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Forum "Funktionalanalysis" - Frechet-Ableitung und Produktr
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Frechet-Ableitung und Produktr: Fehler
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Mi 28.03.2018
Autor: Yomu

Hallo Forum,
Ich habe ein Resultat gezeigt welches mir ein bisschen komisch vorkommt:

Sei $X$ ein Banachraum, [mm] $||\cdot [/mm] ||$ bezeichne die dazugehörige Norm bzw. die Operatornorm in $L(X,X)$, weiter seien $P: [mm] \mathbb{R} \to [/mm] L(X,X)$ und $f: [mm] \mathbb{R} \to [/mm] X$ Frechet-differenzierbar, dann gilt:
[mm] $\frac{\partial}{\partial t}P(t)f(t)=P'(t)f(t)+P(t)f'(t)+P'(t)f'(t)$ [/mm]
Denn es gilt: [mm] \\ [/mm]
[mm] $&\lim_{h \to 0}\frac{|| (P(t+h)-P(t))f(t+h) -P'(t)f(t)-P'(t)f'(t) ||}{|h|} [/mm]
[mm] \\&=\lim_{h \to 0}\frac{|| (P(t+h)-P(t))f(t+h)-P'(t)f(t+h)+P'(t)f(t+h) -P'(t)f(t)-P'(t)f'(t) ||}{|h|} [/mm]
[mm] \\& \leq \underbrace{ \lim_{h \to 0} \frac{||P(t+h)-P(t)-P'(t)||}{|h|}}_{=0}||f(t+h)||+||P'(t)|| \underbrace{\lim_{h \to 0}\frac{|| f(t+h) -f(t) -f'(t) ||}{|h|}}_{=0}=0$ [/mm]
Ausserdem gilt:

[mm] $&\lim_{h \to 0}\frac{|| P(s,t)(f(t+h)-f(t)) -P(s,t)f'(t) ||}{|h|} [/mm]
[mm] \\ &\leq||P(s,t)||\lim_{h \to 0}\frac{||f(t+h)-f(t)-f'(t)||}{|h|}=0$ [/mm]

Zusammen mit $P(t+h)f(t+h)-P(t)f(t)=(P(t+h)-P(t))f(t+h)+P(t)(f(t+h)-f(t))$ folgt nun:

[mm] $&\lim_{h \to 0}\frac{||P(t+h)f(t+h)-P(t)f(t)-P'(t)f(t)+P(t)f'(t)+P'(t)f'(t)||}{|h|} [/mm]
[mm] \\&\leq \lim_{h \to 0}\frac{|| P(t+h)-P(t))f(t+h) -P'(t)f(t)-P'(t)f'(t) ||}{|h|} [/mm]
[mm] \\&+ \lim_{h \to 0}\frac{|| P(s,t)(f(t+h)-f(t)) -P(s,t)f'(t) ||}{|h|}=0$ [/mm]

Wenn ich jetzt aber [mm] $X=\mathbb{R}$ [/mm] setze sollte das doch dann der Produktregel entsprechen, was es aber nicht tut. Dass heisst dann wohl ich habe irgendwo einen Fehler gemacht, nur kann ich ihn nicht finden.
Ich waere dankbar wenn mir jemand zeigen koennte was falsch ist,
Mit freundlichen Gruessen,
Yomu

        
Bezug
Frechet-Ableitung und Produktr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:32 Mi 28.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

deine Notation ist (mir) leider nicht so ganz klar, du sagst:

> Sei [mm]X[/mm] ein Banachraum, [mm]||\cdot ||[/mm] bezeichne die
> dazugehörige Norm bzw. die Operatornorm in [mm]L(X,X)[/mm], weiter
> seien [mm]P: \mathbb{R} \to L(X,X)[/mm] und [mm]f: \mathbb{R} \to X[/mm] Frechet-differenzierbar

Soweit, so klar…
Dann kommst du mit dem Ausdruck:

>  [mm]\frac{\partial}{\partial t}P(t)f(t)[/mm]

P(t) ist nun ein Element aus L(X,X) und f(t) ein Element aus X
D.h. die Notation P(t)f(t) macht eigentlich nur Sinn, wenn es als [mm] $\left(P(t)\right)(f(t))$ [/mm] gemeint ist.

Ich würde dann aber eher [mm] $P_t$ [/mm] als P(t) schreiben, weil [mm] P_t [/mm] bzw P(t) ja selbst als Funktion von [mm] $X\to [/mm] X$ ein Argument erwartet. In der Schreibweise wäre dann $P(t)f(t) = [mm] P_t\left(f(t)\right)$. [/mm] Stimmt das?

Was soll dann P' sein?

Um für [mm] $X=\IR$ [/mm] ein Beispiel zu überlegen:
Sei $P [mm] \in L(\IR,\IR)$ [/mm] gegeben durch [mm] $P_t(x) [/mm] = tx$ und $f(t) = [mm] \sin(t)$ [/mm]

Weiterhin ist dann [mm] $P_t(f(t)) [/mm] = [mm] t\sin(t)$, [/mm] was ist jedoch P'?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Frechet-Ableitung und Produktr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Mi 28.03.2018
Autor: Yomu

Hallo Gono,
Danke für deine Mitteilung!

