Für welche b = (b1; b2; b3) ist das Gleichungssystem lösbar < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Di 01.06.2004 | | Autor: | baddi |
Guten morgen zusammen.
Hab mal wieder was gerechnet und freue mich auf Durchsicht des Ganzen :)
Aufg. 6.1:
Für welche b = (b1; b2; b3) ist das Gleichungssystem
x1 + 2x2 = b1
2x1 + 3x2 = b2
3x1 + x2 = b3
lösbar.
Habe dann folgendes gemacht:
[mm] ${\begin{pmatrix}
1 & 2 & b_1 \\
2 & 3 & b_2 \\
3 & 1 & b_3
\end{pmatrix}
}$
[/mm]
ein paar Matrix-Umformungen
=>
[mm] ${\begin{pmatrix}
1 & 2 & b_1 \\
0 & -1 & b_2-2b_1 \\
0 & 0 & b_3-5b_2+7b_1
\end{pmatrix}
}$
[/mm]
Ok. Jetzt habe ich ja eigentlich immer noch drei Gleichungen, aber ich kann sagen wenn die letzte Zeile lösbar ist, was offensichtlich der Fall ist, ist das Ganze lösbar.
Was muss ich denn jetzt noch tun ?
Muss ich die 3te Zeile nach b2 umformen und dann in die zweite einsetzen ?
Und dann die dritte nach b1 umfromen und in die erste einsetzen ?
Und wenn ja wozu eingentlich.
Ich habe so das Gefühl das die Aufgabe so noch nicht fertig ist... Tja.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Di 01.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sebastian
> Guten morgen zusammen.
> Hab mal wieder was gerechnet und freue mich auf Durchsicht
> des Ganzen :)
>
> Aufg. 6.1:
> Für welche b = (b1; b2; b3) ist das Gleichungssystem
> x1 + 2x2 = b1
> 2x1 + 3x2 = b2
> 3x1 + x2 = b3
> lösbar.
>
> Habe dann folgendes gemacht:
> [mm] ${\begin{pmatrix}
> 1 & 2 & b_1 \\
> 2 & 3 & b_2 \\
> 3 & 1 & b_3
> \end{pmatrix}
> }$
[/mm]
> ein paar Matrix-Umformungen
> =>
> [mm] ${\begin{pmatrix}
> 1 & 2 & b_1 \\
> 0 & -1 & b_2-2b_1 \\
> 0 & 0 & b_3-5b_2+7b_1
> \end{pmatrix}
> }$
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das scheint zu stimmen. 
> Ok. Jetzt habe ich ja eigentlich immer noch drei
> Gleichungen, aber ich kann sagen wenn die letzte Zeile
> lösbar ist, was offensichtlich der Fall ist, ist das Ganze
> lösbar.
> Was muss ich denn jetzt noch tun ?
>
jetzt musst du eben noch untersuchen, wann das Gleichungssystem lösbar ist...
> Muss ich die 3te Zeile nach b2 umformen und dann in die
> zweite einsetzen ?
> Und dann die dritte nach b1 umfromen und in die erste
> einsetzen ?
> Und wenn ja wozu eingentlich.
>
> Ich habe so das Gefühl das die Aufgabe so noch nicht fertig
> ist... Tja.
>
>
Sieh' dir einfach mal die 3. Zeile an. Was bedeutet sie?
Ich denke, sie repräsentiert die folgende Gleichung:
[mm] $0*x_{1}+0*x_{2}=b_{3}-5b_{2}+7b_{1}$
[/mm]
Mit anderen Worten: [mm] $b_{3}-5b_{2}+7b_{1}=0$
[/mm]
Das ist genau die Bedingung, welche diese [mm] $b_i$ [/mm] erfüllen müssen.
Geometrisch könntest du sagen: sie liegen auf einer Ebene, wobei
[mm] $(b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] = (0,0,0)$ in dieser Ebene enthalten ist.
