mm] h$ für ein $h [mm] \in X\,.$ [/mm] (Anders gesagt: Wir nehmen mal eine Folge [mm] $(h_n)_n \in H^{\IN}$ [/mm] her, die die Eigenschaft hat, dass sie in [mm] $X\,$ [/mm] konvergent ist (gegen ein $h [mm] \in [/mm] X$).
Zu zeigen ist nun: Es gilt dann sogar schon $h [mm] \in [/mm] H$ (und nicht nur $h [mm] \in X\,,$ [/mm] denn das ist klar).
Weil jedes [mm] $h_n \in [/mm] H$ ist, ist nach Definition von [mm] $H\,$ [/mm] jedes [mm] $h_n$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $A\,.$ [/mm] Es existiert also für jedes [mm] $h_n$ [/mm] eine Folge [mm] $(a_k^{(n)})_k \in A^{\IN}$ [/mm] (der Index $(n)$ oben soll darauf hinweisen, dass man bei einem anderen [mm] $h_n$ [/mm] i.a. auch eine andere Folge [mm] $(a_k^{(n)})_k$ [/mm] hat) mit
[mm] $$h_n \not=a_k^{(n)}\to h_n \;\;\text{ bei }k \to \infty\,.$$
[/mm]
Jetzt versuche mal, damit eine Folge [mm] $(\tilde{a}_k)_k \in A^{\IN}$ [/mm] zu konstruieren, so dass $h [mm] \not=\tilde{a}_k \to h\,.$ [/mm] Daraus folgt dann $h [mm] \in H\,,$ [/mm] also dass [mm] $h\,$ [/mm] selbst schon HP von [mm] $A\,$ [/mm] sein muss.
P.S.:
Falls das nicht klappt, sie direkt zu kontruieren:
Dann nimm' halt an, es wäre [mm] $h\,$ [/mm] kein $HP$ von [mm] $A\,.$ [/mm] Dann kann ich eine offene [mm] $\epsilon$-Kugel [/mm] (in [mm] $X\,$) [/mm] (mit genügend kleinem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$) um [mm] $h\,$ [/mm] so finden, dass spätestens nach dem Entfernen von [mm] $h\,$ [/mm] aus dieser Umgebung sich kein Element von [mm] $A\,$ [/mm] mehr finden läßt. Wegen [mm] $h_n \to [/mm] h$ finde ich aber für genügend großes $N$ ein [mm] $h_N \in H\,,$ [/mm] dass sich in dieser [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] befindet. Nun betrachte ich eine offene [mm] $\epsilon_2$-Kugel [/mm] um [mm] $h_N$ [/mm] - und zwar kann ich eine solche betrachten, die ganz in der [mm] $\epsilon$-Kugel [/mm] um [mm] $h\,$ [/mm] liegt. (Warum?)
Und [mm] $h_N$ [/mm] war Häufungspunkt von [mm] $A\,,$ [/mm] daher finde ich... -> Widerspruch.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal. ;)
>Weil jedes $ [mm] h_n \in [/mm] H $ ist, ist nach Definition von $ [mm] H\, [/mm] $ jedes $ [mm] h_n [/mm] $ ein >Häufungspunkt von $ [mm] A\,. [/mm] $ Es existiert also für jedes $ [mm] h_n [/mm] $ eine Folge $ [mm] >(a_k^{(n)})_k \in A^{\IN} [/mm] $ (der Index (n) oben soll darauf hinweisen, >dass man bei einem anderen $ [mm] h_n [/mm] $ i.a. auch eine andere Folge $ [mm] >(a_k^{(n)})_k [/mm] $ hat) mit
Hmm..das versteh ich nicht. Kannst du das nochmal anders erklären? Sry. Ähm, warum kann man eine Folge [mm] h_{n} [/mm] HP einer Menge nennen, das ist doch eine Folge? Sry, wenn ich so blöd frage, aber ich muss das ja für die Klausur können. Danke schonmal sehr.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke erstmal. ;)
>
> >Weil jedes [mm]h_n \in H[/mm] ist, ist nach Definition von [mm]H\,[/mm]
> jedes [mm]h_n[/mm] ein >Häufungspunkt von [mm]A\,.[/mm] Es existiert also
> für jedes [mm]h_n[/mm] eine Folge [mm]>(a_k^{(n)})_k \in A^{\IN}[/mm] (der
> Index (n) oben soll darauf hinweisen, >dass man bei einem
> anderen [mm]h_n[/mm] i.a. auch eine andere Folge [mm]>(a_k^{(n)})_k[/mm] hat)
> mit
>
> Hmm..das versteh ich nicht. Kannst du das nochmal anders
> erklären? Sry. Ähm, warum kann man eine Folge [mm]h_{n}[/mm] HP
> einer Menge nennen, das ist doch eine Folge?
