Für welche Werte konvergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 So 12.01.2014 | | Autor: | Twistor |
| Aufgabe | Für welche z [mm] \in \IC [/mm] konvergieren folgende Reihen:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n^2}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n! * [mm] z^n [/mm] |
Hallo
Habe obige Aufgaben durchgerechnet, und es wäre toll, wenn da mal jemand kurz drüberschauen könnte.
a)
Also es handelt sich ja um eine Potenzreihe mit [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2}
[/mm]
Die Entwicklungsstelle ist bei 0.
Nun habe ich den Konvergenradius mit folgender Formel bestimmt:
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{n^2}}{\bruch{1}{(n+1)^2}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{(n+1)^2}{n^2}|
[/mm]
Nach zweimaligem herausheben und kürzen von n komme ich da auf einen Grenzwert r = 1.
Die beiden Randwerte +1 und -1 habe ich überprüft, die müssten auch beide noch zur Konvergenz führen.
Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich vom Prinzip her richtig gerechnet habe.
Bei Aufgabe b habe ich wieder den Konvergenzradius berechnet, der beträgt 0.
Ist es in Ordnung, wenn ich so meinen Konvergenzradius berechne, und dann die Randwerte auf Konvergenz untersuche, oder kann ich das bei diesen Beispielen nicht so machen?
Muss ich hier sonst noch etwas machen? Vielleicht, weil nach z [mm] \in \IC [/mm] gefragt ist? Wirkt sich das auf mein Beispiel aus?
Vielen Dank für Eure Hilfe
Viele Grüße
Twistor
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Hallo,
> Für welche z [mm]\in \IC[/mm] konvergieren folgende Reihen:
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n^2}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n! * [mm]z^n[/mm]
> Hallo
>
> Habe obige Aufgaben durchgerechnet, und es wäre toll, wenn
> da mal jemand kurz drüberschauen könnte.
>
>
> a)
> Also es handelt sich ja um eine Potenzreihe mit [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm]
> Die Entwicklungsstelle ist bei 0. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun habe ich den Konvergenradius mit folgender Formel
> bestimmt:
>
> r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm] =
Ok, gute Idee!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{n^2}}{\bruch{1}{(n+1)^2}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{(n+1)^2}{n^2}|[/mm]
>
> Nach zweimaligem herausheben und kürzen von n komme ich da
> auf einen Grenzwert r = 1.
>
> Die beiden Randwerte +1 und -1 habe ich überprüft, die
> müssten auch beide noch zur Konvergenz führen.
Naja, das sind ja nur zwei (die beiden reellen) Möglichkeiten für ein komplexes [mm]z[/mm] mit [mm]|z|=1[/mm]
Genauer sind das ausgewählte 2 Punkte auf dem Einheitskreis.
Was ist mit all den anderen [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]|z|=1[/mm], wie sieht es da mit der Konvergenz oder Divergenz aus?
>
> Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich vom
> Prinzip her richtig gerechnet habe.
Prinzip stimmt, am Rand hakt es etwas ...
>
> Bei Aufgabe b habe ich wieder den Konvergenzradius
> berechnet, der beträgt 0.
>
>
> Ist es in Ordnung, wenn ich so meinen Konvergenzradius
> berechne, und dann die Randwerte auf Konvergenz untersuche,
> oder kann ich das bei diesen Beispielen nicht so machen?
Doch, ist ok!
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> Muss ich hier sonst noch etwas machen? Vielleicht, weil
> nach z [mm]\in \IC[/mm] gefragt ist? Wirkt sich das auf mein
> Beispiel aus?
Ja, in [mm]\IC[/mm] hast du ja kein Konvergenzintervall mit 2 Randpunkten wie in [mm]\IR[/mm], sondern eine Konvergenzkreisscheibe, deren kompletter Rand die "Randpunkte" markiert ...
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>
> Vielen Dank für Eure Hilfe
>
> Viele Grüße
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> Twistor
Gruß
schachuzipus
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