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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Sa 01.11.2008 | | Autor: | jocen |
Hallo,
ich sitze an einem Problem und die Lösung will sich einfach nicht ergeben. Es geht um Frullani Integrale.
Also: f: [mm] [0,\infty) \to \IR [/mm] , stetig und der Grenzwert [mm] f(\infty) [/mm] für x gegen Unendlich existiert. Mehr ist nicht gegeben, doch schon folgt:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{(f(ax) - f(bx))/x dx} [/mm] = [mm] \((f(0) [/mm] - [mm] f(\infty))log(b/a)
[/mm]
für alle a,b > 0. Meine Versuche scheitern meistens daran,
dass ich die Konvergenz von (f(ax) - f(bx)) nicht in Abhängigkeit von x abschätzen kann.
Vielen Dank und noch schönes WE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> ich sitze an einem Problem und die Lösung will sich
> einfach nicht ergeben. Es geht um Frullani Integrale.
>
> Also: f: [mm][0,\infty) \to \IR[/mm] , stetig und der Grenzwert
> [mm]f(\infty)[/mm] für x gegen Unendlich existiert. Mehr ist nicht
> gegeben, doch schon folgt:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{(f(ax) - f(bx))/x dx}[/mm] = [mm]\((f(0)[/mm] -
> [mm]f(\infty))log(b/a)[/mm]
>
> für alle a,b > 0. Meine Versuche scheitern meistens daran,
> dass ich die Konvergenz von (f(ax) - f(bx)) nicht in
> Abhängigkeit von x abschätzen kann.
Ein paar Ideen:
Mit der Substitution y=ax entsteht:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{(f(ax) - f(bx))/x dx} = \integral_{0}^{\infty}{(f(x) - f(\bruch{b}{a}x))/x dx} [/mm]
und mit y=bx:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{(f(ax) - f(bx))/x dx} = \integral_{0}^{\infty}{(f( \bruch{a}{b}x) - f(x))/x dx} [/mm]
Wenn ich das Integral mit F(a,b) abkürze, haben wir also
[mm] F(a,b) = F(1,b/a) = F(a/b,1) [/mm]
Ferner ist [mm]F(a,b) = -F(b,a)[/mm], woraus [mm] F(1,c) = -F(1,1/c) [/mm] folgt.
Es gilt auch: [mm]F(a,b) + F(b,c) = F(a,c) \implies F(1,b/a) + F(1,c/b) = F(1,c/a) \implies F(1,a*b) = F(1,a) + F(1,b) [/mm].
Allein aus diesen Funktionalgleichungen würde ich schon schließen, dass $F(a,b) = [mm] C*\ln\bruch{b}{a} [/mm] $ sein muss, denn welche Funktion außer dem Logarithmus erfüllt diese?
Viele Grüße
Rainer
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