Achtung: Wenn ich sage "es ist jedes [mm] $h_n \in [/mm] H$", dann meine ich hier: Jedes Folgenglied [mm] $h_n\,$ [/mm] erfüllt [mm] $h_n \in H\,,$ [/mm] oder anders gesagt:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt [mm] $h_n \in H\,.$
[/mm]
Das ist doch gerade die Bedeutung davon, wenn man sagt:
Wir betrachten [mm] $(h_n)_n \in H^{\IN}\,.$
[/mm]
> Sry, wenn ich
> so blöd frage, aber ich muss das ja für die Klausur
> können. Danke schonmal sehr.
Das ist nicht blöd gefragt. Die Fragen sind schon berechtigt. Okay, ich schreibe es nochmal anders - es bleibt aber eigentlich alles bei der alten Idee, nur die Formulierung sieht ein wenig anders aus:
Wir betrachten eine Folge [mm] $(h_n)_n \in H^{\IN}$ [/mm] (man sagt übrigens auch manchmal: Wir betrachten eine Folge [mm] $(h_n)_n$ [/mm] in [mm] $H\,,$ [/mm] aber auch das bedeutet das folgende):
Das heißt: [mm] $(h_n)_n$ [/mm] ist eine Folge derart, dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] eben [mm] $h_n \in [/mm] H$ gilt.
Diese Folge [mm] $(h_n)_n$ [/mm] konvergiere zudem in [mm] $X\,,$ [/mm] das heißt: Es gibt ein $h [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $h_n \to [/mm] h$ bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Beachte nun: [mm] $H\,$ [/mm] war per Definitionem die Menge der HPe von [mm] $A\,.$ [/mm] Wir wollen ja die Abgeschlossenheit von [mm] $H\,$ [/mm] zeigen, also müssen wir zeigen: Der Grenzwert $h [mm] \in [/mm] X$ der Folge [mm] $(h_n)_n$ [/mm] erfüllt auch $h [mm] \in H\,.$
[/mm]
So, machen wir einen Widerspruchsbeweis:
Wir nehmen an, es wäre $h [mm] \notin H\,.$ [/mm] Dann machen wir das gleiche wie eben:
Wenn dem so ist, existiert ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass
[mm] $$(\star)\;\;\;(U_\epsilon(h) \setminus \{h\}) \cap A=\emptyset$$
[/mm]
gilt - hierbei ist
[mm] $$U_{\epsilon}(h):=\{x \in X: d(x,h) < \epsilon\}\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $h_n \to [/mm] h$ existiert aber ein [mm] $N\,$ [/mm] so, dass [mm] $d(h_N,h) [/mm] < [mm] \epsilon\,,$ [/mm] also
[mm] $$h_N \in U_\epsilon(h)$$
[/mm]
ist.
