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Hallo,
habe Probleme mit folgender Aufgabe:
Zeige, dass die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} x+x^{2}*sin\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
im Punkt x=0 wächst, jedoch nicht auf Intervallen [mm] (-\varepsilon,\varepsilon) [/mm] (mit [mm] \varepsilon>0 [/mm] - beliebig klein), die diesen Punkt enthalten.
Zum Einen verwirrt mich, wie eine Funktion in einem Punkt wachsen kann.
Zum zweiten Teil hab ich mir so gedacht, die Funktion abzuleiten und die Nullstellen dieser Ableitung zu bestimmen. Dann sollten z.B. bei einer Nullstelle im Intervall [mm] (0,\varepsilon) [/mm] immer mindestens zwei Nullstellen im Intervall [mm] (-\varepsilon,0) [/mm] sein oder auch anders herum.
Nur leider gelingt es mir nicht, die Nullstellen der Ableitung zu finden [mm] (f^{(1)}(x) [/mm] = 1 + [mm] 2*x*sin\bruch{1}{x}-cos*\bruch{1}{x}).
[/mm]
Vielleicht liege ich auch völlig falsch mit meiner Herangehensweise.
Ich hoffe es kann wer helfen.
Vielen Dank
mfg
Berndte
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> Zeige, dass die Funktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x+x^{2}*sin\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> im Punkt x=0 wächst, jedoch nicht auf Intervallen
> [mm](-\varepsilon,\varepsilon)[/mm] (mit [mm]\varepsilon>0[/mm] - beliebig
> klein), die diesen Punkt enthalten.
>
> Zum Einen verwirrt mich, wie eine Funktion in einem Punkt
> wachsen kann.
Hallo Berndte,
das ist die Sache mit den Grenzwerten... Mich hat zu Schulzeiten die Momentangeschwindigkeit tagelang beschäftigt.
Die Ableitung im Punkt Null würde ich mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmen:
f'(0)= [mm] \limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{f(0+h)-f(0)}{(0+h)-0}.
[/mm]
Dieser Grenzwert ist positiv.
>
> Zum zweiten Teil hab ich mir so gedacht, die Funktion
> abzuleiten und die Nullstellen dieser Ableitung zu
> bestimmen.
> [mm](f^{(1)}(x)[/mm] = 1 +
> [mm]2*x*sin\bruch{1}{x}-cos*\bruch{1}{x}).[/mm]
Nimm Dir ein beliebiges [mm] \varepsilon>0. [/mm] Dann gibt es ja eine natürliche Zahl N so, daß [mm] \bruch{1}{N}< \varepsilon. [/mm] Also ist [mm] \bruch{1}{2 \pi N}< \varepsilon, [/mm] es liegt somit [mm] \bruch{1}{2 \pi N} [/mm] in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von 0 und es ist [mm] f'(\bruch{1}{2 \pi N})=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:50 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Berndte2002 |
Danke erstmal für die Antwort!
Also der erste Teil ist mir klar, wobei man den meiner Meinung nach auch ohne den Grenzwert ermitteln kann.
Denn eine Funktion ist ja monoton wachsend (fallend), wenn [mm] f'(x)\ge0 (f'(x)\le0) [/mm] ist. f'(x) = 0 für x=0 im falle der Aufgabe, und somit ist die Funktion im Punkt 0 sowohl monoton wachsend als auch fallend.
Kann man so argumentieren?
Im zweiten Teil ist [mm] f'(\bruch{1}{2 \pi N})=0.
[/mm]
Für N gegen [mm] \infty [/mm] gibt es also auch unendlich viele Extremstellen der Funktion und somit wächst sie nicht.
Ist das so in etwa richtig?
Danke
mfg
Berndte
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> Also der erste Teil ist mir klar, wobei man den meiner
> Meinung nach auch ohne den Grenzwert ermitteln kann.
Ja? Wie denn?
> ... f'(x) = 0 für x=0 im falle der
> Aufgabe,
Das stimmt nicht. Es ist [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(h)-f(0)}{h}= \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{h+h^{2}sin \bruch{1}{h}}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0}(1+hsin \bruch{1}{h}), [/mm] also deutlich positiv!
Über Teil 2 müßte ich später nochmal nachdenken, ich hab' da gerade eine temporäre (hoffentlich!!!) Verwirrung...
Gruß v. Angela
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Dem stimme ich nicht zu!
Wie du schon geschrieben hast, ist
f'(0) = [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{f(0+h)-f(0)}{(0+h)-0} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{f(h)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{h+h^{2}*sin(\bruch{1}{h})}{h} [/mm] = (l'hospital)
[mm] \limes_{h\rightarrow\infty}1+2*h*sin(\bruch{1}{h})-cos(\bruch{1}{h}) [/mm] = 1+0-1 = 0
Dies ist nicht positiv!
Für den zweiten Teil hab ich mir mal die Stellen [mm] \bruch{1}{2*\pi*n} [/mm] und [mm] \bruch{-1}{2*\pi*n} [/mm] genauer angesehen. Bei ersterer ist ein Maximum und bei zweiterer ist ein Minimum. Für n gegen unendlich als kommen immer wieder Teile in der Funktion, wo diese auch fällt. Somit wächst sie nicht!
Ich hoffe das stimmt soweit.
mfg
Berndte
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> Dem stimme ich nicht zu!
Ich werde Dich überzeugen.
Zum einen: Bist Du bereit meiner Argumentation [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h)}{h}= \limes_{h\rightarrow 0}(1+hsin \bruch{1}{h})=1+ \limes_{h\rightarrow 0}(hsin \bruch{1}{h}) [/mm] zu folgen?
sin oszilliert zw.-1 und 1, h [mm] \to [/mm] 0, also ist [mm] \limes_{h\rightarrow 0}(hsin \bruch{1}{h})=0. [/mm] Insgesamt [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h)}{h}=1.
[/mm]
Überzeugt?
> f'(0) =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{(0+h)-0}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h+h^{2}*sin(\bruch{1}{h})}{h}[/mm]
> = (l'hospital)
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}1+2*h*sin(\bruch{1}{h})-cos(\bruch{1}{h})[/mm]
> = 1+0-1 = 0
Nein, nein, [mm] \limes_{h\rightarrow 0}cos(\bruch{1}{h}) \not=1 [/mm] !
Den Grenzwert gibt es gar nicht, denn [mm] cos(\bruch{1}{h}) [/mm] oszilliert.
Zum zweiten Teil: in (0, [mm] \varepsilon) [/mm] hat man zwei Maxima. (Viel mehr sogar, wie Du richtig feststellst!) Wenn die Fkt. nicht konstant ist, muß sie zwischendurch fallen. Immerhin ist f ja stetig. Könnte man so argumentieren?
Links ganz dicht dran an 0 ein Minimum, rechts ein Maximum, überzeugt mich noch nicht so recht...
Gruß v. Angela
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Gut, ihr habt mich überzeugt, hab irgendwie h gegen unendlich gehen lassen und nicht gegen 0...
So habt ihr natürlich recht.
Ob man beim zweiten Teil so argumentieren kann weiss ich auch nicht genau, aber was besseres fällt mir irgendwie nicht ein...
Danke
mfg
Berndte
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