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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Joan2 |
Hallo,
ich versuche gerade die Freien Gruppen zu verstehen. Bei Wikipedia steht als Bemerkung:
Eine freie Gruppe vom Rang [mm] \ge [/mm] 2 ist nicht abelsch und ihr Zentrum besteht nur aus dem neutralen Element.
Ich verstehe, dass es nicht abelsch ist, aber wieso ist das Zentrum gleich dem neutralen Element?
Viele Grüße,
Joan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Sa 01.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Joan,
> ich versuche gerade die Freien Gruppen zu verstehen. Bei
> Wikipedia steht als Bemerkung:
>
> Eine freie Gruppe vom Rang [mm]\ge[/mm] 2 ist nicht abelsch und ihr
> Zentrum besteht nur aus dem neutralen Element.
>
> Ich verstehe, dass es nicht abelsch ist, aber wieso ist das
> Zentrum gleich dem neutralen Element?
Es reicht zu jedem Element $x$ ungleich dem neutralen ein weiteres Element $y$ anzugeben, so dass $x y [mm] \neq [/mm] y x$ ist.
Dabei ist $x = [mm] \prod_{i=1}^n x_i^{e_i}$ [/mm] mit [mm] $x_i \in \{ a_1, \dots, a_k \}$ [/mm] (die $k$ Generatoren) und [mm] $e_i \in \{ \pm 1 \}$; [/mm] du kannst auch annehmen, dass $x$ "gekuerzt" ist, also nicht [mm] $x_i$ [/mm] und [mm] $x_i^{-1}$ [/mm] nebeneinander stehen.
Dann musst du ein $y$ konstruieren von ca. der gleichen Form, so dass $x y [mm] \neq [/mm] y x$ ist. Da es nur sehr wenige Moeglichkeiten gibt, was zu kuerzen, ist das nicht so schwer; und sobald ein "Wort", bestehend aus [mm] $a_1, \dots, a_k, a_1^{-1}, \dots, a_k^{-1}$ [/mm] nicht (weiter) kuerzbar ist, ist es die eindeutige Darstellung eines Elementes.
Zum Beispiel ist [mm] $a_1^{-1} a_2 a_2^{-1} a_2$ [/mm] nicht gekuerzt, und gekuerzt wird es dann zu [mm] $a_1^{-1} a_2$, [/mm] und dies ist ungleich [mm] $a_2 a_1^{-1}$, [/mm] da dieses Wort ebenfalls gekuerzt ist und eben ein anderes Wort als [mm] $a_1^{-1} a_2$ [/mm] ist. Vergleichen ist also sehr einfach  Und man sieht, dass [mm] $a_1^{-1}$ [/mm] nicht im Kommutator liegt (und [mm] $a_2$ [/mm] ebensowenig).
LG Felix
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