Ist nun [mm] $h_N=h\,,$ [/mm] so betrachten wir im Folgenden [mm] $U_{\epsilon/2}(h)\,$ [/mm] (das im Folgenden auftauchende [mm] $U_{\epsilon_2}(h_N)$ [/mm] ist dann durch [mm] $U_{\epsilon/2}(h)$ [/mm] zu ersetzen). Andernfalls wählen wir [mm] $\epsilon_2:=\min\{\epsilon-d(h_N,h),\;\,d(h_N,h)\} [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Dann gilt [mm] $U_{\epsilon_2}(h_N) \subset U_{\epsilon}(h)\,.$ [/mm] (Warum?) Nun beachte:
[mm] $h\,$ [/mm] war ja nach Annahme kein HP von [mm] $A\,,$ [/mm] und die Wahl des [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ war so, dass [mm] $(\star)$ [/mm] gilt.
Andererseits ist [mm] $U_{\epsilon_2}(h_N) \subset U_{\epsilon}(h)\,,$ [/mm] und es war [mm] $h_N \in H\,.$ [/mm] Daraus kann man sich - eigentlich leicht - einen Widerspruch basteln.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke wieder. Ich muss mir das ganze mehrmals durchlesen. Bei Fragen (vermutlich xD) melde ich mich morgen nochmal.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Also mal der Reihe nach. Muss leider wieder fragen.
> Wenn dem so ist, existiert ein $ [mm] \epsilon [/mm] > 0 $ so, dass
> $ [mm] (\star)\;\;\;(U_\epsilon(h) \setminus \{h\}) \cap A=\emptyset [/mm] $
Wie kommst du darauf?
Die Def. eines Berührpunkts ist doch die folgende:
Jede Epsilon-Umgebung von a (a ist der Berührpunkt) enthält mind. auch ein Element von X, sodass:
[mm] B_{\IK}(a, \varepsilon) \cap [/mm] X [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Aber wie lautet die Defl diesbezüglich für einen HP, weil eigentlich ist das ja von Bedeutung.
Im Skript steht:
Jede Epsilon-Umgebung von a (jetzt a HP) enthält unendlich viele Elemente von X, sodass:
[mm] $B_{\IK}(a, \varepsilon) \cap [/mm] X ist unendlich$
Ich versteh diese Def. nicht, sofern diese denn stimmt.
Kannst du mir das mal erklären und vllt auch sagen, wie du auf dein Ergebnis (s.o.) kamst?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:55 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also mal der Reihe nach. Muss leider wieder fragen.
>
> > Wenn dem so ist, existiert ein [mm]\epsilon > 0[/mm] so, dass
>
> > [mm](\star)\;\;\;(U_\epsilon(h) \setminus \{h\}) \cap A=\emptyset[/mm]
>
> Wie kommst du darauf?
>
> Die Def. eines Berührpunkts ist doch die folgende:
>
> Jede Epsilon-Umgebung von a (a ist der Berührpunkt)
> enthält mind. auch ein Element von X, sodass:
>
> [mm]B_{\IK}(a, \varepsilon) \cap[/mm] X [mm]\not= \emptyset[/mm]
wieso geht es denn plötzlich um Berührpunkte? Die Annahme war doch:
Wir nehmen an, dass [mm] $h\,$ [/mm] kein HP ist...
Und jetzt siehe [mm] $(\star_2)$ [/mm] unten, wie das dann aussieht:
Und naja, was ist denn die logische Verneinung der Aussage, dass ein Punkt Häufungspunkt ist?
Das bedeutet, dass eben nicht gilt: Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$...
(Wenn etwas nicht für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gilt, dann gibt es ein [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] für dass das nicht gilt/ vielleicht schreibst Du auch lieber [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ dann für (ein) solch(es) Ausnahme-Epsilon.)
(Ich nehme übrigens an, dass bei Dir der metrische Raum wohl stets der mit der vom Betrage induzierte Metrik [mm] $\IK$ [/mm] ist, wobei [mm] $\IK=\IR$ [/mm] oder [mm] $\IK=\IC\,.$) [/mm] Schreib' sie hin, da entsteht genau das, was bei mir steht! (Ersetze halt meine Notation [mm] $U_\epsilon$ [/mm] durch [mm] $B_{\IK}(...)$...).)
