Frequenzanalyse < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Frequenzanalyse einer periodischen Funktion ist meines Wissens bisher nur gemäß Fourier möglich. Also: Alle Teilfrequenzen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz. Die Amplituden folgen jeweils der zugehörigen mathematischen Gesetzmäßigkeit.
Habe nun über einen anderen Weg einen geschlossenen algebraischen Term mit 5 frei wählbaren Parametern gefunden:
a) Erste Frequenz
b) Gleicher Abstand aller weiteren Teilfrequenzen zueinander
c) Amplitude der ersten Frequenz
d) Gleicher Abstand aller weiteren Amplituden zueinander
e) Anzahl der gewünschten Teilfrequenzen
Man kann also den geschlossenen algebraischen Term als Summe von Einzelfrequenzen darstellen und umgekehrt.
Frage: Sind Frequenzreihen dieser Art schon bekannt (also ein alter Hut)?
Ich möchte nicht das Rad neu erfinden.
Danke im Vorraus!
Oberwelle2002
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Do 27.07.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Oberwelle2002,
was meinst Du mit gleicher Abstand? Das liest sich auf jeden Fall so, dass mit Deiner Formel nur ganz bestimmte periodische Funktionen erzeugt werden können, also nur ein marginaler Teilbereich derer, die die Fourier-Synthese liefert.
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Hallo Chrisno,
vielleicht veranschaulicht es ein Beispiel noch besser, was ich meine. Ich möchte folgende diskrete Frequenzen mit folgenden Amplituden erzeugen:
21 diskrete Frequenzen insgesamt
Erste Frequenz: 1kHz.
Amplitude der ersten Frequenz: 100 (z.B in Volt)
Abstand der jeweils folgenden Teilfrequenz (steigend): 10Hz
Die Amplituden der Frequenzfolgen sollen um jeweils 2 steigen
Diese Werte gebe ich in meine Formel ein. Sie erzeugt somit folgende Frequenzreihe (Frequenz / Amplitude):
1. 1000 Hz / 100 V
2. 1010 Hz / 102 V
3. 1020 Hz / 104 V
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21. 1200 Hz / 140 V
Gruß
Oberwelle2002
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Fr 28.07.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Obewelle
Natürlich kannst du so wie in deiner Mitteolung irgendeine beliebige Funktion erzeugen, Wenn du das Ding als Ton hörtest wärs wohl ziemlich grausig. Aber mathematisch kannst du natürlich beliebig viele oder wenige sin-Funktionen mit beliebigen Ampltuden addieren, physikalisch kannst du sowas auch noch realisieren. Aber welchen Sinn das machen soll kann ich nicht verstehen, Auf keinen fall kannst du auf diese Weise eine einfache periodische Funktion finden. Die Periode z.Bsp. deiner fkt in der Mitteilung wäre durch den ggT( grössten gemeinsamen Teiler) aller deiner Frequenzen bestimmt.
Vielleicht solltest du das Ziel, das du mit deiner Addition verfolgst darstellen! Mit der Fourrieranalyse ist es auf jeden fall nicht verwandt!
Gruss leduart
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Hallo leduart,
die ganze Sache hat in der Tat keinen "realen" Sinn- es geht mir nur um die reine Mathematik. Nochmals:
Gemäß dem Fourier-Procedere kann man einen geschlossenen, periodischen Term durch eine unendliche Folge von diskreten Frequenzen mit konvergierenden Amplituden darstellen. Die einzelnen Frequenzen sind dabei ganzzahlige Vielfache der ersten (=Grund)Frequenz. Soweit ist ja alles bekannt.
Mein besagter algebraischen Term (4 Summanden im Zähler, 2 im Nenner, mit insgesamt 5 wählbaren Parametern) kann jedoch als eine Folge (1 bis < unendlich, Zahl wählbar) von einzelnen Frequenzen dargestellt werden, wobei die einzelnen Frequenzen voneinander eine gleiche (wählbare) Differenz besitzen. Die Höhe der einzelnen Amplituden kann gleichbleiben, oder mit einer (wählbaren) Differenz zu- oder abnehmen. - Die "Fourier-Ebene" ist selbstverständlich eine ganz andere.
Meine gleich im ersten Beitrag gestellte Frage ist schlicht und ergreifend: Weiß jemand, ob es solch eine Reihenentwicklung schon gibt- wenn ja, dann wäre das Thema logischerweise für mich erledigt. - Es gibt sonst keine technischen oder mystischen Gründe für mein Interesse - es ist nur ein gewisser Spaß an der Mathematik.
