Frage zum Unterraumkriterum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Di 19.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle.
Ich habe heute in Mathe ein wenig verdutzt geschaut als mir etwas auffiel, was mir ein Problem bei den mir bekannten Unterraumkriterien zu sein scheint:
Im Beutelspacher nämlich heißt es, man habe für die Subtraktion zu zeigen, dass diese abgeschlossen sei. Es soll also für alle [mm] $a,b\in U\subseteq [/mm] V$ [mm] $a-b\in [/mm] U$ gelten. Da die Subtraktion aber nur die Addition des Inversen dessen ist, was eigenlitch abgezogen werden sollte, dann muss doch gelten: [mm] $a+(-b)\in [/mm] U$. Aber wer sagt mir nun, dass [mm] $-b\in [/mm] U$ gilt? Dies ist doch gerade ein weiteres Unterraumkriterium?
Ich bin da wirklich ein wenig verwirrt, weil ich meinen (scheren?) Denkfehler nicht erkennen kann.
Genau so putzig ist es, dass mein MAthelehrer behauptet hat, man könne bloß durch die Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation und der Addition zeigen, dass auch der Nullvektor in $U$ liegt und auch das Additiv Inverse Element in $U$ liegen muss - wenn dem so wäre, wieso steht das dann nicht im Beutelspacher?
Vielen Dank schonmal!
Liebe liebe Grüße,
Ein verdutzter Hanno 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Di 19.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Doch, es hat alles seine Richtigkeit.
Du willst also die Äquivalenz der folgenden beiden Kriterien nachweisen
Kriterium I
1) $0 [mm] \in [/mm] U$
2) $a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] a+b [mm] \in [/mm] U$
3) $a [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad \lambda\cdot [/mm] a [mm] \in [/mm] U$
Kriterium II
1') $0 [mm] \in [/mm] U$
2') $a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] a-b [mm] \in [/mm] U$.
3') $a [mm] \in [/mm] U [mm] \quad\Rightarrow \quad \lambda\cdot [/mm] a [mm] \in [/mm] U$
Beweis:
"$I [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] II$"
1') ist gerade 1), 3') ist gerade 3). 2') folgt aus 2) und 3), da mit $a$ und $b$ nach 3) auch $a$ und $-b=(-1) [mm] \cdot [/mm] b$ in $U$ liegen und daher nach 2) auch $a-b= a + (-b)$.
"$II [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] I$"
1) ist gerade 1'), 3) ist gerade 3'). 2) folgt aus 2') und 3'), da mit $a$ und $b$ nach 3') auch $a$ und $-b = [mm] (-1)\cdot [/mm] b$ in $U$ liegen und daher nach 2') auch $a+b= a-(-b)$.
Es gibt übrigens noch zahlreiche andere äquivalente Unterraumkriterien:
Kriterium III
1'') $U [mm] \ne \emptyset$
[/mm]
2'') $a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] a+b [mm] \in [/mm] U$
3'') $a [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad \lambda\cdot [/mm] a [mm] \in [/mm] U$
Kriterium IV
1''') $U [mm] \ne \emptyset$
[/mm]
2''') $a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] a-b [mm] \in [/mm] U$.
3''') $a [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad \lambda\cdot [/mm] a [mm] \in [/mm] U$
Kriterium V
1'''') $0 [mm] \in [/mm] U$
2'''') $a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad \lambda\cdot [/mm] a + [mm] \mu \cdot [/mm] b [mm] \in [/mm] U$
Kriterium VI
1''''') $U [mm] \ne \emptyset$
[/mm]
2''''') $a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad \lambda\cdot [/mm] a + [mm] \mu \cdot [/mm] b [mm] \in [/mm] U$
Usw. 
Alles klar jetzt?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Di 19.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Danke für deine Antwort. Ich bin ein wenig verwirrt, weil ich jetzt gar nicht mehr sehe, woran ich mich vorher gestört habe - zwar meinte ich nicht genau das, was du geantwortest hast, aber ich glaube ich weiß woran es lag - ich habe schlicht und einfach vergessen, dass ja aus der Tatsache, dass die S-Multiplikation abgeschlossen ist, schon folgt, dass für jedes [mm] $u\in [/mm] U$ auch [mm] $-u\in [/mm] U$ gilt - mal wieder blöd von mir, tut mir leid.