Ja meine Notation ist wohl nicht ganz so toll, es ist wirklich die Komposition gemeint, also nach deiner Notation: [mm] $P(t)f(s)=P_t(f(s))$ [/mm] .
Und mit $P'$ ist die Frechet Ableitung [mm] $P'(t)=\frac{\partial}{\partial t}P_t=L \in [/mm] L(X,X)$ mit [mm] $\lim_{h \to 0}\frac{||P(t+h)-P(t)-L||}{|h|}$ [/mm] gemeint, das war wirklich nicht eindeutig.
In dem Beispiel waere dann mit der Produktregel
[mm] $\frac{\partial}{\partial t}P(t)f(t)=\frac{\partial}{\partial t}P_t(f(t))=\frac{\partial}{\partial t} t\sin(t)=\sin(t)+t\cos(t)$ [/mm] aber mit dem was ich "gezeigt" hab sollte gelten:
[mm] $\frac{\partial}{\partial t}P(t)f(t)=(\frac{\partial}{\partial t}P_t)(f(t))+(P_t)(\frac{\partial}{\partial t}f(t)) [/mm] + [mm] (\frac{\partial}{\partial t}P_t)(\frac{\partial}{\partial t}f(t))=\sin(t)+t \cos(t)+\cos(t)$ [/mm]

Mit freundlichen Gruessen,
Yomu

Bezug
                        
Bezug
Frechet-Ableitung und Produktr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:48 Do 29.03.2018
Autor: fred97


> Hallo Gono,
> Danke für deine Mitteilung!
>  
> Ja meine Notation ist wohl nicht ganz so toll, es ist
> wirklich die Komposition gemeint, also nach deiner
> Notation: [mm]P(t)f(s)=P_t(f(s))[/mm] .
>  Und mit [mm]P'[/mm] ist die Frechet Ableitung
> [mm]P'(t)=\frac{\partial}{\partial t}P_t=L \in L(X,X)[/mm] mit
> [mm]\lim_{h \to 0}\frac{||P(t+h)-P(t)-L||}{|h|}[/mm] gemeint,

Es ist ja lobenswert, dass man Regeln, Formeln, Zusammenhänge selbst finden will, aber wenn man das versucht, so sollte man wenigstens die Definitionen, die man braucht beherrschen ! Wie ich in meiner obigen Antwort geschrieben habe, scheint Dir der Begriff der  Frechet Ableitung nicht klar zu sein.

Oben schreibst Du


"...... mit $ [mm] \lim_{h \to 0}\frac{||P(t+h)-P(t)-L||}{|h|} [/mm] $ gemeint........"

Ja und was muss mit dem Limes sein ? Muss der grün sein oder 1 kg schwer ? Wahrscheinlich meinst Du $ [mm] \lim_{h \to 0}\frac{||P(t+h)-P(t)-L||}{|h|} [/mm] =0$ , aber stimmt das ? Nein, es stimmt nicht.


Stellen wirs richtig: P heißt in t Frechet-differenzierbar, wenn es ein L [mm] \in [/mm] L(X,X) gibt mit

$ [mm] \lim_{h \to 0}\frac{||P(t+h)-P(t)-Lh||}{|h|} [/mm] =0$.

Allle , die dies lesen, mögen mir die Doppelbelegung von L in $ L [mm] \in [/mm] L(X,X)$ verzeihen. Diese Bez. habe ich von Yomu übernommen.

> das
> war wirklich nicht eindeutig.
>  In dem Beispiel waere dann mit der Produktregel
> [mm]\frac{\partial}{\partial t}P(t)f(t)=\frac{\partial}{\partial t}P_t(f(t))=\frac{\partial}{\partial t} t\sin(t)=\sin(t)+t\cos(t)[/mm]
> aber mit dem was ich "gezeigt" hab sollte gelten:
>  [mm]\frac{\partial}{\partial t}P(t)f(t)=(\frac{\partial}{\partial t}P_t)(f(t))+(P_t)(\frac{\partial}{\partial t}f(t)) + (\frac{\partial}{\partial t}P_t)(\frac{\partial}{\partial t}f(t))=\sin(t)+t \cos(t)+\cos(t)[/mm]
>  
> Mit freundlichen Gruessen,
>  Yomu


Bezug
        
Bezug
Frechet-Ableitung und Produktr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:38 Do 29.03.2018
Autor: fred97


> Hallo Forum,
>  Ich habe ein Resultat gezeigt welches mir ein bisschen
> komisch vorkommt:
>  
> Sei [mm]X[/mm] ein Banachraum, [mm]||\cdot ||[/mm] bezeichne die
> dazugehörige Norm bzw. die Operatornorm in [mm]L(X,X)[/mm], weiter
> seien [mm]P: \mathbb{R} \to L(X,X)[/mm] und [mm]f: \mathbb{R} \to X[/mm]
> Frechet-differenzierbar, dann gilt:
>  [mm]\frac{\partial}{\partial t}P(t)f(t)=P'(t)f(t)+P(t)f'(t)+P'(t)f'(t)[/mm]


1. Manchmal weiss man Sachen , die gar nicht stimmen. Ist z.B. X= [mm] \IR, [/mm] so kann man L(X,X) mit [mm] \IR [/mm] identifizieren und dann ist obiges einfach falsch. Die übliche Produktregel lautet anders.

