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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Fr 10.04.2015 | | Autor: | Kosamui |
Guten Morgen :)
Jemand hat die Aufgabe f(x) = [mm] x^2 [/mm] -7x + 3 abzuleiten so gelöst (ohne wirklich "abzuleiten", sondern mit linearisieren)
Zuerst wurde f(r+s) berechnet: f(r+s) = [mm] r^2 [/mm] + r(2s-7) [mm] +s^2 [/mm] - 7s +3
Dann wurde die Linearisierung vorgenommen: [mm] r^2 [/mm] + r(2s -7) -7s + 3
Dann wurde für s der Term [mm] x-x_{0} [/mm] unf für r wurde [mm] x_{0}eingesetzt.
[/mm]
-> [mm] x_{0}^2 [/mm] + [mm] x_{0}*(2(x-x_{0})-7)-7*(x-x_{0})+3
[/mm]
Anschließend wurde durch [mm] (x-x_{0}) [/mm] dividiert und umgeformt auf :
[mm] (x_{0}^2)/(x-x_{0}) [/mm] - (7 [mm] x_{0})/(x-x_{0}) [/mm] + [mm] (3)/(x-x_{0}) [/mm] + 2 [mm] x_{0} [/mm] -7
Dann wurde [mm] 2x_{0} [/mm] -7 als 1. Ableitung angegeben. Was ja auch stimmt wenn man normal ableitet, aber irgendwie kann ich diese Schritte nicht nachvollziehen.
Kann mir wer helfen? :)
Lg Kosamui :)
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Hiho,
> Dann wurde [mm]2x_{0}[/mm] -7 als 1. Ableitung angegeben. Was ja
> auch stimmt wenn man normal ableitet, aber irgendwie kann
> ich diese Schritte nicht nachvollziehen.
das liegt wohl daran, dass sie trotz allem unsauber, wenn auch zielführend sind.
Dieser Lösung liegt vermutlich folgende Definition zugrunde:
Eine Funktion f ist an der Stelle [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, wenn eine Konstante [mm] L_{x_0} [/mm] und stetige Funktion r mit [mm] $r(x_0)=0$ [/mm] existiert, so dass gilt:
$f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] L_{x_0}*(x [/mm] - [mm] x_0) [/mm] + [mm] r(x)*(x-x_0)$
[/mm]
Teilen durch [mm] $(x-x_0)$ [/mm] liefert:
[mm] $\bruch{f(x)}{x-x_0} [/mm] = [mm] \bruch{f(x_0)}{x-x_0} [/mm] + [mm] L_{x_0} [/mm] + r(x)$
bzw:
[mm] $\bruch{f(x)}{x-x_0} [/mm] = [mm] \bruch{f(x_0+(x-x_0))}{x-x_0} [/mm] = [mm] \bruch{f(x_0)}{x-x_0} [/mm] + [mm] L_{x_0} [/mm] + r(x)$
Der interessante Teil des Nachweises der Voraussetzung, nämlich dass r(x) stetig gewählt werden kann mit $r(x) [mm] \to [/mm] 0$ für [mm] $x\to x_0$ [/mm] versteckt sich in dem lapidaren Satz: "Dann wurde die Linearisierung vorgenommen".
Konkret würde obiges also wie folgt aussehen:
[mm] $f(x_0+(x-x_0)) [/mm] = [mm] (x_0 [/mm] + [mm] (x-x_0))^2 [/mm] - [mm] 7(x_0 [/mm] + [mm] (x-x_0)) [/mm] + 3 = [mm] \left(x_0^2 - 7x_0 + 3\right) [/mm] + [mm] 2x_0(x-x_0) [/mm] - [mm] 7(x-x_0) [/mm] + [mm] (x-x_0)^2 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] 2x_0(x-x_0) [/mm] - [mm] 7(x-x_0) [/mm] + [mm] (x-x_0)^2 [/mm] $
Und damit:
[mm] $\bruch{f(x)}{x-x_0} [/mm] = [mm] \bruch{f(x_0+(x-x_0))}{x-x_0} [/mm] = [mm] \bruch{f(x_0)}{x-x_0} [/mm] + [mm] 2x_0 [/mm] - 7 + [mm] (x-x_0)$
[/mm]
Und das geübte Auge erkennt $r(x) = [mm] x-x_0$ [/mm] und [mm] $L_{x_0} [/mm] = [mm] 2x_0 [/mm] - 7$
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Fr 10.04.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
ich frage mich gerade, warum man sowas tut? Die Ableitung wäre doch viel komfortabler mit den Ableitungsregeln oder mit dem Differentialquotienten zu machen...
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Fr 10.04.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
sowas kommt meiner Meinung nach bei raus, wenn man statt Verständnis nur gelöste Aufgaben im Internet findet und sie kommentarlos versucht nachzubauen 
Aber zugegeben: Das ist reine Spekulation.
Gruß,
Gono
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