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also folgende funktion ist gegeben:
f (x1,x2,x3) = [mm] \produkt_{k=1}^{3} [/mm] sin x (x1,x2,x3) [mm] \in \IR(^3)
[/mm]
und man soll die jacobi matrix an der stelle (x1,x2,x3) [mm] (\in \IR(^3) [/mm] angeben).
Ich weiß dass ich die partiellen ableitungen machen muss. Jedoch ist das doch quasi ein polynom. ich weiß nicht wie ich die ableitung da handhaben muss. kann mir da jmd helfen?
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Geben Sie für die Funktion f = (f1; f2; f3) die Jacobi-Matrix an der Stelle
(x1; x2; x3) an, (x1; x2; x3) [mm] \in \IR(^3 [/mm] ).
das war die aufgabe dazu..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:00 So 06.02.2011 | | Autor: | nooschi |
> Geben Sie für die Funktion f = (f1; f2; f3) die
> Jacobi-Matrix an der Stelle
> (x1; x2; x3) an, (x1; x2; x3) [mm]\in \IR(^3[/mm] ).
>
> das war die aufgabe dazu..
die Aufgabenstellung macht so irgendwie nicht viel Sinn. f ist ja ne Funktion von [mm] $\IR ^3\rightarrow \IR$, [/mm] damit gibt es kein (f1; f2; f3)...
(oder ist f nicht so definiert: [mm] f(x_1,x_2,x_3)=\produkt_{i=1}^{3}\sin(x_i) [/mm] ?? du hast ja nur [mm] \sin(x) [/mm] geschrieben, aber da [mm] \sin [/mm] Funktion von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ist, macht das auch kein Sinn)
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Hallo Jessica2011,
> also folgende funktion ist gegeben:
>
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> f (x1,x2,x3) = [mm]\produkt_{k=1}^{3}[/mm] sin x (x1,x2,x3) [mm]\in \IR(^3)[/mm]
>
> und man soll die jacobi matrix an der stelle (x1,x2,x3)
> [mm](\in \IR(^3)[/mm] angeben).
> Ich weiß dass ich die partiellen ableitungen machen muss.
> Jedoch ist das doch quasi ein polynom. ich weiß nicht wie
> ich die ableitung da handhaben muss. kann mir da jmd
> helfen?
Die partielle Ableitung von
[mm]f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\sin\left(x_{1}\right)*\sin\left(x_{2}\right)*\sin\left(x_{3}\right)[/mm]
nach [mm]x_{1}[/mm] bestimmt sich so:
[mm]\bruch{\partial f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{\partial x_{1}}=\bruch{\partial}{\partial x_{1}} \left( \ \sin\left(x_{1}\right)*\sin\left(x_{2}\right)*\sin\left(x_{3}\right) \right)=\left(\bruch{d}{d x_{1}} \sin\left(x_{1}\right)\right)\sin\left(x_{2}\right)*\sin\left(x_{3}\right)[/mm]
Analog die anderen partiellen Ableitungen.
Gruss
MathePower
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[mm] \bruch{\partial f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{\partial x_{1}}=\bruch{\partial}{\partial x_{1}} \left( \ \sin\left(x_{1}\right)\cdot{}\sin\left(x_{2}\right)\cdot{}\sin\left(x_{3}\right) \right)=\left(\bruch{d}{d x_{1}} \sin\left(x_{1}\right)\right)\sin\left(x_{2}\right)\cdot{}\sin\left(x_{3}\right)
[/mm]
du hast es jedoch nicht vollendet, oder nicht :/
Ableitung von sin ist ja cosinus, dh die ableitung nach x1 wäre doch dann endgültig:
cos(x1)*sinx2*sinx3 ?
und [mm] \produkt_{k=1}^{3} [/mm] muss ich nicht weiter beachten??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 So 06.02.2011 | | Autor: | nooschi |
> [mm]\bruch{\partial f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{\partial x_{1}}=\bruch{\partial}{\partial x_{1}} \left( \ \sin\left(x_{1}\right)\cdot{}\sin\left(x_{2}\right)\cdot{}\sin\left(x_{3}\right) \right)=\left(\bruch{d}{d x_{1}} \sin\left(x_{1}\right)\right)\sin\left(x_{2}\right)\cdot{}\sin\left(x_{3}\right)[/mm]
>
> du hast es jedoch nicht vollendet, oder nicht :/
>
> Ableitung von sin ist ja cosinus, dh die ableitung nach x1
> wäre doch dann endgültig:
>
> cos(x1)*sinx2*sinx3 ?
jap
> und [mm]\produkt_{k=1}^{3}[/mm] muss ich nicht weiter beachten??
das wurde ja beachtet!
MathePower hat das ja bereits ausgeschrieben:
[mm] f(x_1,x_2,x_3)=\produkt_{i=1}^{3}\sin(x_i)=\sin(x_1)\cdot\sin(x_2)\cdot\sin(x_3)
[/mm]
und jetzt die Ableitung wie oben.