[/mm]
Und Du musst dann aufpassen: Wenn bei Dir der metrische Raum [mm] $\IK$ [/mm] heißt, dann ist das das, was bei mir [mm] $X\,$ [/mm] heißt: Schreibe halt bei mir mal [mm] $X=\IK\,.$ [/mm] Bei Dir ist sicher die Menge, bzgl. der Berührpunkte/Häufungspunkte betrachtet werden, die Menge $X [mm] \subseteq \IK\,.$ [/mm] Dieses [mm] $X\,$ [/mm] bei Dir heißt bei mir wiederum [mm] $A\,.$ [/mm] Das ist jetzt natürlich ein wenig ungünstig (insbesondere, dass das [mm] $X\,$ [/mm] bei Dir und bei mir und jeweils mit einer anderen Bedeutung vorkommt!), aber wenn Du Dir das klarmachst, dann siehst Du, dass da genau das gleiche bei uns steht, wenn wir eine logische Verneinung gemacht haben.
> Aber wie lautet die Defl diesbezüglich für einen HP, weil
> eigentlich ist das ja von Bedeutung.
>
> Im Skript steht:
>
> Jede Epsilon-Umgebung von a (jetzt a HP) enthält unendlich
> viele Elemente von X, sodass:
>
> [mm]B_{\IK}(a, \varepsilon) \cap X ist unendlich[/mm]
>
> Ich versteh diese Def. nicht, sofern diese denn stimmt.
Sie stimmt. Mach' Dir halt mal klar, dass sie in metrischen Räumen [mm] $(X,d)\,$ [/mm] (ja, ich bleibe jetzt bei meinem [mm] $X\,$ [/mm] für den ganzen Raum!) und $A [mm] \subseteq [/mm] X$ dann gleichbedeutend mit der Aussage ist:
[mm] [blue]$(\star_2)$ [/mm] Genau dann ist $a [mm] \in [/mm] X$ Häufungspunkt von [mm] $A\,,$ [/mm] wenn für jede [mm] $\epsilon$-Umgebung $U_{\epsilon}(a)$ [/mm] (dabei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$) gilt:
[mm] $$\blue{(U_\epsilon(a) \setminus \{a\}) \cap A \not=\emptyset\,.}$$[/blue]
[/mm]
(Bei Dir sollte dann da stehen: [mm] $\IK$ [/mm] sei der Raum und $X [mm] \subseteq \IK$:
[/mm]
Genau dann ist $a [mm] \in \IK$ [/mm] Häufungspunkt von [mm] $X\,,$ [/mm] wenn
[mm] $$(B_{\IK}(a,\epsilon)\setminus\{a\}) \cap [/mm] X [mm] \not=\emptyset\,$$
[/mm]
gilt.)
> Kannst du mir das mal erklären und vllt auch sagen, wie du
> auf dein Ergebnis (s.o.) kamst?
Ich hoffe, dass es nun klarer ist?
P.S.:
Ergänzender Hinweis:
Wahrscheinlich fragst Du Dich:
Anscheinend kann man ja aus
[mm] $$(B_{\IK}(a,\epsilon)\setminus\{a\}) \cap [/mm] X [mm] \not=\emptyset\,$$
[/mm]
(für alle [mm] $\epsilon> [/mm] 0$) folgern, dass jede soche [mm] $\epsilon$-Umgebung $B_{\IK}(a,\epsilon)$ [/mm] unendlich viele Elemente aus [mm] $X\,$ [/mm] enthält. Geht das nicht genauso, wenn man nur
[mm] $$B_{\IK}(a,\epsilon) \cap [/mm] X [mm] \not=\emptyset\,$$
[/mm]
(für alle [mm] $\epsilon> [/mm] 0$)
fordert? Die Antwort ist:
Nein. Denn für den Fall $a [mm] \in [/mm] X$ ist stets
[mm] $$B_{\IK}(a,\epsilon) \cap [/mm] X [mm] \not=\emptyset\;\;\;(\text{ weil dann }\{a\} \subseteq B_{\IK}(a,\epsilon) \cap [/mm] X)$$
(also für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$),
und es kann sein, dass ab einem genügend kleinen [mm] $\epsilon$ [/mm] die Kugel [mm] $B_{\IK}(a,\epsilon)$ [/mm] aber als einziges Element von [mm] $X\,$ [/mm] nur noch [mm] $a\,$ [/mm] enthält. (D.h., wenn $a [mm] \in [/mm] X$ ein isolierter Punkt von [mm] $X\,$ [/mm] ist, dann ist er zwar Berührpunkt von $X [mm] \subseteq \IK$, [/mm] aber kein Häufungspunkt von [mm] $X\,$.)