2. zur Interpretation (Gono hat ja danach gefragt): P(t) ist ein beschränkter linearer Operator auf X, es ist f(t) [mm] \in [/mm] X, also macht P(t)f(t) nur Sinn im folgenden Sinne:

P(t)(f(t)), also Funktionswert von P(t) im Punkt f(t).



>  
> Denn es gilt: [mm]\\[/mm]
>  [mm]$&\lim_{h \to 0}\frac{|| (P(t+h)-P(t))f(t+h) -P'(t)f(t)-P'(t)f'(t) ||}{|h|}[/mm]
>  


Hier gehts schon los ! im obigen Quotienten fehlt der Term $- P(t)f(t)$.

Dann machst Du einen entscheidenden Fehler bei der Umsetzung des Begriffs "Frechet- differenzierbar". Dazu weiter unten mehr.


> [mm]\\&=\lim_{h \to 0}\frac{|| (P(t+h)-P(t))f(t+h)-P'(t)f(t+h)+P'(t)f(t+h) -P'(t)f(t)-P'(t)f'(t) ||}{|h|}[/mm]
>  
> [mm]\\& \leq \underbrace{ \lim_{h \to 0} \frac{||P(t+h)-P(t)-P'(t)||}{|h|}}_{=0}||f(t+h)||+||P'(t)|| \underbrace{\lim_{h \to 0}\frac{|| f(t+h) -f(t) -f'(t) ||}{|h|}}_{=0}=0$[/mm]



Hier machst Du den oben erwähnten Fehler zweimal :

Wir haben nicht  [mm] \frac{||P(t+h)-P(t)-P'(t)||}{|h|} \to [/mm] 0  für h [mm] \to [/mm] 0

sondern  [mm] \frac{||P(t+h)-P(t)-P'(t)h||}{|h|} \to [/mm] 0  für h [mm] \to [/mm] 0.

Analoges  mit f statt P.

Schau Dir nochmal die Def. von "Frechet- differenzierbar " an !!!


>  
> Ausserdem gilt:
>  
> [mm]$&\lim_{h \to 0}\frac{|| P(s,t)(f(t+h)-f(t)) -P(s,t)f'(t) ||}{|h|}[/mm]
> [mm]\\ &\leq||P(s,t)||\lim_{h \to 0}\frac{||f(t+h)-f(t)-f'(t)||}{|h|}=0$[/mm]


Jetzt wird es ganz abenteuerlich ! Was ist denn plötzlich P(s,t) ???????

Fällt Dir denn dieser Unsinn nicht selbst auf ?



Gruß FRED

>  
> Zusammen mit
> [mm]P(t+h)f(t+h)-P(t)f(t)=(P(t+h)-P(t))f(t+h)+P(t)(f(t+h)-f(t))[/mm]
> folgt nun:
>  
> [mm]$&\lim_{h \to 0}\frac{||P(t+h)f(t+h)-P(t)f(t)-P'(t)f(t)+P(t)f'(t)+P'(t)f'(t)||}{|h|}[/mm]
>  
> [mm]\\&\leq \lim_{h \to 0}\frac{|| P(t+h)-P(t))f(t+h) -P'(t)f(t)-P'(t)f'(t) ||}{|h|}[/mm]
> [mm]\\&+ \lim_{h \to 0}\frac{|| P(s,t)(f(t+h)-f(t)) -P(s,t)f'(t) ||}{|h|}=0$[/mm]
>  
> Wenn ich jetzt aber [mm]X=\mathbb{R}[/mm] setze sollte das doch dann
> der Produktregel entsprechen, was es aber nicht tut. Dass
> heisst dann wohl ich habe irgendwo einen Fehler gemacht,
> nur kann ich ihn nicht finden.
>  Ich waere dankbar wenn mir jemand zeigen koennte was
> falsch ist,
>  Mit freundlichen Gruessen,
>  Yomu


Bezug
                
Bezug
Frechet-Ableitung und Produktr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:58 Do 29.03.2018
Autor: Yomu

Hallo Fred,

Vielen Dank fuer deine Antwort.
Ja das war natürlich dumm das h in der Definition zu vergessen. Jetzt macht das Ganze auch Sinn und man kann leicht die Produktregel zeigen.

Mit freundlichen Gruessen,
Johannes Jung

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