Funktion Maximumstelle < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Fr 13.05.2011 | | Autor: | kiwibox |
| Aufgabe | | Die Einschränkung der Funktion f : [mm] \IR^2 [/mm] → [mm] \IR, [/mm] f(x, y) = x + y auf die Teilmenge M = {(x, y) [mm] \in \IR2; x^2 [/mm] + [mm] 3y^2 [/mm] ≤ 1} besitzt eine genau eine Maximumstelle. Warum? Wo liegt diese Stelle? |
Hallo liebes Forum,
Ich soll die o.g. Aufgabe lösen. Die Maximumstelle habe ich schon herausgefunden. Leider weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass es genau eine Maximumstelle existiert.
In der Vorlesung habe ich zwar einen Satz dazu gefunden: Sei K [mm] \subseteq \IR^n [/mm] kompakt, f: K [mm] \to \IR [/mm] stetig, dann hat f eine Maximum- und Minimumstelle.
Klar ist, das mein f stetig ist....wenn es nicht offensichtlich ist, würde ich dann auch noch den [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Beweis machen.
Mein Problem ist hier zu zeigen: warum ist mein M kompakt (davon geht ja nun meine Funktion von aus)
Ich weiß, wenn ich kompakt zeigen will, muss ich abgeschlossen und beschränkt zeigen. Mein Problem, wie zeige ich das hier nun? Besonders bei der Abgeschlossenheit hab ich Probleme. Wir haben in der Vorlesung Abgeschlossenheit immer als Komplement offener Mengen definiert, aber darunter kann ich mir eben nichts vorstellen.
Zu beschränkt habe ich bisher auch noch keine gescheite Idee...muss ich da zeigen, das x beschränkt und y beschränkt ist (also einzeln)? Oder kann ich einfach sagen, dass es offensichtlich ist, dass x und y beschränkt sind, wg. [mm] x^2+3y^2 \le [/mm] 1?
Und wenn ich das alles gezeigt habe, dann bleibt noch die Frage nach "genau ein Maximum" übrig. Wie sollte ich da am besten angehen?
LG, kiwibox
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Fr 13.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hey,
du kannst auch versuchen, über die Definitheit der ![[]](/images/popup.gif) Hessematrix zu argumentieren.
Gruß
barsch
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> Die Einschränkung der Funktion f : [mm]\IR^2[/mm] → [mm]\IR,[/mm]
f(x, y) = x + y auf die Teilmenge
$\ M\ =\ [mm] \{\ (x, y)\,\in \IR^2\ :\ \ x^2\,+\ 3\,y^2\, \le\, 1\,\}$ [/mm]
> besitzt genau eine Maximumstelle. Warum? Wo
> liegt diese Stelle?
> Ich soll die o.g. Aufgabe lösen. Die Maximumstelle habe
> ich schon herausgefunden. Leider weiß ich nicht, wie ich
> zeigen soll, dass es genau eine Maximumstelle existiert.
>
> In der Vorlesung habe ich zwar einen Satz dazu gefunden:
> Sei K [mm]\subseteq \IR^n[/mm] kompakt, f: K [mm]\to \IR[/mm] stetig, dann
> hat f eine Maximum- und Minimumstelle.
>
> Klar ist, das mein f stetig ist....wenn es nicht
> offensichtlich ist, würde ich dann auch noch den
> [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Beweis machen.
> Mein Problem ist hier zu zeigen: warum ist mein M kompakt
> (davon geht ja nun meine Funktion von aus)
>
> Ich weiß, wenn ich kompakt zeigen will, muss ich
> abgeschlossen und beschränkt zeigen. Mein Problem, wie
> zeige ich das hier nun? Besonders bei der Abgeschlossenheit
> hab ich Probleme. Wir haben in der Vorlesung
> Abgeschlossenheit immer als Komplement offener Mengen
> definiert, aber darunter kann ich mir eben nichts
> vorstellen.
> Zu beschränkt habe ich bisher auch noch keine gescheite
> Idee...muss ich da zeigen, das x beschränkt und y
> beschränkt ist (also einzeln)? Oder kann ich einfach
> sagen, dass es offensichtlich ist, dass x und y beschränkt
> sind, wg. [mm]x^2+3y^2 \le[/mm] 1?
>
> Und wenn ich das alles gezeigt habe, dann bleibt noch die
> Frage nach "genau ein Maximum" übrig. Wie sollte ich da am
> besten angehen?
>
> LG, kiwibox
Hallo kiwibox,
mir schiene da ein geometrischer Beweis am anschaulichsten.
Die Menge M in der x-y-Ebene ist eine elliptische Scheibe (mit
Rand). Diese ist offensichtlich kompakt. Vielleicht musst du das
aber noch begründen.
Die Niveaulinien x+y=c der linearen Funktion f bilden
eine nach ihrem Parameter c geordnete Parallelenschar. Es gibt
Niveaulinien, welche M meiden, solche die M entlang einer
Ellipsensehne positiver Länge durchqueren und genau 2, welche
M nur in je einem Randpunkt berühren. Einer dieser Randpunkte
(derjenige "rechts oben" im KS) liefert das Maximum, der andere,
der genau gegenüber liegt, das Minimum von f auf M.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Fr 13.05.2011 | | Autor: | kiwibox |
es tut mir leid, ich habe bisher noch nie was von den beiden Sachen gehört, daher darf ich das dann auch nicht anwenden.
gibt es da vielleicht nichts anderes?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Sa 14.05.2011 | | Autor: | huzein |
Vielleicht kannst du mit dem Mittelwertsatz oder mit dem Satz von Rolle was zeigen. Zur Abgeschlossenheit lässt sich noch folgendes sagen:
Sei [mm] $A\subseteq \mathbb R^2$. [/mm] Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
a. $A$ ist abgeschlossen.
b. Für jede in $A$ konvergente Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n\in [/mm] A$ folgt [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\in [/mm] A$
Evtl kannst du damit die Abgeschlossenheit zeigen.
Eindeutigkeitsbeweise zeigt man häufig indem man von zwei Maxima ausgeht und dann ein Widerspruch zur Voraussetzung schafft.
Zur Beschränktheit kann folgendes gesagt werden (Quelle: Wikipedia)
Eine Menge $S$ aus einem metrischen Raum $(M, d)$ heißt beschränkt, wenn sie in einer Kugel mit endlichem Radius enthalten ist, d.h. wenn ein $x$ aus $M$ und $r > 0$ existieren, so dass für alle $s$ aus $S$ gilt: $d(x, s) [mm] \leq [/mm] r$.
Beachte bitte, dass [mm] $x^2+3y^2\leq1$ [/mm] eine Ellipse darstellt.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Sa 14.05.2011 | | Autor: | fred97 |
1.Im Inneren von M liegt keine Extremstelle von f, denn der Gradient von f hat keine Nullstelle.
2. M ist kompakt und f ist stetig, also ex. [mm] p_1=(x_1,y_1), p_2=(x_2,y_2) [/mm] in M mit
f(x,y) [mm] \le f(p_1) [/mm] und f(x,y) [mm] \ge f(p_2) [/mm] für alle (x,y) [mm] \in [/mm] M
3. Wegen 1. gilt: [mm] p_1,p_2 \in \partial [/mm] M
4. Wegen 3. kann man die Multiplikatorenregel von Lagrange anwenden.
Mach das mal, und Du wirst sehen: für [mm] p_1 [/mm] kommt nur ein Punkt in FRage.
FRED
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