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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Fr 29.07.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo!
Zur Zeit behandeln wir die Lapalce-Gleichung im $\ [mm] \IR^n [/mm] $. Sie besitzt ja eine Fundamentallösung
[mm] \phi(x)=\begin{cases} c_1 \log{(|x|)}, & \mbox{für } n=2 \\ c_2 \bruch{1}{|x|^{n-2}}, & \mbox{für } n \ge 3 \end{cases}[/mm]
Wie man darauf kommt, ist mir klar. Wenn ich nun zur Poissongleichung
[mm] -\Delta u = f [/mm]
übergehe, kann man ja beweisen, dass die Lösung $\ u $ folgende Gestalt hat:
[mm] u(x) = \integral_{\IR^n} \phi(y) f(y-x) dy [/mm]
Nun will man ja zeigen, dass dieses $\ u $ die Poissongleichung erfüllt. Leider verstehe ich folgende (total trivial) aussehende Abschätzung nicht:
[mm]\integral_{B_{\epsilon(0) =\{x\in \IR^n : \parallel{x}\parallel < \epsilon\}}}{\phi(x) dx}\le \begin{cases} c_3 \epsilon^2 |\log{\epsilon}|, & \mbox{für } n=2\ \\ c_4 \epsilon^2, & \mbox{für } n \ge 3 \end{cases} [/mm]
Wenn man dann den $\ [mm] \epsilon \to [/mm] 0 $ gehen lässt, kann man mit De L'hospital zeigen, dass der Grenzwert 0 ist. Aber wieso gilt die Abschätzung von $\ [mm] \phi [/mm] $ ? Bitte entschuldigt, wenn es eine total triviale Ungleichung ist, aber ich sehe momentan wirklich nicht ein.
mfg
KaloR
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Hallo,
> Hallo!
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> Zur Zeit behandeln wir die Lapalce-Gleichung im [mm]\ \IR^n [/mm].
> Sie besitzt ja eine Fundamentallösung
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> [mm]\phi(x)=\begin{cases} c_1 \log{(|x|)}, & \mbox{für } n=2 \\ c_2 \bruch{1}{|x|^{n-2}}, & \mbox{für } n \ge 3 \end{cases}[/mm]
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> Wie man darauf kommt, ist mir klar. Wenn ich nun zur
> Poissongleichung
>
> [mm]-\Delta u = f[/mm]
>
> übergehe, kann man ja beweisen, dass die Lösung [mm]\ u[/mm]
> folgende Gestalt hat:
>
> [mm]u(x) = \integral_{\IR^n} \phi(y) f(y-x) dy[/mm]
>
> Nun will man ja zeigen, dass dieses [mm]\ u[/mm] die
> Poissongleichung erfüllt. Leider verstehe ich folgende
> (total trivial) aussehende Abschätzung nicht:
>
> [mm]\integral_{B_{\epsilon(0) =\{x\in \IR^n : \parallel{x}\parallel < \epsilon\}}}{\phi(x) dx}\le \begin{cases} c_3 \epsilon^2 |\log{\epsilon}|, & \mbox{für } n=2\ \\ c_4 \epsilon^2, & \mbox{für } n \ge 3 \end{cases}[/mm]
>
> Wenn man dann den [mm]\ \epsilon \to 0[/mm] gehen lässt, kann man
> mit De L'hospital zeigen, dass der Grenzwert 0 ist. Aber
> wieso gilt die Abschätzung von [mm]\ \phi[/mm] ? Bitte
> entschuldigt, wenn es eine total triviale Ungleichung ist,
> aber ich sehe momentan wirklich nicht ein.
>
schon mal was von der transformationsformel für rotationssymmetrische funktionen gehört? Die braucht man hier wohl.
es ist doch
[mm] $\int_{B_{\epsilon}(0)} [/mm] f(|x|) dx [mm] =C\int_0^\epsilon [/mm] f(r) [mm] r^{n-1}dr$
[/mm]
Sollte in jedem Buch über mehrdimensionale integration stehen. Wenn Du diese formel anwendest, kommst du ziemlich schnell zum ziel.
Gruss
Matthias
> mfg
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> KaloR
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kalor |
Ah super! Danke dir Matthias. Die Formel ist sicherlich zu finden in einem meiner alten Analysisnotizen, aber wie das so ist, wenn man etwas nicht häufig braucht, vergisst man es auch ziemlich schnell wieder.
Mit der Formel ist Abschätzung aber trivial! Nochmals danke!
Gruss
KaloR
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