Frage zur Lösung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mi 11.07.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in\IR^{n×n} [/mm] mit [mm] A^{2} [/mm] = A. Zeigen:
A hat nur Eigenwert 0 und 1.
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Hi,
die Lösung liegt mir vor, aber die den ersten beiden Schritte verstehe ich nicht so recht:
Sei [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von A
[mm] \Rightarrow Av=\lambda*v [/mm] für ein [mm] v\in\IR^n [/mm] \ [mm] \{0\}
[/mm]
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]") Warum [mm] Av=\lambda*v [/mm] ? Wieso kann ich das sagen?
[mm] \Rightarrow \lambda*v=Av=A^2v=A(\lambda*v)=\lambda*Av=\lambda^2*v
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\lambda^2-\lambda*v)=0 [/mm]
[stopp] wieso kann ich jetzt sagen: [mm] (\lambda^2-\lambda*v)=0 [/mm]
......
Wäre klasse, wenn mir das jemand erklären könnte.
MfG
barsch
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> Sei [mm]A\in\IR^{n×n}[/mm] mit [mm]A^{2}[/mm] = A. Zeigen:
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> A hat nur Eigenwert 0 und 1.
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> Hi,
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> die Lösung liegt mir vor, aber die den ersten beiden
> Schritte verstehe ich nicht so recht:
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> Sei [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von A
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> [mm]\Rightarrow Av=\lambda*v[/mm] für ein [mm]v\in\IR^n[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm]
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> Warum [mm]Av=\lambda*v[/mm] ? Wieso kann ich das sagen?
Dies ist doch nichts anderes als die Definition von Eigenwert. Wenn [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert von $A$ ist, dann bedeutet dies definitionsgemäss, dass es ein [mm] $v\neq [/mm] 0$ gibt, mit $Av = [mm] \lambda [/mm] v$.
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> [mm]\Rightarrow \red{\lambda*v}=Av=A^2v=A(\lambda*v)=\lambda*Av \red{=\lambda^2*v}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow (\lambda^2-\lambda*v)=0[/mm]
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> wieso kann ich jetzt sagen: [mm](\lambda^2-\lambda*v)=0[/mm]
Vor dieser Gleichung hattest Du, wenn man den Detailmüll, der dazwischen liegt, weglässt, die folgende Gleichung:
[mm]\red{\lambda v=\lambda^2 v}[/mm]
Dass diese trivialerweise äquivalent mit
[mm]\lambda^2v-\lambda v=0[/mm]
und des weiteren, durch "Ausklammern" des Skalars [mm] $\lambda$ [/mm] gleich
[mm]\lambda(\lambda-1) v=0[/mm]
ist, wird Dir sicher, wenn Du vom schnellen Denken etwas herunterbremst, auch einleuchten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Mi 11.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> ist, wird Dir sicher, wenn Du vom
> schnellen Denken etwas herunterbremst, auch einleuchten.
danke.  In der Tat habe ich vielleicht etwas zu schnell auf die Lösung kommen wollen, obwohl ich schon eine halbe Stunde davor saß und mir ständig überlegt hatte, warum das so ist, bevor ich es hier gepostet habe.
Aber das da "nur" eine Definition hintersteht; da wäre ich wohl nicht mehr drauf gekommen.
Danke.
MfG
barsch
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