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Hallo,
ich habe folgendes Problem: ich habe ein Wort definiert als eine endliche folge von Elementen einer endlichen Menge M.
Das Wort, das kein Element enthält, ist das leere Wort e. Zwei Wörter sollen einfach verknüpft werden, indem sie hintereinander geschrieben werden. Wir betrachten nun alle Wörter mit Elementen aus der Menge [mm] \{a,a^{-1}: a \in M\}. [/mm] Zwei Wörter heißen äquivalent, wenn man aus dem einen durch Entfernen oder Hinzufügen endlicher Paare unmittelbar aufeinander folgender Elemente, die invers zueinander sind (zb. [mm] aa^{-1}) [/mm] das andere erhält. Ein Wort heißt reduziert, wenn es solche Paare nicht (mehr) enthält.
So, ich möchte nun zeigen, dass die freie Gruppe, bei mir definiert als die Menge aller reduzierten Wörter, tatsächlich eine Gruppe bildet.
Ich weiß nicht so recht, was ich jetzt alles tun muss... Ich lese überall immer nur, dass die freie Gruppe mit hilfe von äquivalenzklassen (bzgl. dieser relation "äquivalent zueinander") definiert wird. dann wird auch gezeigt, dass jedes wort eine eindeutige reduzierte Form hat und dass Produkte von äquivalenten wörtern wieder äquivalent sind, die Verknüpfung also auch wohldefiniert ist. Bei mir in der Vorlage steht jedoch extra, dass auf äquivalenzklassen verzichtet werden soll (und deshalb auch direkt nur die reduzierten betrachtet werden).
Muss ich das dann trotzdem auch zeigen?
Auf jeden Fall muss ich aber doch abgeschlossenheit zeigen, das heißt, dass die verknüpfung zweier reduzierter Wörter wieder reduziert ist (was ich auch nicht richtig verstehe, denn wenn z.b. das eine wort mit a aufhört und das andere mit [mm] a^{-1} [/mm] beginnt, ist die verknüpfung doch nicht reduziert? jedenfalls nicht, bevor ich wieder reduziere...). Naja, das andere ist dann ja einfach. Assoziativiät ist klar, das neutrale element ist das leere Wort und inverse Elemente kann man auch leicht konstruieren.
Ich hoffe, mir kann jemand helfen... Ich muss vor allem wissen, was ich zeigen muss. Vielen Dank schon mal!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Di 22.04.2008 | | Autor: | Johanna_S |
Ich habe mir nun Folgendes überlegt:
Ich will zeigen, dass die Menge der reduzierten Wörter eine Gruppe bildet.
Dazu zeige ich zunächst einmal, dass jedes Wort eine eindeutige reduzierte Form hat.
dann definiere ich die verknüpfung zwischen zwei Wörtern: Zwei Wörter werden verknüpft, indem sie hintereinander geschrieben werden und dieses neue Wort dann reduziert wird.
(dazu musste ich doch vorher zeigen, dass jedes Wort eine eindeutige reduzierte Form hat, sonst gäbe es bei der Abbildung Probleme, oder?)
Und dann zeige ich die drei Gruppenaxiome, wobei ich mir denke,
dass die Assoziativiät daraus folgt, dass jedes Wort eine eindeutige reduzierte Form hat, oder? Denn dann ist ja w(xy) das eindeutig reduzierte Wort dessen, was entsteht, wenn ich alle Buchstaben von x,y,z hintereinander schreibe, genaz so wie (wx)y, oder liege ich da falsch?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 23.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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