Fragen zur Aufgabe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Crashday |
Hallo Leute,
ich soll folgende Aufgabe berechnen:
a)
(i-1)*z-3i*z=4-6i
Ich habe es mal versucht auszurechnen.
i*z-z-3iz = 4-6i
z(i-1-3i) = 4-6i (darf man hier einfach durch (i-1-3i) teilen?)
z = [mm] \bruch{4-6i}{i-1-3i}
[/mm]
z = [mm] \bruch{4-6i}{-1-2i}
[/mm]
z = [mm] \bruch{4-6i}{-1-2i} [/mm] * [mm] \bruch{-1+2i}{-1+2i}
[/mm]
z = [mm] \bruch{-4+8i+6i-12i^2}{(-1)^2+(2)^2}
[/mm]
z = [mm] \bruch{-4+8i+6i+12}{(-1)^2+(2)^2}
[/mm]
z = [mm] \bruch{8+14i}{5}
[/mm]
z = [mm] \bruch{8}{5}+\bruch{14}{5}i
[/mm]
Und dann habe ich noch eine kleine Frage zur 2. Aufgabe:
[mm] \bruch{z+i}{2z+5-i}=1+i
[/mm]
Darf ich hier einfach *(2z+5-i) rechnen?
Grüße,
Crashday
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Crashday |
Gut, die Aufgaben habe ich hinbekommen. Jetzt habe ich hier noch eine, nur leider weiß ich hier nicht, wie ich dran gehen soll.
Ich soll die Menge komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene darstellen:
A = [mm] {z\in\IC |z-1|\le1 }
[/mm]
Ich weiß schon mal, dass es gelten muss z = a + ib, also kann ich doch schon mal für z = a + ib einsetzen
[mm] {a+ib\in\IC |a+ib-1|\le1 }
[/mm]
Ich weiß dann noch, dass der Betrag so definiert ist: |z| = [mm] \wurzel{(a^2+b^2)}
[/mm]
Hier weiß ich aber leider nicht mehr weiter, wie ich es weiter rechnen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Crashday,
mit dieser Ungleichung kommst Du weiter, wenn Du bedenkst, dass
[mm] x^2 + y^2 < 1 [/mm] das Innere eine Kreises mit dem Radius 1 beschreibt.
Diese Form ändert sich in der komplexen Zahlenebene nicht.
Viele Grüße,
Infinit
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Hi!
Dein Lösungsweg geht auch. Beachte aber unbedingt was Infinit schrieb.
Gelesen wird der Betrag so.
Der Abstand einer komplexen Zahl zur Zahl 1 ist kleiner als 1.
Welche Zahlen sind das denn?
> Gut, die Aufgaben habe ich hinbekommen. Jetzt habe ich hier
> noch eine, nur leider weiß ich hier nicht, wie ich dran
> gehen soll.
>
> Ich soll die Menge komplexer Zahlen in der Gaußschen
> Zahlenebene darstellen:
>
> A = [mm]{z\in\IC |z-1|\le1 }[/mm]
>
> Ich weiß schon mal, dass es gelten muss z = a + ib, also
> kann ich doch schon mal für z = a + ib einsetzen
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]{a+ib\in\IC |a+ib-1|\le1 }[/mm]
>
> Ich weiß dann noch, dass der Betrag so definiert ist: |z|
> = [mm]\wurzel{(a^2+b^2)}[/mm]
> Hier weiß ich aber leider nicht mehr weiter, wie ich es
> weiter rechnen soll.
Du musst nach Realteil und Imaginärteil aufteilen:
[mm]|a+ib-1|\le1 }[/mm]
[mm]\Rightarrow |(a-1)+ib|\le 1[/mm]
Jetzt wende den Betrag an.
[mm] $\sqrt{(a-1)^2+b^2}\le [/mm] 1$
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Crashday |
So, also bis dahin habe ich es danach auch geschafft, danach muss ich es quartieren, um die Wurzel wegzubekommen.