[/mm]
P.S.:
Hätte ich vorher gewußt, dass bei Eurer Definition die Teilmenge, bzgl. der man HP oder Berührpunkte betrachtet, [mm] $X\,$ [/mm] heißt, hätte ich meinen metrischen Raum nicht [mm] $(X,d)\,,$ [/mm] sondern etwa [mm] $(M,d)\,$ [/mm] genannt. Aber nun haben wir quasi den "Salat" / aber ich hoffe, Du kannst es jetzt doch zuordnen:
Mein [mm] $X\,$ [/mm] ist Dein [mm] $\IK\,,$
[/mm]
mein $A [mm] \subseteq [/mm] X$ ist Dein $X [mm] \subseteq \IK \,.$
[/mm]
Und bei Dir bedeutet dann $a [mm] \in X\,$ [/mm] bzw. $a [mm] \in \IK$ [/mm] das, was bei mir dann logischerweise $a [mm] \in [/mm] A$ bzw. $a [mm] \in [/mm] X$ bedeutet.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Den einen Teil hab ich (glaub ich) jetzt verstanden.
> Ist nun $ [mm] h_N=h\,, [/mm] $ so betrachten wir im Folgenden $ [mm] U_{\epsilon/2}(h)\, [/mm] > $ (das im Folgenden auftauchende $ [mm] U_{\epsilon_2}(h_N) [/mm] $ ist dann durch > $ [mm] U_{\epsilon/2}(h) [/mm] $ zu ersetzen). Andernfalls wählen wir $ [mm] \epsilon_2:=
[/mm]
> [mm] \min\{\epsilon-d(h_N,h),\;\,d(h_N,h)\} [/mm] > [mm] 0\,. [/mm] $
Alles davor ist klar (auch wenn das nicht so viel war xD). Aber das hier versteh ich wieder nicht. Vor allem diese Minimumangabe. Inwiefern ist diese nützlich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Den einen Teil hab ich (glaub ich) jetzt verstanden.
>
> > Ist nun $ [mm]h_N=h\,,[/mm] so betrachten wir im Folgenden
> [mm]U_{\epsilon/2}(h)\,[/mm]
> (das im Folgenden auftauchende
> [mm]U_{\epsilon_2}(h_N)[/mm] ist dann durch
> [mm]U_{\epsilon/2}(h)[/mm]
> zu ersetzen). Andernfalls wählen wir [mm]\epsilon_2:=[/mm]
> > [mm]\min\{\epsilon-d(h_N,h),\;\,d(h_N,h)\}[/mm] > [mm]0\,.[/mm] $
>
> Alles davor ist klar (auch wenn das nicht so viel war xD).
> Aber das hier versteh ich wieder nicht. Vor allem diese
> Minimumangabe. Inwiefern ist diese nützlich?
>
ich glaube, am ehesten wird es klar, wenn Du Dir das ganze mal ein wenig veranschaulichst:
Nimm' einen offenen Kreis des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] dieser habe Radius [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] und Mittelpunkt [mm] $M\,.$ [/mm] Jetzt nimm' einen Punkt [mm] $P\,$ [/mm] im Inneren dieses Kreises, der nicht mit dem Mittelpunkt [mm] $M\,$ [/mm] des Kreises zusammenfällt.