Nun: wo du gerade die Kriterien gepostet hast: Kriterium III ist genau das, was mein Mathelehrer mit uns machen möchte - sehr schön.
Danke Stefan.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Di 19.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan.
Wie zeigst du, dass [mm] $0\in [/mm] U$ für alle die Kriterien gilt, in denen nicht [mm] $0\in [/mm] U$ sondern [mm] $U\not= \emptyset$ [/mm] vorgegeben ist? Es wäre ja zu zeigen, dass [mm] $0\cdot x=\vec{0}$ [/mm] für jedes [mm] $x\in [/mm] U$ ist. Ich komme sofort ins Straucheln, wenn ich einen Ansatz mache; Ich habe das Gefühl, dass ich von Tag zu Tag mehr Probleme bekomme.
Mein Problem liegt in den additiven Inversen. Ich kann ihre Existenz ja gar nicht beweisen und so erstrecht nicht annehmen, dass [mm] $x+(-x)=\vec{0}$ [/mm] gilt - denn dies ist ja eine äquivalente Aussage. Ist das korrekt?
Wenn dem so ist, dann wird ja das Arbeiten mit Gleichungen ungemein schwierig, da ich zwar fröhlich addieren und subtrahieren kann, doch kann nie etwas auf einer Seite "wegfallen", also in einen Nullvektor übergehen.
Ich weiß nicht was los ist, aber ich verdrehe gerade alles :(
Bitte Hilfe ![[help]](/images/smileys/help.gif "[help]")
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Di 19.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
So ganz verstehe ich deine Fragen nicht. Ich versuche mal eine Erklärung abzugeben:
Wenn du weißt, dass $U [mm] \ne \emptyset$ [/mm] ist, dann weißt du ja:
Es gibt ein $v [mm] \in [/mm] V$ mit $v [mm] \in [/mm] U$.
Weiterhin weißt du ja, dass für alle [mm] $\lambda \in \IK$ [/mm] gilt:
[mm] $\lambda \cdot [/mm] v [mm] \in [/mm] U$.
Insbesondere gilt also:
$0 [mm] \cdot [/mm] v [mm] \in [/mm] U$.
Was aber ist $0 [mm] \cdot [/mm] v$?
So, und nun rechnen wir im "umgebenden Vektorraum" $V$, denn zunächst mal ist ja $0 [mm] \cdot [/mm] v$ in $V$ definiert (und die Verknüpfungen von $V$ übertragen wir ja auf $U$).
Es gilt:
$0 [mm] \cdot [/mm] v = (0+0) [mm] \cdot [/mm] v = 0 [mm] \cdot [/mm] v + 0 [mm] \cdot [/mm] v$.
Nun ist $0 [mm] \cdot [/mm] v$ ein Element des Vektorraums, und dieses hat ein additiv Inverses, $-(0 [mm] \cdot [/mm] v)$.
Addieren wir das auf beiden Seiten der Gleichung, so erhalten wir:
$0 = 0 [mm] \cdot [/mm] v$.
Da wir aber wissen, dass $0 [mm] \cdot [/mm] v [mm] \in [/mm] U$ gilt und da $0 [mm] \cdot [/mm] v=0$ ist, liegt somit $0$ in $U$.
Jetzt klarer?
Ich weiß nicht, wie ich es deutlicher schreiben soll. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Di 19.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan.
Tut mir leid, ich kann nicht locker lassen, jetzt denke ich kann ich meine Frage auch ordenltich formulieren.
> Nun ist $ 0 [mm] \cdot [/mm] v $ ein Element des Vektorraums, und dieses hat ein additiv Inverses, $ -(0 [mm] \cdot [/mm] v) $.
