Frage zur NB bei Lagrange < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 So 03.07.2005 | | Autor: | delpho |
Hallo, follgende Aufgabenstellung ist gegeben.
Berechnen Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode das Maximum der Funktion
[mm] z(x,y)=y^2-x [/mm] unter der NB [mm] x^2+y^2=0,25
[/mm]
Laut Lösung ist somit die Lagrangefunktion (ich hab lambda mal mit z bezeichnet, da ich es nicht auf meiner tastatur find:))
[mm] L(x,y,z)=y^2-x+z(x^2+y^2-0,25)
[/mm]
die Nebenbedingung wurde also 0 gesetzt [mm] x^2+y^2-0,25=0
[/mm]
in meinem Buch habe ich aber gelesen das auch [mm] 0,25-x^2+y^2=0 [/mm] möglich, damit komme ich aber nicht auf das gleiche Ergebnis, und ich zerbrech mir nun den kopf warum nicht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 So 03.07.2005 | | Autor: | Quintana |
Also wenn ich die Nebenbedingung umstelle erhalte ich:
0= [mm] -x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] + 0,25 bzw.
0= [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 0,25
Funktioniert natürlich mit beiden Darstellungen gleichermaßen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 03.07.2005 | | Autor: | delpho |
sorry hatte mich bei dem + nur vertippt kam auch auf deine alternative NB, allerdings trotzdem nicht zu den selben ergebnis. Zur Info es muss y=0. lambda=-1 x1=0,5 und x2=-0,5 raukommen
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Hallo delpho!
Mathematische Symbole findest du unter diesem Link: ![[]](/images/popup.gif) https://matheraum.de/mm.
Zu deiner Aufgabe:
Berechnen Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode das Maximum der Funktion
[mm] z(x,y)=y^2-x [/mm] unter der NB [mm] x^2+y^2=0,25.
[/mm]
Nun hast du [mm] L(x,y,\lambda)=y^2-x+\lambda(x^2+y^2-0,25)
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Berechnen wir [mm] grad_{(x,y,\lambda)}L(x,y,\lambda)=(-1+2x\lambda, 2y+2y\lambda, x^2+y^2-0,25)
[/mm]
Jetzt lösen wir [mm] grad_{(x,y,\lambda)}L(x,y,\lambda)=0, [/mm] also das Gleichungssystem, wobei es darum geht, x und y zu bestimmen.
[mm] -1+2x\lambda=0 \Righarrow \lambda=\bruch{1}{2x} [/mm] (I)
[mm] 2y+2y\lambda=0 \Righarrow 2y(1+\lambda)=0 [/mm] (II)
[mm] x^2+y^2-0,25=0 [/mm] (III)
Aus (II) folgen 2 Fälle:
Fall 1: 2y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=0 und [mm] \lambda [/mm] beliebig. Aus (III) folgt dann, dass [mm] |x|=\bruch{1}{2}. [/mm] Also hat man 2 mögliche Extrema: [mm] E_1=(\bruch{1}{2},0), E_2=(-\bruch{1}{2},0). [/mm] Berechnen wir die Funktionswerte an diesen Stellen, so erhalten wir: [mm] z(E_1)=-\bruch{1}{2}, z(E_2)=\bruch{1}{2}, [/mm] also ist [mm] z(E_2)>z(E_1). [/mm] Von beiden Stellen kommt nur [mm] E_2 [/mm] als mögliche Maximalstelle vor.
Fall 2: [mm] 1+\lambda=0 \Rightarrow \lambda=-1, [/mm] in (I) eingesetzt, ergibt, dass [mm] x=-\bruch{1}{2}. [/mm] Dann folgt aus (III), dass y=0, was die Stelle [mm] E_1 [/mm] von Fall1 liefert.
Also nimmt z ihr Maximum bei [mm] (-\bruch{1}{2},0) [/mm] und Minimum bei [mm] (\bruch{1}{2},0) [/mm] an.
gruss,
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 So 03.07.2005 | | Autor: | delpho |
danke logarithmus, aber das war nicht meine frage, ich wollte wissen warum man die NB [mm] x^2+y^2=0,25 [/mm] nach [mm] 0=x^2+y^2-0,25 [/mm] umstellen muss. warum nicht auch nach [mm] 0=0,25-x^2-y^2
[/mm]
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Hallo delpho,
man kann beides machen. NB: [mm] x^2+y^2=0,25 [/mm] , dann setze [mm] g(x,y)=x^2+y^2-0,25 [/mm] . Für die Lösung muss gelten: g(x,y)=0, mit (-1) multiplizieren ergibt: -g(x,y)=0. Also ist es egal wie du die NB umstellst, weil g(x,y)=0=-g(x,y). Es ändert sich nichts an der Lösung nach x und y.
gruss,
logarithmus
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