(wenn man zB nach [mm] x_1 [/mm] ableitet, können die anderen (d.h. [mm] x_2, x_3) [/mm] als konstant angeschaut werden, d.h. [mm] \sin(x_2)\cdot\sin(x_3) [/mm] ist eine Konstante, die multipliziert wird, du weisst bestimmt, dass man bei der Ableitung solche Konstanten einfach stehen lassen kann)
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oki doki... wäre das so jetzt richtig ?
D f2 (x1,x2,x3)=
( cos(x1)*sin(x2)*sin(x3) sin(x1)*cos(x2)*sin(x3) sin(x1)*sin(x3)*cos(x3))
so mehr muss ich nicht machen, oder?
Dann habe ich noch eine frage und zwar was wäre wenn
[mm] \produkt_{k=2}^{3} [/mm] wäre ? .. was würde sich ändern wenn k nicht eins wäre.. das ist mir noch nicht so ganz klar..
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Hallo Jessica2011,
> oki doki... wäre das so jetzt richtig ?
>
> D f2 (x1,x2,x3)=
>
> ( cos(x1)*sin(x2)*sin(x3) sin(x1)*cos(x2)*sin(x3)
> sin(x1)*sin(x3)*cos(x3))
Hier hast Du Dich bestimmt verschrieben:
[mm]\pmat{ cos(x_{1})*sin(x_{2})*sin(x_{3}) & sin(x_{1})*cos(x_{2})*sin(x_{3}) & sin(x_{1})*sin(x_{\blue{2}})*cos(x_{3})}[/mm]
>
> so mehr muss ich nicht machen, oder?
Ja, damit ist die Aufgabe erledigt.
>
> Dann habe ich noch eine frage und zwar was wäre wenn
>
> [mm]\produkt_{k=2}^{3}[/mm] wäre ? .. was würde sich ändern wenn
> k nicht eins wäre.. das ist mir noch nicht so ganz klar..
Nun, dann gibt es keine Abhängigkeit von [mm]x_{1}[/mm].
Damit verschwindet auch die partielle Ableitung nach [mm]x_{1}[/mm].
Gruss
MathePower
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okay danke dann erstmal.. und dann hätte ich noch eine frage zum zweiten aufgabenteil..
Bestimmen Sie für die folgenden Werte jeweils den Gradienten von fj an der Stelle xj sowie
die Richtungsableitung von fj an der Stelle xj in Richtung vj , j = 1, 2, 3 .
x = ( [mm] \pi [/mm] /4, [mm] -\pi/4, \pi/4) [/mm] , V= 1/ ( [mm] \wurzel{3}) [/mm] (1,1,1)
muss ich jetzt um den Gradienten an der stelle x zu bestimmen jeweils in die ableitung nach x1 z.b. [mm] \pi/4 [/mm] setzen und so weiter ? :/
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Hallo Jessica2011,
> okay danke dann erstmal.. und dann hätte ich noch eine
> frage zum zweiten aufgabenteil..
>
> Bestimmen Sie für die folgenden Werte jeweils den
> Gradienten von fj an der Stelle xj sowie
> die Richtungsableitung von fj an der Stelle xj in Richtung
> vj , j = 1, 2, 3 .
>
> x = ( [mm]\pi[/mm] /4, [mm]-\pi/4, \pi/4)[/mm] , V= 1/ ( [mm]\wurzel{3})[/mm]
> (1,1,1)
>
> muss ich jetzt um den Gradienten an der stelle x zu
> bestimmen jeweils in die ableitung nach x1 z.b. [mm]\pi/4[/mm]
> setzen und so weiter ? :/
Ja.
Gruss
MathePower
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okay für die ableitung nach x1 habe ich : -0, 000000187
für die ableitung nach x2: 0,000187873
und für die ableitung nach x3 habe ich : -0,000187873
wäre das so richtig ? muss ich da noch was machen ?
wie bestimme ich jetzt aber die richtungsableitung für v= 1 / ( [mm] \wurzel{3} [/mm] )
(1,1,1)
wir hatten uns aufgeschrieben, dass df /dv = v* gradient f [mm] (x,y)^T [/mm] ist
muss ich also wieder 1,1,1 in die partiellen ableitungen einsetzen und dann mal v= 1 / ( [mm] \wurzel{3} [/mm] ) nehmen?
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Hallo Jessica2011,
> okay für die ableitung nach x1 habe ich : -0, 000000187
> für die ableitung nach x2: 0,000187873
> und für die ableitung nach x3 habe ich : -0,000187873
>
> wäre das so richtig ? muss ich da noch was machen ?
Die Zahlenwerte stimmen nicht.
Stelle doch Deinen TR auf den Modus "RAD" um.