> Addieren wir das auf beiden Seiten der Gleichung, so erhalten wir:
Eben DAS verstehe ich nicht! Wieso ist das Additive Inverse von [mm] $x\in [/mm] U$ das Element [mm] $-x\in [/mm] U$? Das ist doch ein Zirkelschluss. Es zeigt sich nämlich leicht, dass die beiden Aussagen [mm] $x+(-x)=\vec{0}$ [/mm] und [mm] $0\cdot x=\vec{0}$ [/mm] äquivalent sind, denn. [mm] $x+(-x)=x-x=x(1-1)=x(0)=0\cdot [/mm] x$. Woher aber weißt du, dass [mm] $x+(-x)=\vec{0}$ [/mm] gilt? Welchen Axiomen entnimmst du das?
Das hatte ich mir nämlich auch überlegt und dann auch so weiter gerechnet, doch viel mir auf, dass ich eben nicht auf beiden Seiten der Gleichung addieren darf. Denn das wäre ja ausgeschrieben:
$0 [mm] \cdot [/mm] v=0 [mm] \cdot [/mm] v + 0 [mm] \cdot [/mm] v $ <-- Nun addieren wir
[mm] $0\cdot v-0\cdot v=0\cdot v+0\cdot v-0\cdot [/mm] v$
So, hier brauchen wir aber die zum beweisenden Satz äquivalente Behauptung [mm] $x-x=\vec{0}$, [/mm] um weiterrechnen zu können - doch woher nimmst du die? Die Existenz des additiven Inversen soll doch noch gezeigt werden?
Ist nun klar, wo es bei mir hapert?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 19.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hanno,
> Tut mir leid, ich kann nicht locker lassen, jetzt denke
> ich kann ich meine Frage auch ordenltich formulieren.
>
> > Nun ist [mm]0 \cdot v[/mm] ein Element des Vektorraums, und dieses
> hat ein additiv Inverses, [mm]-(0 \cdot v) [/mm].
> > Addieren wir das auf beiden Seiten der Gleichung, so
> erhalten wir:
>
> Eben DAS verstehe ich nicht! Wieso ist das Additive Inverse
> von [mm]x\in U[/mm] das Element [mm]-x\in U[/mm]? Das ist doch ein
> Zirkelschluss. Es zeigt sich nämlich leicht, dass die
Auf welches von Stefans Kriterien beziehst du dich denn hier? So weiß ich gar nicht, was ich voraussetzen darf.
Auf den ersten Blick würde ich sagen ist die Verwirrung nur auf die Schreibweise zurückzuführen, denn -x ist doch vereinbarungsgemäß eine Schreibweise für das additive Inverse des Elements x. Das Problem würde sich dann lösen, wenn man z.B. [mm] $x^{\star}$ [/mm] für das Inverse schreibt.
Allerdings gehe ich nicht davon aus, dass es bei dir beim Verstehen der Schreibweise hapert , also verstehe ich dein Problem noch nicht ganz.
Das wird sich aber klären, wenn du die Axiome mit angibst.
Liebe Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:23 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Lieber Hanno,
ich benutze nun mal eine Idee, die der von Stefan sehr ähnelt:
Du weißt, es gibt ein $v [mm] \in [/mm] (V [mm] \cap [/mm] U)$. Nun gilt aber im Vektorraum $V$ (mit [mm] $0,\lambda \in [/mm] K$, wobei $K$ ein Körper sei) (Bemerkung: ich schreibe immer [mm] $0_V$ [/mm] (bzw. [mm] $0_U$) [/mm] für den Nullvektor im Vektorraum $V$ (bzw. Unterraum $U$)) :
[m]0_V=\lambda*v-\lambda*v=(\underbrace{\lambda+0}_{=\lambda})*v-\lambda*v
=\lambda*v+0*v-\lambda*v=(\lambda*v-\lambda*v)+0*v=0_V+0*v=0*v[/m]
(Ich sehe gerade, dass man das [mm] $\lambda$ [/mm] auch durch $1$ ersetzen könnte...)
