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| Aufgabe | Berechne beide Integrale
[mm] \integral_{\Omega_2}\left(\integral_{\Omega_1}X(\omega_1,\omega_2)\mu_1(d\omega_1)\right)\mu_2(d\omega_2) [/mm] und [mm] \integral_{\Omega_1}\left(\integral_{\Omega_2}X(\omega_1,\omega_2)\mu_2(d\omega_2)\right)\mu_1(d\omega_1)
[/mm]
für den Fall [mm] \Omega_1:=\Omega_2:=\IN, \mathcal{F_1}:=\mathcal{F_2}:=\mathcal{P}(\IN), \mu_1:=\mu_2:=\summe_{n=1}^{\infty}\epsilon_n [/mm] , wobei [mm] \epsilon_n [/mm] das Direc-Maß in [mm] n\in \IN [/mm] ist und
[mm] X(i,j):=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } j\not\in \{i;i+1\}\mbox{ } \\ -1, & \mbox{falls } j=i+1 \mbox{ } \\1 , & \mbox{falls} j=i, \end{cases} \forall (i,j)\in \IN^2 [/mm] |
Moin,
Ich brauch mal wieder eure Hilfe.
ICh sitze vor diese Aufgabe und weiß nicht iwe ich anfangen soll bzw die Integrale berechnen soll.
Kann mir jemand evtl ein Tipp geben. Ich bin für jeden Hinweiß dankbar.
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Hiho,
ein guter Ansatz wäre erstmal, die Integrale auszuschreiben, also einmal sollst du z.B.
$ [mm] \integral_{\IN}\left(\integral_{\IN}X(\omega_1,\omega_2)\mu_1(d\omega_1)\right)\mu_2(d\omega_2)$
[/mm]
berechnen.
Dazu wäre es also mal gut, erstmal das innere Integral auszurechnen, also:
[mm] $\integral_{\IN}X(\omega_1,\omega_2)\mu_1(d\omega_1)$
[/mm]
Nun hat X ja die schöne Eigenschaft, eigentlich nur an zwei stellen Werte anzunehmen und sonst Null zu sein. An welchen?
Gruß,
Gono
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danke für deine Antwort. Ich glaube da fängt schon mein problem an, weil ich nicht weiß über was ich integrieren soll bzw wie die "Fkt" aussieht.
In der Regel erhält man eine matrix, die auf der Hauptdiagonale 1 Einträge hat und auf der unteren Nebendiagonale -1-Einträge hat, die restl. Einträge sind 0. Aber wie integriere ich sowas?
Dankeschön im voraus.
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Hiho,
> danke für deine Antwort. Ich glaube da fängt schon mein
> problem an, weil ich nicht weiß über was ich integrieren
> soll bzw wie die "Fkt" aussieht.
Die Funktion ist doch gegeben.... wir sollten vielleicht mit Grundlagen anfangen. Wie würdest du denn die Funktion $f(x) = [mm] \bruch{1}{x^2}$ [/mm] integrieren?
Also was wäre: [mm] $\integral_{\Omega_1} [/mm] f(x) [mm] \mu_2(dx)$
[/mm]
Gruß,
Gono
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hallo,
die stammfkt diese Fkt. wäre
[mm] \integral_\Omega f(x)\mu(dx)=\left[-\bruch{1}{x}\right]_\Omega
[/mm]
richtig?!
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Hiho,
> die stammfkt diese Fkt. wäre
> [mm]\integral_\Omega f(x)\mu(dx)=\left[-\bruch{1}{x}\right]_\Omega[/mm]
>
> richtig?!
Wir haben hier gar nix zu tun mit Stammfunktionen etc.
Wir haben hier kein Riemann-Integral sondern ein Lebesgue-Integral.
Du solltest dringend den Begriff des ![[]](/images/popup.gif) Lebesgue-Integrals nacharbeiten.
Dass deine "Lösung" gar keinen Sinn macht kannst du schon daran erkennen, dass sie nicht im geringsten vom Maß [mm] \mu [/mm] abhängt.
Und es wäre schon sinnvoll, wenn der Wert des Integrals vom gewählten Maß abhängt, oder nicht?
Sonst wären Lebesgue-Integrale ja recht sinnlos....
Gruß,
Gono
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