Ich würde die Ebenengleichung noch mit der Parameterdarstellung angeben, also etwa so:
[mm] $(b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] = [mm] \lambda_1*(?,1,0) [/mm] + [mm] \lambda_2*(?,0,1)$,
[/mm]
wobei die Fragezeichen noch zu bestimmen sind.
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Di 01.06.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo Paul und andere natürlich,
Nach Paul gilt (warum eigentlich ?)
P1 := [mm] $(b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] = [mm] \lambda_1*(?,1,0) [/mm] + [mm] \lambda_2*(?,0,1)$, [/mm]
würde auch gelten
S1 := [mm] $(b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] = [mm] \lambda_1*(0,1,?) [/mm] + [mm] \lambda_2*(1,?,0)$, [/mm]
?
Zum ersten 3-Tupel (?,1,0).
Die dritte Spalte fellt raus.
[mm] ${\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & -1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
}$
[/mm]
=> x1 = -2
Zum zweiten 3-Tupel:
[mm] ${\begin{pmatrix}
1 & 2 & b_1 \\
0 & -1 & b_2-2b_1 \\
0 & 0 & b_3-5b_2+7b_1
\end{pmatrix}
}$
[/mm]
Aus P1 und der Matrix folgt dann:
[mm] ${\begin{pmatrix}
1 & b_1 \\
0 & b_2-2b_1 \\
0 & b_3-5b_2+7b_1
\end{pmatrix}
}$
[/mm]
Die zweite Spalte ist rausgefallen. Klar, weil x2 = 0 nach P1.
x3 ist ja 1.
Was heist das für x1 ?
Naja, das sieht man gleich aus der ersten Zeile: x1 = b1.
=>
[mm] $(b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] = [mm] \lambda_1*(-2,1,0) [/mm] + [mm] \lambda_2*(b1,0,1)$, [/mm]
Richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Di 01.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sebastian
> Hallo Paul und andere natürlich,
>
> Nach Paul gilt (warum eigentlich ?)
> P1 := [mm] $(b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] = [mm] \lambda_1*(?,1,0) [/mm] +
> [mm] \lambda_2*(?,0,1)$, [/mm]
Ja, warum eigentlich?
Nun, die Gleichung lautet ja: [mm] $7b_1-5b_2+b_3=0$
[/mm]
Nach einem Prinzip über das Auflösen linearer Gleichungssysteme gilt doch, Dass man eine spezielle Lösung haben muss (die ist hier [mm] $(b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] =(0,0,0)$ und dann die weiteren Lösungen folgendermassen herausfindet (jetzt aber speziell auf dieses System bezogen):
Setze [mm] $b_2 [/mm] = 1$ und [mm] $b_3 [/mm] = 0$ und löse das Gleichungssstem nach [mm] $b_1$ [/mm] auf. So erhältst du einen Richtungsvektor: [mm] $(\bruch{5}{7} [/mm] ,1 ,0)$
nachher setzt du [mm] $b_3 [/mm] = 1$ und [mm] $b_2 [/mm] = 0$ und löst das Gleichungssstem nach [mm] $b_1$ [/mm] auf. So erhältst du einen weiteren Richtungsvektor: [mm] $(-\bruch{1}{7} [/mm] ,0 ,1)$
Für die allgemeine Lösung erhält man dann: eine spezielle Lösung plus alle Linearkombinationen der Richtungsvektoren.
Mit der speziellen Lösung $(0,0,0)$ habe ich dann eben die von mir angegebene Darstellung gefunden.
Man hätte an Stelle von [mm] $\lambda_1$ [/mm] auch gleich [mm] $b_2$ [/mm] einsetzen können und für [mm] $\lambda_2 \, \, b_3$, [/mm] dann hätte die Lösung so ausgesehen:
[mm] $(\bruch{5}{7}b_2-\bruch{1}{7}b_3,b_2,b_3)$, [/mm] wobei [mm] $b_2$ [/mm] und [mm] $b_3$ [/mm] frei wählbar sind.