Diese Rechnung wird nur mit den Vektorraumaxiomen im Vektorraum $V$ durchgeführt (beachte: [mm] $\lambda*v-\lambda*v$ [/mm] bedeutet eigentlich: [mm] $\underbrace{\lambda*v}_{\in V}+(\underbrace{-\lambda*v}_{\in V})$ [/mm] und hierbei ist [mm] $-\lambda*v$ [/mm] das Inverse zu [mm] $\lambda*v$ [/mm] (Existenz gesichert wegen Vektorraumaxiomen, da $V$ Vektorraum ist); analog mit $v-v$ etc.).
(Wenn dir eine Stelle unklar ist oder falsch erscheint, frag bitte nach, dann gehe ich genauer darauf ein!)
So, Stefan hat dann aufgrund eures Kriteriums gesagt, dass insbesondere $0*v [mm] \in [/mm] U$ gilt. Es gilt aber auch, wie eben gesehen:
[mm] $0*v=0_V$.
[/mm]
Ebenso ist (auch ohne die obige Rechnung) klar (da $V$ Vektorraum ist):
$0*v [mm] \in [/mm] V$, und damit gilt:
[mm] $0_V=0*v \in [/mm] (U [mm] \cap [/mm] V)$ und deswegen (Eindeutigkeit des Nullvektors):
[mm] $0*v=0_V=0_U \in [/mm] (U [mm] \cap [/mm] V)$.
Hm, ich hoffe, das es jetzt klarer wird, denn so ganz habe ich dein Problem auch noch nicht erkannt! ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Achja: Um welches Kriterium geht es denn nun (Marc hat ja schon einmal nachgefragt)? Was darf man denn benutzen? Nicht, dass ich hier etwas benutzt habe, was ich nicht durfte...
Liebe Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:46 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Lieber Hanno,
jetzt ist mir auch gerade etwas aufgefallen:
> Hallo Stefan.
> Tut mir leid, ich kann nicht locker lassen, jetzt denke
> ich kann ich meine Frage auch ordenltich formulieren.
>
> > Nun ist [mm]0 \cdot v[/mm] ein Element des Vektorraums, und dieses
> hat ein additiv Inverses, [mm]-(0 \cdot v) [/mm].
> > Addieren wir das auf beiden Seiten der Gleichung, so
> erhalten wir:
>
> Eben DAS verstehe ich nicht! Wieso ist das Additive Inverse
> von [mm]x\in U[/mm] das Element [mm]-x\in U[/mm]?
An dieser Stelle sagt Stefan eigentlich:
Nun ist $0*v [mm] \in [/mm] V$, und dieses hat ein additiv Inverses (weil $V$ VR ist), wir bezeichnen es mal mit $-(0*v) [mm] \in [/mm] V$...
Er schreibt doch, dass er seine Rechnung im Vektorraum $V$ durchführt, denn im Vektorraum $V$ kann man $0*v$ ausrechnen.
Als Ergebnis kommt dann $0$ raus.
Aufgrund eures Kriteriums gilt auch $0*v [mm] \in [/mm] U$, also $0=0*v [mm] \in [/mm] (U [mm] \cap [/mm] V)$.
So, dass wäre die Kurzfassung, die meine obige Rechnung nun eigentlich überflüssig erscheinen läßt (aber vielleicht hilft sie dir dennoch...).
(Beachte auch: $V$ war ein VR, und es war $v [mm] \in [/mm] U$ mit $U [mm] \subset [/mm] V$! Bei den Kriterien mußt du auch daran denken, dass $U [mm] \subset [/mm] V$ gilt, sowie, dass $V$ als VR vorausgesetzt wird!)
Liebe Grüße
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:27 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Marcel, Stefan & Marc
Danke, ich habe es jetzt verstanden. Ich habe einfach nicht ordentlich mitbekommen, dass erst auf $V$ und dann auf $U$ gerechnet wird. Ich habe anscheinend nicht ordentlich gelesen - entschuldigung :-/. Ich weiß auch nicht, warum ich manchmal so unaufmerksam bin. Jetzt verstehe ich es und freue mich.
Vielen Dank für eure Geduld
Liebe Grüße,
Hanno
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![[zustimm]](/images/smileys/zustimm.gif "[zustimm]"){kind=small}