[mm] (a-1)^2+b^2 \le [/mm] 1
Hier komme ich leider wieder nicht weiter. Für mich sieht es fast nach der Kreisgleichung aus:
[mm] (x-M_{x})^2+(y-M_{y})^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
Leider weiß ich aber nicht, was mein [mm] M_{y} [/mm] ist
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Hallo,
> So, also bis dahin habe ich es danach auch geschafft,
> danach muss ich es quartieren, um die Wurzel
> wegzubekommen.
>
> [mm](a-1)^2+b^2 \le[/mm] 1
>
> Hier komme ich leider wieder nicht weiter. Für mich sieht
> es fast nach der Kreisgleichung aus:
>
> [mm](x-M_{x})^2+(y-M_{y})^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> Leider weiß ich aber nicht, was mein [mm]M_{y}[/mm] ist
Das ist sehr gut beobachtet. Bedenke mal, dass a ein Realtei und b ein Imaginärteil ist. Was haben diese mit kartesischen Koordianten gemeinsam?
Beachte weiter auch, dass du eine Ungleichung hast. Die Kreisgleichung im [mm] \IR^2 [/mm] beschreibt ja nur die Kreisperipherie. Hier aber ist auch das Kreisinnere gemeint, ist dir klar, weshalb?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 04.10.2012 | | Autor: | Crashday |
Okay, das habe ich auch hinbekommen. Jetzt hätte ich noch eine Frage zu der Aufgabe, ob ich das alles richtig gemacht habe. Bei dieser Aufgabe soll ich die Zahlen in die trigonometrische Form bringen:
z = 3 + i * 3
Trigonometrische Form: r * (cos [mm] \alpha [/mm] + i * sin [mm] \alpha [/mm] ) (anstatt [mm] \alpha [/mm] sollte phi stehen)
r = [mm] \wurzel{3^2+3^2}
[/mm]
r = [mm] \wurzel{18}
[/mm]
[mm] tan\alpha [/mm] = [mm] \bruch{b}{a}
[/mm]
tan [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{3}{3} [/mm]
[mm] \alpha [/mm] = arctan 1
[mm] \alpha [/mm] = 45°
z = [mm] \wurzel{18} [/mm] * (cos 45° + i * sin 45 °)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Do 04.10.2012 | | Autor: | Crashday |
Okay vielen Dank für den Tipp. Dann habe ich jetzt noch eine kleine Frage zu der heransgehenensweise dieser Aufgabe:
Ich soll mit Hilfe der Regel von de Moivre diese komplexen Zahlen berechnen:
z = (-1+i * [mm] \wurzel{3})^{10} [/mm]
Ist hier meine heransgehensweise so, dass ich den inneren Teil, sozusagen -1+i * [mm] \wurzel{3} [/mm] in die trigonometrische Form bringe und dann die Regel von de Moivre anwenden soll?
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Hallo,
> Okay vielen Dank für den Tipp. Dann habe ich jetzt noch
> eine kleine Frage zu der heransgehenensweise dieser
> Aufgabe:
>
> Ich soll mit Hilfe der Regel von de Moivre diese komplexen
> Zahlen berechnen:
>
> z = (-1+i * [mm]\wurzel{3})^{10}[/mm]
>
> Ist hier meine heransgehensweise so, dass ich den inneren
> Teil, sozusagen -1+i * [mm]\wurzel{3}[/mm] in die trigonometrische
> Form bringe und dann die Regel von de Moivre anwenden soll?