Gruß
Oberwelle2002
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Sa 29.07.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Oberwelle
"Bekannt" ist wohl eine Reihe wie deine nicht. Aber da man in Mathe irgendwelche beliebige Reihen hinschreiben kann gibt es wirklich unendlich viele "nicht bekannte" Reihen.
"Bekannt" sind nur Reihen, die etwas bestimmtes erreichen, Wie Fourrierreihen, die jede periodische Fkt. approximieren, oder Taylorreihen, die differenzierbare Fkt. approximieren.
Deine "Reihen" sind, solange sie endlich sind einfach irgendwelche Funktionen,du müsstest sagen, warum sie interessant sind.
Was du mit dem algebraischen Ausdruck meinst, versteh ich nicht.
Aber es gibt Formeln die z.Bsp. [mm] cos^{n}(x) [/mm] als Summe über cos((n-2i)x) schreiben. Meinst du sowas?
Gruss leduart
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Hallo leduart,
Deine Rückmeldung zeigt mir, dass wohl noch Klärungsbedarf besteht. Da ich nicht weiß, ob ich das hier visuell so schnell passend hinkriege, versuch ichs mal so:
Bitte denk Dir ein Gleichheitszeichen. Links davon ein Bruchstrich. Im Nenner steht: 2*(1-cos(x)).
Im Zähler steht: A1*cos(a1*x) + A2*cos(a2*x) + A3*cos(a3*x) + A4*cos(a4*x).
Rechts von dem Gleichheitszeichen stehe eine diskrete Frequenzreihe:
B1*cos(b1*x) + B2*cos(b2*x) + B3*cos(b3*x)
+ Bn*cos(bn*x)
(Die ganze Sache könnte natürlich auch auf SINUS umgestellt werden).
Die Ausdrücke A1, a1 A4, a4 links im Zähler des Bruches repräsentieren jeweils einen kleinen Term, in dem die 5 frei wählbaren Parameter stecken, als da sind:
1. Anzahl der diskreten Frequenzen, rechts vom Gleichheitszeichen. Wählbar zwischen 1 und < Unendlich.
2. Größe der Amplitude für die erste Frequenz der Reihe. Frei wählbar.
3. Konstante Differenz der Amplitude der jeweils folgenden Frequenz zur vorigen. Frei wählbar (+/-), auch 0 möglich.
4. Frequenz des ersten Gliedes der Reihe. Frei wählbar.
5. Konstante Differenz der Frequenz der jeweils folgenden Frequenz zur vorigen. Frei wählbar (+/-).
Die Ausdrücke B1,b1 - Bn,bn (auf der rechten Seite) bewerkstelligen die jeweiligen Amplituden und Frequenzen.
Also: Ob rechts vom Gleichheitszeichen nur eine Frequenz oder (von mir aus) eine Milliarde diskrete Frequenzen stehen, ergibt links vom Gleichheitszeichen im Prinzip immer denselben geschlossenen algebraischen Ausdruck (nur die Parameter sind entsprechend zu setzen).
Beide Seiten der Gleichung sind somit numerisch äquivalent! Das kann verifiziert werden mit beliebigen numerischen Werten, Darstellung der Graphen und FFT-Analyse.
Man kann die Gleichung, je nach Bedarf, als Frequenzanalyse oder als Frequenzsynthese gebrauchen.
Ein (sehr einfaches) Beispiel einer 5-gliedrigen Reihe könnte z.B. aus folgenden Frequenzen (mit den entsprechenden Amplituden) bestehen:
10V/100Hz 12V/110Hz 14V/120Hz 16V/130Hz - 18V/140Hz
Alle 5 Parameter sind zu erkennen und könnten auf der linken Seite der Gleichung eingesetzt werden.
Die oben beschriebene Reihen-Thematik ist nicht das Ergebnis von Jux und Dollerei. Sie ist vielmehr das (zufällig) konkrete Resultat eines Nebenaspektes meiner Diplomarbeit (sehr lange her).
Hat die ganze Sache praktische Relevanz? ich könnte mir zwar entfernt etwas vorstellen, aber im Vordergrund stand eh nur der Spaß an der mathematischen Tüftelei.
Vielleicht sind jetzt "alle Klarheiten beseitigt". Danke für Dein bisheriges Interesse!
Gruß
Oberwelle2002
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