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Hallo,
ich habe eine Aufgabe vorliegen. Typ: lineare DGL 6. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Nun möchte ich das reelle Fundamentalsystem angeben und habe bereits ein Ergebnis, welches ich gerne in Wolfram Alpha überprüfen würde. Was muss ich eingeben?
Die Funktion lautet:
[mm] y^{(6)}-6y^{(5)}+27y^{(4)}-28y^{'''}+3y^{''}+234y^{'}+169y=0
[/mm]
Ich habe bereits mit dem charakteristischen Polynom die Nullstellen ermittelt.
ich bin dann von den Nullstellen auf [mm] u_{i} [/mm] gekommen, mit i=1,2,3,4,5,6
Das komplexe Fundamentalsystem ist kein Problem, jedoch bin ich beim Übergang vom komplexen System zum Reellen etwas unsicher.
In diesem Fall sieht mein komplexes FS in der Form [mm] \{u_{1},u_{2}, z_{3},z_{4},z_{5}, z_{6}\} [/mm] ( mit u=reele Lösungen und z= komplexe) so aus:
[mm] \{e^{-x},xe^{-x},e^{(2+3i)x},xe^{(2+3i)x},e^{(2-3i)x},xe^{(2-3i)x}\}
[/mm]
Wenn ich jetzt für den Re(z) von den komplexen Lösungen ermitteln möchte erhalte ich für [mm] Re(z_{3})=Re(z_{5})=e^{2}*cos(3x)
[/mm]
Aber dann würden ja für komplexe Lösungen mit diesen Verfahren 8 Reelle entspringen oder verstehe ich hier was falsch? Werden doppelte Lösungen in diesem Verfahren nur einmal in das reelle System aufgenommen und nicht wie zuvor mit einem "x*" versehen?
Hoffe es ist verständlich.
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 So 05.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \lambda=a+ib [/mm] eine k-fache Nullstelle des char. Polynoms der homogenen DGL mit a,b [mm] \in \IR [/mm] und b [mm] \ne [/mm] 0.
Da dieses Polynom reelle Koeffizienten hat, ist auch [mm] \overline{\lambda} [/mm] eine k-fache Nullstelle.
Linear unabhängige Lösungen der DGL sind also [mm] x^ke^{\lambda x} [/mm] und [mm] x^ke^{\overline{\lambda} x}.
[/mm]
Für ein reelles Fundamentalsystem streiche man die Lösung [mm] x^ke^{\overline{\lambda} x}.
[/mm]
Dafür bekommt man mit
$Re [mm] (x^ke^{\lambda x})=x^ke^{ax}cos(bx)$ [/mm] und $Im [mm] (x^ke^{\lambda x})=x^ke^{ax}sin(bx) [/mm] $
2 reelle linear unabhängige Lösungen.
FRED
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Also man betrachtet für das reelle Fundamental immer nur eine komplexe Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:00 Mo 06.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Für ein reelles FS streicht man eine der beiden komplexen Lösungen
$ [mm] x^ke^{\lambda x} [/mm] $ und $ [mm] x^ke^{\overline{\lambda} x}. [/mm] $
und bastelt daraus die zwei reellen Lösungen
$ Re [mm] (x^ke^{\lambda x})=x^ke^{ax}cos(bx) [/mm] $ und $ Im [mm] (x^ke^{\lambda x})=x^ke^{ax}sin(bx) [/mm] $
FRED
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