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Hallo, ich hätte da ein paar Fragen zu freien abelschen Gruppen / singulärer (Ko)Homologie.
Ist B eine Basismenge und C die freie abelsche Gruppe über B, so bedeutet dies doch nach der universellen Eigenschaft der freien abelschen Gruppen nach, dass
$ Abb(B,G)= Hom(C,G) $
für alle abelschen Gruppen G
wobei links: alle Abbildungen, rechts: Gruppenhoms
So jetzt der Bezug zur singulären (Ko)homologie:
Die Kohomologie kann man unterschiedlich definieren und sie soll dann unter Umständen auch nicht das gleiche sein.
1) Man nimmt als Objekte die Menge aller Abbildungen der singulären n-Simplizes (stetige Abbildungen des Standard-n-Simplex in einen topologischen Raum X) in eine abelsche Gruppe G und schreibt den Korandoperator direkt hin.
2) Man definiert zunächst die singuläre Homologie über die freien abelschen Gruppen der singulären n-Simplizes mit Randoperator und "dreht dann die Pfeile um" bzw. würde man wohl korrekter sagen, man wendet Hom(_,G) drauf an.
Irgendwie sieht das wegen meiner anfangs gemachten Bemerkung doch ziemlich gleich aus. Ich frage mich, warum es das im Allgemeinen nicht ist und warum doch, wenn G ein Körper ist. Hängt das damit zusammen, dass der Funktor in dem Fall exakt ist bzw. G divisibel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Mo 06.08.2012 | | Autor: | cycore |
Hallo Salamence,
ich bin mir da nicht so sicher, ob ich Dich recht verstehe im Punkt 2). Zu deiner Frage würde passen, daß du meinst du definierst [mm]H^n(X;G) := Hom(H_n(X),G),[/mm] denn das ist es, was nur unter gewissen Umständen dem "richtig" definierten [mm]H^n(X;G)[/mm] gleicht (zumindest fällt mir nichts anderes ein). Deine Argumentation, daß das übereinstimmen sollte mit dem, was in 1) definiert wird, passt aber eher dazu, daß man den singulären Komplex gemäß [mm]G[/mm] dualisiert (d.h. [mm]Hom(-,G)[/mm] anwendet) und dann davon Homologie nimmt. Das ist dann in der Tat dasgleiche.
Gruß cycore
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Salamence |
Hallo,
ich muss zugegeben, dass ich mich unter 2) auch ein wenig missverständlich ausdrückt habe. Aber nein, ich will die Kohomologie nicht als Homs der Homologie aus definieren, sondern zweiteres, zumindest versteh ich das so, wie es im Buch steht:
Also: Ist [mm] C_{n} [/mm] die freie abelsche Gruppe der singulären n-Simplizes in X, dann hab ich ja erstmal den Kettenkomplex
$ 0 [mm] \leftarrow C_{0} \leftarrow C_{1} \leftarrow ... $
Darauf wende ich dann den Funktor Hom(-,G) drauf an und hab den Kokettenkomplex
$ 0 \rightarrow Hom(C_{0},G) \rightarrow Hom(C_{1},G) \rightarrow [/mm] ... $
der eigentlich nichts anderes ist als der singuläre Kokettenkomplex, nämlich der Mengen aller Abbildungen der singulären n-Simnplizes nach G.
Aber da steht dennoch bei, dass das im Allgemeinen nur für Körper geht.
Das ganze soll übrigens für folgendes gut sein:
Ich will zeigen, dass es egal ist, ob ich Abbildungen nach G hab, die auf allen Simplizes definiert sind oder nur auf "überdeckungskleinen" Simplizes, das heißt solchen, die in einer Überdeckungsmenge definiert sind. Egal heißt dabei, dass der Komplex der singulären Koketten definiert auf allen Simplizes und der auf den kleinen Simplizes die gleiche Kohomologie haben, bzw. die kanonische Restriktion Isomorphismen auf den Kohomologiegruppen induziert.
Und das soll nun einfach über Homologie gemacht werden. Warum das geht, wird nicht näher erläutert, man zeigt einfach, dass der Unterkomplex der kleinen Simplizes und der Komplex der Simplizes die gleiche Homologie haben... Wenn man nun Hom(-,G) anwendet sollen wohl aus irgendeinem Grund weiterhin Isomorphismen induziert werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Mo 06.08.2012 | | Autor: | cycore |
Hallo,
das wundert mich nun ein bisschen. Vorallem das
> Wenn man nun Hom(-,G) anwendet sollen wohl aus irgendeinem Grund weiterhin Isomorphismen induziert werden
Darf man fragen, welches Buch das ist?
Übrigens finde ich es sehr interessant, daß, falls die nun doch unterschiedlich sind, die Konstruktion 1) als die "Richtige" angegeben wird, denn für mich war das immer die andere (wie auch zum Beispiel bei A. Dold, Lectures on Algebraic Topology).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Salamence |
Es ist Global Calculus von S. Ramanan. Das relevante kann man auch bei google books einsehen. Auf Seite 107 wird die singuläre Kohomologie definiert, auf Seite 108, Bemerkung 4.2 1) wird das mit den unterschiedlichen Definitionen angemerkt, ist ein ziemliches Wirrwarr...vielleicht versteh ich das auch einfach nur falsch.
Auf Seite 112f wird Proposition 4.12 i) (eigentlich eine Aussage über den singulären Kokettenkomplex) über den singulären Kettenkomplex bewiesen und nicht wirklich argumentiert, warum man das machen kann...deswegen vermute ich einfach mal, dass man schweigend davon ausgeht, dass man Hom draufanwendet und es klappt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Di 07.08.2012 | | Autor: | cycore |
Okay, verstehe. Das mit dem "was nicht immer, aber zum Beispiel für Körper gilt" hast du wirklich falsch verstanden. Es heißt "However the relation between the homologies, [...], is not just taking the duals again. If A is a field, it is indeed so". Das soll meinen: Nur weil wir den Komplex dualisieren, heißt das nicht Notwendigerweise, daß sich die Homologie dieses Komplexes dualisiert, aber wenn die Koeffizientengruppe ein Körper ist ebendoch. Etwas genauer als mit den Körpern: Es ist genau dann [mm]H^n(X;A) = Hom(H_n(X), A),[/mm] wenn [mm]Ext^1(H_{n-1}(X), A) = 0[/mm] verschwindet (vgl. Satz über universelle Koeffizienten).
Aber wie bereits erwähnt: Die Definitionen 1) und 2) wie in deiner Frage stimmen überein, und zwar mittels deiner Argumentation, unabhängig von der Koeffizientengruppe.
Zu deiner Verwirrung mit dem Beweis von 4.12. i). Da hast du recht — da wird überstprungen, daß [mm]Hom(-, G)[/mm] Quasiisomorphismen (Kettenmorphismen die nach Homologiebildung Isomorphismen werden) auf Quasiisomorphismen abbildet. Schade, daß es nicht ausgeführt wird; Ich weiß nicht, wie leicht das zu Fuß von der Hand geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 12.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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