Dann gibt es 2 Fälle:
1. Fall: Der Punkt liegt näher am Mittelpunkt des Kreises als zum nächstgelegenen Randpunkt des Kreises. Hier gilt also $d(M,P) [mm] \le \epsilon/2\,.$ [/mm] Wenn ich jetzt eine Kugel mit Radius $d(M,P) > 0$ um [mm] $P\,$ [/mm] betrachte, so ist das eine offene Kugel, die komplett in der [mm] $\epsilon$-Kugel [/mm] mit Mittelpunkt [mm] $M\,$ [/mm] enthalten ist. (Das kann man sich alleine mit der Dreiecksungleichung klarmachen.)
Sicher ist, dass auch "jeder kleinere offene Kreis" (mit Radius echt größer Null und $< d(M,P)$) auch eine offene Kugel um [mm] $P\,$ [/mm] ist, die in der Ausgangskugel (offene Kugel mit Radius [mm] $\epsilon\,,$ [/mm] Mittelpunkt [mm] $M\,$; [/mm] bzw. im [mm] $\IR^2$ [/mm] reden wir dann auch von einem offenen Kreis anstatt von einer offenen Kugel!) enthalten ist.
2. Fall: Der Punkt [mm] $P\,$ [/mm] sei "weiter von Mittelpunkt [mm] $M\,$ [/mm] entfernt als der nächste Randpunkt des Kreises". Hier gilt also $d(M,P) [mm] \ge \epsilon/2\,.$ [/mm] Hier ist die offene Kugel um [mm] $P\,$ [/mm] mit Radius [mm] $\epsilon [/mm] - d(M,P)$ komplett in der Ausgangskugel enthalten.
Diese beiden Fälle kann man nun wie folgt zusammenfassen:
Wenn ich einen Punkt [mm] $P\,$ [/mm] im Inneren der Kugel betrachte, dann setze ich [mm] $\epsilon_2:=\min\{d(M,P),\;\epsilon - d(M,P)\}\,.$ [/mm] Weil ich das Minimum über eine endliche Menge (die Endlichkeit sichert schonmal die Existenz eines Minimums / unsere Menge enthält eh auch nur zwei Elemente) echt positiver Zahlen betrachte, dann ist dieses echt positiv (das Minimum ist dann ja selbst eine Element der betrachteten Menge).
Die [mm] $\epsilon_2$-Kugel [/mm] um [mm] $P\,$ [/mm] ist dann also eine offene Kugel um [mm] $P\,,$ [/mm] die in der Ausgangskugel, die offene Kugel um [mm] $M\,$ [/mm] mit Radius [mm] $\epsilon\,,$ [/mm] ganz enthalten ist. (Allgemein folgt das in metrischen Räumen einfach durch Anwendung der Dreiecksungleichung; aber im [mm] $\IR^2$ [/mm] etwa kann man sich das auch erstmal "anhand eines Bildchen" klarmachen. Du musst Dir dann nur auch klarmachen, wie man die Menge, über die man das Minimum bildet, im Bild wiederfindet:
$d(M,P)$ ist (im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit üblicher Metrik) gerade die Länge der Strecke zwischen [mm] $M\,$ [/mm] und [mm] $P\,.$ [/mm] Der Wert [mm] $\epsilon [/mm] - d(M,P)$ ist hier auch eine Streckenlinie (beachte, dass $P [mm] \not=M$ [/mm] ein Punkt im Inneren des [mm] $\epsilon$-Kreises [/mm] um [mm] $M\,$ [/mm] war): Betrachte den Strahl von [mm] $M\,$ [/mm] ausgehend in Richtung [mm] $P\,.$ [/mm] Dieser schneidet den Rand des Kreises in einem Punkt, nennen wir ihn [mm] $S\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\epsilon-d(M,P)$ [/mm] nichts anderes als die Länge der Strecke zwischen [mm] $P\,$ [/mm] und [mm] $S\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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