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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Gismo |
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Hallo zusammen,
bin das erste mal hier und hoffe, dass ihr mir vielleicht weiterhelfen könnt. Grundsätzlich habe ich das mit der Polynomrekonstruktion schon ganz gut drauf, aber die Wendetangente und der Sattelpunkt machen wir noch einwenig Probleme (siehe Beispiele):
1.) Der Graph der Funktion [mm] y=x^3+px+q [/mm] hat die Wendetangente 3x+2y-4=0. Ermittle die Funktionsgleichung von f!
y=-3/2x+2 ist mir soweit klar und das -3/2 die Steigung ist, aber was kann ich noch herauslesen?
2.) Der Graph der Funktion [mm] y=-1/3x^3+ax^2-4/3 [/mm] hat den Wendepunkt mit der Abszisse1. Ermittle die Funktionsgleichung von f!
3.) Der Graph der Funktion [mm] y=x^3+bx^2+cx+d [/mm] hat den Sattelpunkt S(1|4). Ermittle die Funktionsgleichung.
Ihr würdet mir schon sehr helfen, wenn Ihr mir ein paar kleine Tipps geben könntet, welche Infos im Sattelpunkt, der Wendetangente und der Abzisse enthalten sind.
Ich bin mir einfach nicht sicher, welche Infos ich da genau rauslesen kann.
Danke
Grüßchen
Gismo
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hallo,
ich möchte dir erst mal stichpunktartig das wichtigste geben, da ich deinen wissensstand nicht kenne. wenn du etwas genauer brauchst melde dich bitte noch mal.
also die abszisse ist die x- koordinate, meines wissens nach.
das t in der tangentengleichung y=mx+t ist der punkt, an dem die gerade die y-achse schneidet.
ich bezeichne die nullstelle, die normal mit einem tiefgestellten 0 geschrieben wird, mit xn, da ich nichts tiefer stellen kann.
wendestelle:
wenn xn wendestelle von f ist, dann ist xn extremstelle von f'
wenn f zweimal differenzierbar ist und xn wendestelle von f ist, dann gilt f''(xn)=0
wenn f dreimal differenzierbar ist und f''(xn)=0 und f'''(xn)nicht=0, dann hat f in xn eine wendestelle
ein wendepunkt mit den koordinaten (xn/f(xn))heißt sattelpunkt genau dann, wenn f'(xn)=0
eine wendestelle ist ganz allg. mal der punkt an dem sich das krümmungsverhalten des graphen ändert.
wenn f zweimal differenzierbar ist und in einem bestimmten intervall (also z.b. rechts oder links von der wendestelle) f''(x)kleiner0 gilt, dann ist der graph in dem bereich rechtsgekrümmt. gilt f''(x)größer0, ist der graph linksgekrümmt.
("größer" ist das größerzeichen und "kleiner" das kleinerzeichen, krieg ich nicht anders hin, sorry!)
ich hoffe, das hilft dir schon mal, dich selber nochmal zu versuchen, wenn nicht melde dich bitte.
gruss
judith
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Hallo Gismo.
> 1.) Der Graph der Funktion [mm]y=x^3+px+q[/mm] hat die Wendetangente
> 3x+2y-4=0. Ermittle die Funktionsgleichung von f!
>
> y=-3/2x+2 ist mir soweit klar und das -3/2 die Steigung
> ist, aber was kann ich noch herauslesen?
[mm]f'(x)=3x^2+p[/mm]
[mm]f''(x)=6x[/mm]
Setzt man die zweite Ableitung gleich 0, so erhält man die x-Koordinate des Wendepunkts.
[mm]6x=0 \Rightarrow x=0[/mm]
An der Stelle 0 muss also die Steigung gleich [mm]-\frac{2}{3}[/mm] sein.
[mm]f'(0)=-\frac{3}{2} \Rightarrow p=-\frac{3}{2}[/mm]
Die gegebene Tangente berührt den Graphen ja an der Stelle 0. Setzt man in der Tangentengleichung x=0, so erhält man den Y-Achsenabschnitt [mm]q=2[/mm]
> 2.) Der Graph der Funktion [mm]y=-1/3x^3+ax^2-4/3[/mm] hat den
> Wendepunkt mit der Abszisse1. Ermittle die
> Funktionsgleichung von f!
[mm]f'(x)=-x^2+2ax[/mm]
[mm]f''(x)=-2x+2a[/mm]
Wendepunkt mit Abszisse 1, also
[mm]f''(1)=0[/mm]
[mm]-2+2a=0 \Rightarrow a=1[/mm]
> 3.) Der Graph der Funktion [mm]y=x^3+bx^2+cx+d[/mm] hat den
> Sattelpunkt S(1|4). Ermittle die Funktionsgleichung.
[mm]f'(x)=3x^2+2bx+c[/mm]
[mm]f''(x)=6x+2b[/mm]
Sattelpunkt S(1|4), also [mm]f''(1)=0, f'(1)=0, f(1)=4[/mm]
[mm]6+2b=0 \Rightarrow b=-\frac{1}{3}[/mm]
[mm]3-\frac{2}{3}+c=0 \Rightarrow c=-\frac{7}{3}[/mm]
[mm]1-\frac{1}{3}-\frac{7}{3}+d=4 \Rightarrow d=\frac{17}{3}[/mm]
Ich hoffe ich habe keine Fehler drin und konnte dir weiterhelfen.
MfG
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Sa 04.09.2004 | | Autor: | Gismo |
Vielen Dank ihr Zwei,
ihr habt mir wirklich helfen können!!
Danke
Gismo
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