Fubini Grenzen finden < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Mo 14.01.2013 | | Autor: | hula |
hallöchen
Ich habe eine Frage, wie man die Integralgrenzen von Fubini herausfindet. Wenn ich ein Integral der Form:
[mm] $$\int_0^t\int_s^t \alpha(s,u) [/mm] du ds$$
habe und wir nehmen an, dass die Funktion [mm] $\alpha$ [/mm] "schön" genug ist, so dass wir Fubini anwenden können. Wie finde ich den nun die Integrationsgrenzen, d.h. wie finde ich
[mm] $$\int_\cdot^\cdot\int_\cdot^\cdot \alpha(s,u) [/mm] ds du$$
Wie soll man denn hier starten?
Danke für die Hilfe
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Hiho,
du musst halt schauen wie dein Integrationsgebiet aussieht.
D.h. versuche es immer erstmal als Teilmenge des Gesamtraums darzustellen.
In deinem Fall ist das ja eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] und zwar das Gebiet
$U = [mm] \left\{ (x_1,x_2) \in \IR^2\quad |\quad x_1 + x_2 \le t,\; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0 \right\}$
[/mm]
Dies kannst du nun versuchen durch eine umgedrehte Integrationsreihenfolge darzustellen.
In deinem Fall ist es recht einfach, weil das alles schön symmetrisch ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Mo 14.01.2013 | | Autor: | hula |
Hallo Gono
> Hiho,
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> du musst halt schauen wie dein Integrationsgebiet
> aussieht.
> D.h. versuche es immer erstmal als Teilmenge des
> Gesamtraums darzustellen.
>
> In deinem Fall ist das ja eine Teilmenge des [mm]\IR^2[/mm] und zwar
> das Gebiet
>
> [mm]U = \left\{ (x_1,x_2) \in \IR^2\quad |\quad x_1 + x_2 \le t,\; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0 \right\}[/mm]
>
> Dies kannst du nun versuchen durch eine umgedrehte
> Integrationsreihenfolge darzustellen.
> In deinem Fall ist es recht einfach, weil das alles schön
> symmetrisch ist.
>
> MFG,
> Gono.
Danke für die Hilfe, aber so recht verstehen tu ich das noch nicht: Klar, dass es ein Teilraum von [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] ist. Nun aber, wieso ist der gleich
[mm]U = \left\{ (x_1,x_2) \in \IR^2\quad |\quad x_1 + x_2 \le t,\; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0 \right\}[/mm]
?
Was genau meinst du mit vertauschen? Danke für deine Geduld
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Hiho,
> Nun aber, wieso ist der gleich [mm]U = \left\{ (x_1,x_2) \in \IR^2\quad |\quad x_1 + x_2 \le t,\; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0 \right\}[/mm] ?
Na betrachte doch mal deine Integrationsgrenzen:
[mm] $\integral_0^t \integral_s^t du\,ds$
[/mm]
Aus welchem Bereich kommt s? Aus welchem u?
> Was genau meinst du mit vertauschen?
Das machen wir dann später.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Di 15.01.2013 | | Autor: | hula |
Hallöchen
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> Na betrachte doch mal deine Integrationsgrenzen:
>
> [mm]\integral_0^t \integral_s^t du\,ds[/mm]
>
> Aus welchem Bereich kommt s? Aus welchem u?
[mm] $0\le s\le [/mm] t$ und [mm] $0\le s\le u\le [/mm] t$. Ah ok, jetzt seh ich das. Für fixiertes $s$ zwischen $0$ und $t$ kann $u$ die werte [mm] $0\le u\le [/mm] t-s$ annehmen oder [mm] $0\le u+s\le [/mm] t$.
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> > Was genau meinst du mit vertauschen?
>
> Das machen wir dann später.
>
Nun wie weiter :) ? Danke für deine Geduld!
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Hallo hula,
> > Na betrachte doch mal deine Integrationsgrenzen:
> >
> > [mm]\integral_0^t \integral_s^t du\,ds[/mm]
> >
> > Aus welchem Bereich kommt s? Aus welchem u?
> [mm]0\le s\le[/mm] t[/mm] und [mm]0\le s\le u\le[/mm] t[/mm]. Ah ok, jetzt seh ich
> das. Für fixiertes [mm]s[/mm] zwischen [mm]0[/mm] und [mm]t[/mm] kann $uä die
> werte [mm]0\leu\le[/mm] t-s[/mm] annehmen oder [mm]u+s\le[/mm] t[/mm].
Naja, fast. [mm] s\le u\le{t} [/mm] steht ja direkt da.
> Nun wie weiter :) ? Danke für deine Geduld!
Du hast ein dreieckiges Integrationsgebiet, das recht einfach statt über s und t auch über u und t beschrieben werden.
Ansonsten: was ist denn die Kernaussage von Fubini(-Tonelli)? Gib den Satz doch mal in einfachen Worten wieder, also sowas wie "wenn die Vorbedingungen erfüllt sind, dann..." - ohne die Bedingungen unbedingt jetzt alle zu listen (wissen musst Du sie trotzdem). Was also ist der Witz an der Sache?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Di 15.01.2013 | | Autor: | hula |
Hallo reverend
Erstmal, danke für deine Hilfe! Wenn eine Funktion gewisse Integrabilitätskriterien (auf dem Produktraum) erfüllt, dann kann ich das Integral über diesem Produktraum als Doppelintegral bzgl. der beiden "Massen" schreiben. Mir ist durchaus bewusst, dass hiermit eine Parametrisierung des Integrationsbereiches in Abhängigkeit des anderen Parameter vollzogen werden muss. Mein Problem ist, auf diese Parametrisierung zu kommen.
In diesem Fall. Nun habe ich also mein Integrationsbereich bestimmt, hier ein Dreieck in der Ebene. Nun will ich die Integrale vertauschen, brauche also eine neue Parametrisierung. Dabei fällt mir der Start schwer: Sobald ich weiss, über was das äussere Integral "laufen" muss, kann ich die Grenzen des zweiten herausfinden. Aber wie mache ich den Ansatz für das erste Integral? I
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Hiho,
na du willst ja nun den Definitionsbereich des zweiten Parameters u kennen, für den ja gilt:
$s [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] t$ wobei [mm] $s\in [/mm] [0,t]$
nun überleg mal: Aus welchem Zahlenbereich nimmt u denn Werte an?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Di 15.01.2013 | | Autor: | hula |
Aha...jetzt geht mir ein Licht auf!
$u$ hat Werte [mm] $0\le [/mm] u [mm] \le [/mm] t$, also läuft das erste Intgeral über [mm] $\int_0^t\int_\cdot^\cdot [/mm] ds du$. Ich merke aber gerade, dass es doch nicht so einfach ist, dann die Parametrisierung für das zweite Integral heraus zufinden. Wie soll ich den hier nun vorgehen? Ich weiss ja noch nicht, wie mein Integrationsbereich aussieht.
Oder kann ich einfach sagen, da [mm] $0\le s\le u\le [/mm] t$ gelten muss, integriere ich einfach von $0$ bis $u$?
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Hiho,
> Oder kann ich einfach sagen, da [mm]0\le s\le u\le t[/mm] gelten
> muss, integriere ich einfach von [mm]0[/mm] bis [mm]u[/mm]?
so siehts aus.
Und der Rest ist Übung Übung Übung.
MFG,
Gono.
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