Frobenius Matrix und Inverse < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 27.06.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }
[/mm]
a) Stellen Sie die Matrix als Produkt von Frobeniusmatrizen dar
b) Invertieren sie die Matrix a |
Hallo,
zu a) habe ich ertsmal ein Problem mit der Herangehensweise.
Frobeniusmatrizen sind Einheitsmatrizen, die in höchstens einer Spalte unterhalb der Diagonalen von Null vers. Elemente haben.
Ich habe in einem Buch etwas Ähnliches gefunden. Dort soll eine Matrix B als Produkt von Elementarmatrizen dargestellt werden.
Dazu wird B in Diagonalform gebracht und jede einzelnen Zeilenoperation als Elementarmatix geschrieben.
Das gleiche habe ich hier versucht.
Um A in Diagonalform zu bringen muss ich.
(1) Multiplikation der ersten Zeile mit (-1) und addiren zur zweiten Zeile
(2) Multiplikation der ersten Zeile mit (-1) und addiren zur dritten Zeile
(3) Multiplikation der zweiten Zeile mit (-1) und addiren zur dritten Zeile
.....
Ich denke die weitere Vorgehensweise ist klar.
Wenn ich (1) jetzt als Elementarmatix schreiben will kriege ich:
[mm] E_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Also die Einheitsmatix mit (-1) in der zweiten Zeile und ersten Spalte
Mache ich dieses Verfahren weiter und multipliziere alle Elementarmatrizen (bei mir sind es insgesamt 6 Stück) kommt aber eben nicht meine untere Dreiecksmatrix raus sondern: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\-1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 1 }. [/mm] Zumindest wenn ich mich jetzt nicht täusche.
Wo ist denn der Fehler im Verfahren oder ist das Verfahren an sich falsch? Geht es auch einfacher/schneller.
Ich weiß zumindest, dass beim Produkt folgendes rauskommen muss.
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 }
[/mm]
b)
Ich soll jetzt natürlich mein Wissen aus a) benutzten.
Ich denke, dass ich weiß, dass das Inverse der Frobeniusmatrizen gibildet wird, indem mal die Vorzeichen aller Einträghe außerhalb der Diagonalen umkehrt.
[mm] A^{-1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\-1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 1 }
[/mm]
Das wäre jtzt genau das, was durch das Verfahren bei a) herauskommen würde. Hab ich da vllt unbewusst 2 Schritte auf einmal gemacht?
Und noch was:
Ich benutzte normalerweise Wolfram|Alpha als Kontrolle am Ende, da die Seite meistens recht zuverlässig ist.
Gebe ich da aber meine Matrix A ein spuckt es eine andere Inverse raus.
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> Gegeben sei die Matrix [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> a) Stellen Sie die Matrix als Produkt von Frobeniusmatrizen
> dar
> b) Invertieren sie die Matrix a
> Hallo,
>
> zu a) habe ich ertsmal ein Problem mit der
> Herangehensweise.
> Frobeniusmatrizen sind Einheitsmatrizen, die in höchstens
> einer Spalte unterhalb der Diagonalen von Null vers.
> Elemente haben.
>
> Ich habe in einem Buch etwas Ähnliches gefunden. Dort soll
> eine Matrix B als Produkt von Elementarmatrizen dargestellt
> werden.
> Dazu wird B in Diagonalform gebracht und jede einzelnen
> Zeilenoperation als Elementarmatix geschrieben.
>
> Das gleiche habe ich hier versucht.
> Um A in Diagonalform zu bringen muss ich.
> (1) Multiplikation der ersten Zeile mit (-1) und addiren
> zur zweiten Zeile
> (2) Multiplikation der ersten Zeile mit (-1) und addiren
> zur dritten Zeile
> (3) Multiplikation der zweiten Zeile mit (-1) und addiren
> zur dritten Zeile
> .....
>
> Ich denke die weitere Vorgehensweise ist klar.
> Wenn ich (1) jetzt als Elementarmatix schreiben will
> kriege ich:
> [mm]E_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Also die Einheitsmatix mit (-1) in der zweiten Zeile und
> ersten Spalte
>
> Mache ich dieses Verfahren weiter und multipliziere alle
> Elementarmatrizen (bei mir sind es insgesamt 6 Stück)
> kommt aber eben nicht meine untere Dreiecksmatrix raus
> sondern: [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & -1 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & -1 & 1 }.[/mm]
> Zumindest wenn ich mich jetzt nicht täusche.
>
> Wo ist denn der Fehler im Verfahren oder ist das Verfahren
> an sich falsch? Geht es auch einfacher/schneller.
Du hast ja soetwas wie
[mm] $A=M_k\cdots M_1 [/mm] E$, mit E ist Einheitsmatrix. Dann benutzt du die Frobeniusmatrizen um aus der Einheitsmatrix dir A zu basteln.