Das kann man auf jeden Fall machen. In diesem Fall geht es aber auch ohne trigonometrische Form. Beim Potnzieren einer komplexen Zahl passiert ja (und darauf beruht die Moivre-Formel) folgendes: der betrag der Zahl wird ebenfalls potenziert. Das Argument jedoch wird mit dem Exponenten <i>multipliziert. Da du hier ein sehr einfaches Argument hast, kann man die Rechnung im obigen Sinne auch in der kartesischen Schreibweise durchführen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Do 04.10.2012 | | Autor: | Crashday |
Supi, vielen Dank für eure Hilfe :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Crashday |
Hallo nochmal,
das Thema an sich habe ich jetzt gut in Griff. Leider habe ich aber noch Schwierigkeiten mit dem arctan. Ich habe mal nochmal ein Beispiel:
z = -1 + i * [mm] \wurzel{3}
[/mm]
r = 2 (das ist ja keine Schwierigkeit es so auszurechnen)
tan [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{|3|}}{|-1|}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = arctan [mm] \bruch{\wurzel{|3|}}{|-1|}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = arctan [mm] |\wurzel{3}|
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}\pi [/mm] = 60 ° (Mit meinem Taschenrechner ist das absolut kein Problem das auszurechnen, nur leider habe ich erfahren, dass wir den nicht in der Klausur verwenden dürfen... . Wie der Graph aussieht ist mir auch klar, aber abschätzen ist da auch so eine Sache, was nicht so wirklich bringt. Gibt es irgendwie eine Möglichkeit das auf eine einfache Weise auszurechnen? Grad muss nicht sein, aber wenigstens, dass ich weiß, dass es [mm] \bruch{1}{3}\pi [/mm] sein muss)
Hier müsste ich dann doch so weiter rechnen:
180 ° [mm] (\pi) [/mm] - 60° [mm] (\bruch{1}{3}\pi) [/mm] = 120 ° [mm] (\bruch{2}{3}\pi)
[/mm]
z = 2 * (cos (120°) oder [mm] \bruch{2}{3}\pi [/mm] + i * sin 120 ° oder [mm] \bruch{1}{3}\pi)
[/mm]
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Hallo Crashday,
> Hallo nochmal,
>
> das Thema an sich habe ich jetzt gut in Griff. Leider habe
> ich aber noch Schwierigkeiten mit dem arctan. Ich habe mal
> nochmal ein Beispiel:
>
> z = -1 + i * [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
> r = 2 (das ist ja keine Schwierigkeit es so auszurechnen)
>
> tan [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{|3|}}{|-1|}[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] = arctan [mm]\bruch{\wurzel{|3|}}{|-1|}[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] = arctan [mm]|\wurzel{3}|[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}\pi[/mm] = 60 ° (Mit meinem Taschenrechner
> ist das absolut kein Problem das auszurechnen, nur leider
> habe ich erfahren, dass wir den nicht in der Klausur
> verwenden dürfen... . Wie der Graph aussieht ist mir auch
> klar, aber abschätzen ist da auch so eine Sache, was nicht
> so wirklich bringt. Gibt es irgendwie eine Möglichkeit das
> auf eine einfache Weise auszurechnen? Grad muss nicht sein,
> aber wenigstens, dass ich weiß, dass es [mm]\bruch{1}{3}\pi[/mm]
> sein muss)
>
Ein paar Werte des Tangens und somit auch des Sinus und Kosinus
solltest Du schon kennen.
> Hier müsste ich dann doch so weiter rechnen:
>
> 180 ° [mm](\pi)[/mm] - 60° [mm](\bruch{1}{3}\pi)[/mm] = 120 °
> [mm](\bruch{2}{3}\pi)[/mm]
>
> z = 2 * (cos (120°) oder [mm]\bruch{2}{3}\pi[/mm] + i * sin 120 °
> oder [mm]\bruch{1}{3}\pi)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Crashday |
Hm okay, dann muss ich noch einiges tun :D Die Polarkoordinante wären doch dann [mm] (2/\bruch{2}{3}\pi) [/mm] oder?
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Hallo Crashday,
> Hm okay, dann muss ich noch einiges tun :D Die
> Polarkoordinante wären doch dann [mm](2/\bruch{2}{3}\pi)[/mm] oder?
Ja.
Gruss
MathePower
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