So, jetzt sind die Fragezeichen also auch schon ersetzt! 
> S1 := [mm] $(b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] = [mm] \lambda_1*(0,1,?) [/mm] +
> [mm] \lambda_2*(1,?,0)$, [/mm]
> ?
>
Das will ich jetzt nicht unbedingt überprüfen. Wichtig ist einfach, dass die beiden Richtungsvektoren den Unterraum des zugeordneten homogenen Gleichungssystem aufspannen. (Hier ist das zugeordnete homogene Gleichungssystem natürlich das Gleichungssystem selbst)
> Zum ersten 3-Tupel (?,1,0).
> Die dritte Spalte fellt raus.
> [mm] ${\begin{pmatrix}
> 1 & 2 \\
> 0 & -1 \\
> 0 & 0
> \end{pmatrix}
> }$
[/mm]
> => x1 = -2
>
> Zum zweiten 3-Tupel:
> [mm] ${\begin{pmatrix}
> 1 & 2 & b_1 \\
> 0 & -1 & b_2-2b_1 \\
> 0 & 0 & b_3-5b_2+7b_1
> \end{pmatrix}
> }$
[/mm]
> Aus P1 und der Matrix folgt dann:
> [mm] ${\begin{pmatrix}
> 1 & b_1 \\
> 0 & b_2-2b_1 \\
> 0 & b_3-5b_2+7b_1
> \end{pmatrix}
> }$
[/mm]
> Die zweite Spalte ist rausgefallen. Klar, weil x2 = 0 nach
> P1.
> x3 ist ja 1.
> Was heist das für x1 ?
> Naja, das sieht man gleich aus der ersten Zeile: x1 =
> b1.
>
Da konnte ich jetzt nicht ganz folgen. Nach mir gilt eben: [mm] $7b_1-5b_2+b_3$ [/mm] muss $0$ sein, und somit eben nach dem Obigen:
[mm] $b_1=\bruch{5}{7}b_2-\bruch{1}{7}b_3$
[/mm]
[mm] $b_2=b_2$, [/mm] also beliebig
[mm] $b_3=b_3$, [/mm] also ebenfalls beliebig
Das bedeutet für das Gleichungssystem, es muss die folgende Form haben:
[mm] $x_1+2x_2=\bruch{5}{7}b_2-\bruch{1}{7}b_3$
[/mm]
[mm] $2x_1+3x_2=b_2$
[/mm]
[mm] $3x_1+x_2=b_3$
[/mm]
wobei [mm] $b_2$ [/mm] und [mm] $b_3$ [/mm] noch beliebig zu wählen sind.
Beachte dabei nochmals, dass so die dritte Zeile deiner umgeformten Matrix
[mm] $0x_1+0x_2=b_3-5b_2+7b_1$ [/mm] auf alle Fälle erfüllt ist.
> =>
> [mm] $(b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] = [mm] \lambda_1*(-2,1,0) [/mm] +
> [mm] \lambda_2*(b1,0,1)$, [/mm]
>
> Richtig ?
>
Weiss ich nicht. Kanns du aber einfach selber überprüfen, wenn du für [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] beliebige Werte einsetztst, damit [mm] $b_1,\, b_2$ [/mm] und [mm] $b_3$ [/mm] berechnest und überprüfst, ob die Gleichung
[mm] $b_3-5b_2+7b_1 [/mm] = 0$ erfüllt ist.
P.S. Oben hätte man natürlich auch so vorgehen können, dass man [mm] $b_1$ [/mm] und [mm] $b_2$ [/mm] als frei wählbar vorgibt, und daraus dann [mm] $b_3$ [/mm] berechnen muss, oder aber:
[mm] $b_1$ [/mm] und [mm] $b_3$ [/mm] sind frei wählbar, und [mm] $b_2$ [/mm] wird dann aus diesen beiden bestimmt.
Das hängt vom Geschmack ab!
Mit lieben Grüssen
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