Multiplizierst du die [mm] $M_i$ [/mm] von links an das A, dann hast du ja Zeilenumformungen.
[mm]\left( \begin {array}{cccc} 1&0&0&0\\
0&1&0&0
\\
0&0&1&0\\
0&0&1&1\end {array}
\right)*E
[/mm]
Dann nimmst du die nächste Matrix, um den Eintrag in der zweiten Zeile auf die dritte sowie 4. Zeile zu übertragen.
>
> Ich weiß zumindest, dass beim Produkt folgendes rauskommen
> muss.
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
Das ist genau diese Vorgehen. Also schneller als das wird es nicht gehen.
>
> b)
> Ich soll jetzt natürlich mein Wissen aus a) benutzten.
Ja.
> Ich denke, dass ich weiß, dass das Inverse der
> Frobeniusmatrizen gibildet wird, indem mal die Vorzeichen
> aller Einträghe außerhalb der Diagonalen umkehrt.
>
> [mm]A^{-1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & -1 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & -1 & 1 }[/mm]
Ja ABER aus
[mm] $A=M_3*M_2*M_1$ [/mm] folgt doch [mm] $A^{-1}=(M_3*M_2*M_1)^{-1}=M_1^{-1}*M_2^{-1}*M_3^{-1}$
[/mm]
>
> Das wäre jtzt genau das, was durch das Verfahren bei a)
> herauskommen würde. Hab ich da vllt unbewusst 2 Schritte
> auf einmal gemacht?
Du hast sie nur in der falschen Reihenfolge multipliziert. Die Grundidee war richtig.
>
> Und noch was:
> Ich benutzte normalerweise Wolfram|Alpha als Kontrolle am
> Ende, da die Seite meistens recht zuverlässig ist.
> Gebe ich da aber meine Matrix A ein spuckt es eine andere
> Inverse raus.
>
> klick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Di 28.06.2011 | | Autor: | Sup |
Ok.
Ich weiß ja, dass die Invere der Frobeniusmatrizen gebildet wird, indem ich die Vorzeichen aller Einträge außerhalb der diagonalen umkehre.
Und wenn [mm] A^{-1} [/mm] das Produkt der Inversen der Frobeniusmatrizen ist, dann komm ich letztendlich doch auf
[mm] A^{-1}=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 1}
[/mm]
Mein Übungspartner ist bei der Inversen (er hat es ohne die Frobeniusmatrizen gemacht) genau wie WolframAlpha aber auf folgende Matrix gekommen.
[mm] A^{-1}=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1}
[/mm]
Irgendwo in meiner Überlegung muss also noch ein Fehler sein.
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Hast du meinen Beitrag nicht gelesen?
Es kommt auf die REIHENFOLGE an. Matrixmultiplikation ist i.A. ja nicht kommutativ.
[mm]M_1=\pmat{1&0&0&0\\
1&1&0&0\\
1&0&1&0\\
1&0&0&1},M_2=\pmat{1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&1&1&0\\
0&1&0&1},M_3=\pmat{1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&1&1}[/mm]
und [mm]M_1*M_2*M_3=A[/mm]. Also $ [mm] A^{-1}=(M_3\cdot{}M_2\cdot{}M_1)^{-1}=M_\red{1}^{-1}\cdot{}M_\red{2}^{-1}\cdot{}M_\red{3}^{-1} [/mm] $
Für dich noch einmal ausgeschrieben:
[mm]A^{-1}=\pmat{1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&-1&1}*\pmat{1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&-1&1&0\\
0&-1&0&1},
*\pmat{1&0&0&0\\
-1&1&0&0\\
-1&0&1&0\\
-1&0&0&1}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Di 28.06.2011 | | Autor: | Sup |
Alles klar, srry.
hab die unterschiedliche Reihenfolge der [mm] M_i [/mm] nicht bemerkt
> [mm]M_1=\pmat{1&0&0&0\\
1&1&0&0\\
1&0&1&0\\
1&0&0&1},M_2=\pmat{1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&1&1&0\\
0&1&0&1},M_3=\pmat{1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&1&1}[/mm]
>
> und [mm]M_1*M_2*M_3=A[/mm]. Also
> [mm]A^{-1}=(M_3\cdot{}M_2\cdot{}M_1)^{-1}=M_\red{1}^{-1}\cdot{}M_\red{2}^{-1}\cdot{}M_\red{3}^{-1}[/mm]
>
> Für dich noch einmal ausgeschrieben:
> [mm]A^{-1}=\pmat{1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&-1&1}*\pmat{1&0&0&0\\
0&\red1&0&0\\
0&-1&1&0\\
0&-1&0&1},
*\pmat{1&0&0&0\\
-1&1&0&0\\
-1&0&1&0\\
-1&0&0&1}[/mm]
Bei der 2.Matix ist dir ein Tippfehler unterlaufen
Danke für die Hilfe
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