Funktion a. Kreis eingeschrän < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
da bin ich wieder mit einer anderen Aufgabe.
ich komme erst mal zu ihr.
Die Funktion [mm] f_{a,b}(x,y)=ay^2+bx [/mm] sei eingeschränkt auf den Kreis [mm] x^2+y^2=1. [/mm] Für welche Paare (a,b) [mm] \in \IR^2 [/mm] hat diese Funktion genau vier kritische Punkte.
Als Hinweis habe ich in der Aufgabenstellung, dass ich Polarkoordinaten benutzen soll.
Ich habe schon mal mit Paaren gearbeitet (wie manche vielleicht wissen), aber das war in einem Zusammenhang.
Bei den kritischen Punkten handelt es sich ja um Nullstellen oder?
Ich habe keinen Rechenansatz, also wie ich mit den beiden Gleichungen umgehe und dann dazu übergehe zu schauen für welche Paare das gilt.
Vielleicht kann mir jemand paar Tipps geben.
Würde mich wie immer freuen.
Schönen abend noch!
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Hallo Prinzessin,
> Die Funktion [mm]f_{a,b}(x,y)=ay^2+bx[/mm] sei eingeschränkt auf den
> Kreis [mm]x^2+y^2=1.[/mm] Für welche Paare (a,b) [mm]\in \IR^2[/mm] hat diese
> Funktion genau vier kritische Punkte.
>
> Als Hinweis habe ich in der Aufgabenstellung, dass ich
> Polarkoordinaten benutzen soll.
Setze für [mm]x\;=\;\cos\;\varphi[/mm] und für [mm]y\;=\;\sin\;\varphi[/mm] ein. Dies wird dann in f eingesetzt. Danach differenzierst Du nach [mm]\varphi[/mm] und setzt das 0.
>
> Ich habe schon mal mit Paaren gearbeitet (wie manche
> vielleicht wissen), aber das war in einem Zusammenhang.
>
> Bei den kritischen Punkten handelt es sich ja um
> Nullstellen oder?
ein kritischer Punkt ist ein Punkt für den der grad f = 0 ist.
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower!
Danke dir für deine Hilfestellung!!!
x:=cos [mm] \varphi
[/mm]
y:=sin [mm] \varphi
[/mm]
in [mm] f_{a,b}(x,y)=ay^2+bx
[/mm]
einsetzen:
[mm] f_{a,b}(x,y)=a*sin \varphi^2+b*cos \varphi
[/mm]
Ableitung nach [mm] \varphi
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f_{a,b}}{\partial \varphi}=2a*sin \varphi*cos \varphi-b*sin \varphi
[/mm]
So richtig bis dahin?
Weil wenn ich das jetzt 0 setze:
2a*sin [mm] \varphi*cos \varphi-b*sin \varphi=0
[/mm]
sehe ich nur für a=0 und b=0 ist die Gleichung null.
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Hallo Prinzessin,
> [mm]f_{a,b}(x,y)=a*sin \varphi^2+b*cos \varphi[/mm]
> Ableitung nach
> [mm]\varphi[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f_{a,b}}{\partial \varphi}=2a*sin \varphi*cos \varphi-b*sin \varphi[/mm]
>
> So richtig bis dahin?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Weil wenn ich das jetzt 0 setze:
> 2a*sin [mm]\varphi*cos \varphi-b*sin \varphi=0[/mm]
> sehe ich nur
> für a=0 und b=0 ist die Gleichung null.
Da kann doch noch was ausgeklammert werden:
[mm]
\begin{gathered}
2\;a\;\sin \;\varphi \;\cos \;\varphi \; - \;b\;\sin \;\varphi \; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\sin \;\varphi \;\left( {2\;a\;\cos \;\varphi \; - \;b} \right)\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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Danke für diesen Hinweis.
Was mich irrtiert ist, dass a und b ja jeden Wert annehmen können. Wie soll ich dann die Paare finden? ich habe ja die Variablen a, b und [mm] \varphi
[/mm]
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Hallo Prinzessin,
> Was mich irrtiert ist, dass a und b ja jeden Wert annehmen
> können. Wie soll ich dann die Paare finden? ich habe ja die
> Variablen a, b und [mm]\varphi[/mm]
die Klammer kannst Du erstmal nach [mm]\cos \varphi[/mm] auflösen. Nun kannst Du Bedingungen an a und b stellen.
Der [mm]\cos \varphi[/mm] kann ja betragsmäßig nicht größer als 1 werden: [mm] $\blue{\left| \ \cos \varphi \ \right| \ \le \ 1}$
[/mm]
Demzufolge gilt das nur, wenn [mm]\left| {\frac{b}{{2a}}} \right|\; \leqslant 1[/mm] ist.
Gruß
MathePower
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