>
> wie bestimme ich jetzt aber die richtungsableitung für v=
> 1 / ( [mm]\wurzel{3}[/mm] )
> (1,1,1)
>
> wir hatten uns aufgeschrieben, dass df /dv = v* gradient f
> [mm](x,y)^T[/mm] ist
>
> muss ich also wieder 1,1,1 in die partiellen ableitungen
> einsetzen und dann mal v= 1 / ( [mm]\wurzel{3}[/mm] ) nehmen?
Nein, Du musst hier nur das Skalarprodukt von der Richtung
[mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}*\pmat{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
mit dem Gradienten von f an der besagten Stelle bilden.
Gruss
MathePower
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hmm versteh ich nicht so ganz...
muss ich also den wert den ich nach der einsetzung für x1 erhalte mal v nehmen ?
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eigentlich war mein taschenrechner auf rad eingestellt .. ich habe folgendes gerechnet:
d/dx1 f(x1,x2,x3)= [mm] cos(\pi [/mm] /4)* sin(- [mm] \pi [/mm] /4)* [mm] sin(\pi [/mm] /4) =-0,000000187
:/ .. was hab ich falsch gemacht
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ja dann würde das ja so aussehen :
1 / ( [mm] \wurzel{3} [/mm] ) + 1 / ( [mm] \wurzel{3} [/mm] ) + 1 / ( [mm] \wurzel{3} [/mm] )
aber was mach ich jetzt damit ?!? ...
und was habe ich bei der Berechnung der Gradienten falsch gemacht, kannst du das nochmal kontrollieren ? habe dir meinen rechenweg aufgeschrieben.
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Hallo Jessica2011,
> ja dann würde das ja so aussehen :
>
> 1 / ( [mm]\wurzel{3}[/mm] ) + 1 / ( [mm]\wurzel{3}[/mm] ) + 1 / ( [mm]\wurzel{3}[/mm]
> )
Das stimmt nicht.
Die Richtungsableitung in dieser Richtung ergibt sich zu:
[mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}*\bruch{\partial f}{\partial x_{1}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}*\bruch{\partial f}{\partial x_{2}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}*\bruch{\partial f}{\partial x_{3}}[/mm]
Das ganze ist dann an der Stelle [mm]\left(\bruch{\pi}{4}, \ -\bruch{\pi}{4}, \ \bruch{\pi}{4}\right)[/mm] zu betrachten.
>
> aber was mach ich jetzt damit ?!? ...
>
> und was habe ich bei der Berechnung der Gradienten falsch
> gemacht, kannst du das nochmal kontrollieren ? habe dir
> meinen rechenweg aufgeschrieben.
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x_{1}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x_{2}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x_{3}
in die jeweilige ableitung muss ich dann doch x1, x2,x3 also (pi/4 , -pi/4, pi/4) einsetzen oder nicht ? so dass ich eine gleichung zu berechnen habe ? ...
was sagt mir dann das ergebnis aus ? ..
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$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x_{1}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x_{2}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x_{3}} [/mm] $
meinte ich ?
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Hallo Jessica2011,
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x_{1}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x_{2}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial x_{3}}[/mm]
>
> meinte ich ?
So, habe ich das auch geschrieben.
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Jessica2011,
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> \bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\bruch{\partial f}{\partial
> x_{1}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\bruch{\partial
> f}{\partial
> x_{2}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\bruch{\partial
> f}{\partial x_{3}
>
> in die jeweilige ableitung muss ich dann doch x1, x2,x3
> also (pi/4 , -pi/4, pi/4) einsetzen oder nicht ? so dass
> ich eine gleichung zu berechnen habe ? ...
Das ist richtig.
> was sagt mir dann das ergebnis aus ? ..
Die Richtungsableitung ist gibt die momentane Änderungsrate der
Funktion an der Stelle [mm]\left(\bruch{\pi}{4} , \ -\bruch{\pi}{4}, \ \bruch{\pi}{4}\right)[/mm] in Richtung des Vektors [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}*\pmat{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] an.
Gruss
MathePower
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Hallo Jessica2011,
> eigentlich war mein taschenrechner auf rad eingestellt ..
> ich habe folgendes gerechnet:
>
> d/dx1 f(x1,x2,x3)= [mm]cos(\pi[/mm] /4)* sin(- [mm]\pi[/mm] /4)* [mm]sin(\pi[/mm] /4)
> =-0,000000187
>
> :/ .. was hab ich falsch gemacht
Das kann ich Dir nicht sagen.
Die Werte für [mm]\sin\left(\bruch{\pi}{4}\right)[/mm] und [mm]\cos\left(\bruch{\pi}{4}\right)[/mm]
sollten bekannt sein.
Gruss
MathePower
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Hallo Jessica2011,
> hmm versteh ich nicht so ganz...
> muss ich also den wert den ich nach der einsetzung für x1
> erhalte mal v nehmen ?
Siehe hier: Skalarprodukt
Gruss
MathePower
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