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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Funktionen f auf ihren Definitionsbereichen
auf Differenzierbarkeit und berechnen Sie gegebenenfalls ihre Ableitung.
a) f(x) := [mm] (1+x^{2})(x^{4}-7)^{3} [/mm] |
Hallo!
Ich hab mal kurz ne Frage zu der Aufgabe.
Reicht es wenn ich die Funktion Ableite um zu prüfen ob sie differenzierbar ist?
Vielen Dank!
Charlie
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Hallo!
Nein ich fürchte das reicht nicht du musst die korrekte Definition anwenden von diff.-barkeit und kannst evtl noch zeigen ob die fkt stetig ist. dann kannst du die ableitung bilden. anhand der abbildung weiss man nicht o die fkt diff.bar ist
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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> Untersuchen Sie die folgenden Funktionen f auf ihren
> Definitionsbereichen
> auf Differenzierbarkeit und berechnen Sie gegebenenfalls
> ihre Ableitung.
>
> a) f(x) := [mm](1+x^{2})(x^{4}-7)^{3}[/mm]
> Hallo!
> Ich hab mal kurz ne Frage zu der Aufgabe.
> Reicht es wenn ich die Funktion Ableite um zu prüfen ob
> sie differenzierbar ist?
Hallo,
nein, das reicht nicht, aber keinesfalls mußt Du bis zur Definition der Differenzierbarkeit zurückgehen!
Du hast es hier mit Summen und Produkten diffbarer Funktionen zu tun, daher ist die Funktion diffbar.
Möglicherweise mußt Du das für die Übung schrittweise aufführen, wie da welche diffbaren Funktione kombiniert werden.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:39 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Charlie1984 |
Ahh super, denn ich habs leider nicht ganz verstanden wie ich die Definition der Differenzierbarkeit nun wirklich anwende!
Kann ich denn aus der Stetigkeit (bzw. aus Summen oder Produkten solcher) darauf schließen dass ich eine diffbar. Funktion habe. Im allg. doch nicht (Stichwort Betrag-fkt.)
Ich glaube ich habe da noch was nicht ganz verstanden (oder falsch verstanden..:-( )
Aber erstmal vielen dank für die schnellen Antworten!!
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> Kann ich denn aus der Stetigkeit (bzw. aus Summen oder
> Produkten solcher) darauf schließen dass ich eine diffbar.
> Funktion habe. Im allg. doch nicht (Stichwort Betrag-fkt.)
>
> Ich glaube ich habe da noch was nicht ganz verstanden (oder
> falsch verstanden..:-( )
Weder noch - ich hatte das Falsche hingeschrieben (auch wenn es für sich genommen richtig war.)
Lies jetzt nochmal, ich hab's korrigiert.
Gruß v. Angela
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Also ich hab jetzt mich mal versucht :
Ich nehme die erste Teilfunktion [mm] (1+x^{2}) [/mm] und prüfe auf diffbarkeit.
[mm] \bruch{f(x) - f(x_{n})}{x - x_{n}} [/mm] also : [mm] \bruch{(1+x^{2}) - (1+x_{n}^{2})}{x^{2} - x_{n}^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1+x^{2} - 1-x_{n}^{2}}{x^{2} - x_{n}^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2} - x_{n}^{2}}{x^{2} - x_{n}^{2}} [/mm] = 1 ist also diffbar (??)
und : [mm] \bruch{(x^{4}-7) - (x_{n}^{4}-7)}{x^{4} - x_{n}^{4}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{4}-7 - x_{n}^{4}+7}{x^{4} - x_{n}^{4}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{4} - x_{n}^{4}}{x^{4} - x_{n}^{4}} [/mm] = 1 also auch diffbar. (??)
Da ein Produkt aus 2 diffbaren Fktn. auch wieder Diffbar ist folgt dass die Fkt. ist diffbar .
....so richtig ??
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> Also ich hab jetzt mich mal versucht :
>
> Ich nehme die erste Teilfunktion [mm](1+x^{2})[/mm] und prüfe auf
> diffbarkeit.
Ich guck da jetzt gar nicht, ob richtig oder falsch, ich meinte noch einfacher:
Ihr habt bestimmt gezeigt, daß die Funktion h(x):=const und g(x):=x diffbar sind.
Also ist
[mm] g_1(x):=x^2 [/mm] diffbar
Also ist [mm] g_2(x):=1+x^2 [/mm] diffbar,
Für die zweite Klammer auch so, dann für Klammer ^3
und schließlich fürs Produkt.
Gruß v. Angela
P.S.:
Ich hab' doch eine Blick auf Deinen Versuch geworfen: was machen denn da die Potenzen im Nenner???
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Aua...ich hab keine Ahnung..wie geasgt ich bin noch nicht so fit..^^> > Also ich hab jetzt mich mal versucht :
[mm] \bruch{f(x) - f(x_{n})}{x - x_{n}} [/mm] also : [mm] \bruch{(1+x^{2}) - (1+x_{n}^{2})}{x - x_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1+x^{2} - 1-x_{n}^{2}}{x - x_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2} - x_{n}^{2}}{x - x_{n}} [/mm] = x - [mm] x_{n} [/mm] für [mm] \limes_{x\rightarrow x_{n}} [/mm] folgt 2x also diffbar...so etwa ?
aber ich nheme natürlich lieber deine Variante...wesentlich eleganter.
Ich hoffe ich kann jezz auch noch b),c),d) so machen(die hatte ich erstmal nicht gepostet.Wenn Probleme auftreten, werde ich mich wohl wieder melden.
edit: Ich seh grad bei meiner b) f(x)= [mm] \bruch{2x^{2}}{\wurzel{x^{4}+1}}
[/mm]
Gilt auch bei einem Bruch die regel dass wenn Nnner wie Zähler diffbar sind dass auch der Bruch diffbar ist?
Vielen Dank !!!
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> Aua...ich hab keine Ahnung..wie geasgt ich bin noch nicht
> so fit..^^
Eben deshalb verstehe ich nicht, wieso Du auf Deinem Differentialquotienten beharren willst...
Bei meiner Variante brauchst Du das nicht - vorausgesetzt ihr hattet den Satz über Addition und Multiplikation schon.
Gruß v. Angela
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Also ich kann mich nicht so direkt dran erinnern..aber ich werde auf jeden Fall ab jetzt deine Variante nehmen...Wie sieht das mit Brüchen aus ..? kann ich auch genauso daraus folgern (z.B. in Teil b) )?
Sonst : vielen dank..hast mir doch sehr viel weiter geholfen.
Charlie
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Hallo,
hätte auch noch eine Frage, und zwar zum Definitionsbereich, wie finde ich den denn heraus, z.B. bei Aufgabe d) [mm] x^3*\wurzel{x}, [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0
ist doch eigentlich der Definitionsbereich durch x [mm] \ge [/mm] 0 schon gegeben oder nicht (also ich meine [mm] D=[0,\infty) [/mm] ) und Aufgabe a) z.B. ist auf ganz [mm] \IR [/mm] diffbar???
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Mo 07.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] 1.\wurzel{x} [/mm] ist bei 0 nicht diffb.! (Nachweis?)
die fkt in a) hat Nullstellen im Nenner, ist sie da diffb? oder definiert?
Gruss leduart
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