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Forum "Stetigkeit" - Funktion auf Stetigkeit
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Funktion auf Stetigkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Mi 26.04.2017
Autor: Kopfvilla

Aufgabe
[mm] f(x)=\begin{cases} x - k, & \mbox{falls } k-\bruch{1}{2} < x < k+\bruch{1}{2}\mbox{ für k element einer ganzen Zahl} \\ 0, & \mbox{falls } x=k+\bruch{1}{2} \mbox{ für k element einer ganzen Zahl} \end{cases} [/mm]

a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion.
b) Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit sowie auf rechts- und linksseitige Stetigkeit

Guten Tag Community,

ich komme mit der o.a. Aufgabe nicht zurecht. Mir macht das "k" Probleme. Ich kann die Funktion doch gar nicht zeichnen wenn k eine undefinierte Variable ist?

Instinktiv würde ich [mm] k+\bruch{1}{2}=0 [/mm] dann wäre [mm] k=-\bruch{1}{2} [/mm] aber k muss doch eine ganze und keine rationale Zahl sein steht es in der Aufgabe? Wie gehe ich weiter vor wenn ich die Funktion skizzieren soll und auf Stetigkeit prüfen soll?

Ich freue mich über jede Antwort ihr seid spitze!:)

Gruß Kopfvilla



        
Bezug
Funktion auf Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Mi 26.04.2017
Autor: Fulla


> [mm]f(x)=\begin{cases} x - k, & \mbox{falls } k-\bruch{1}{2} < x < k+\bruch{1}{2}\mbox{ für k element einer ganzen Zahl} \\ 0, & \mbox{falls } x=k+\bruch{1}{2} \mbox{ für k element einer ganzen Zahl} \end{cases}[/mm]

>

> a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion.
> b) Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit sowie auf
> rechts- und linksseitige Stetigkeit
> Guten Tag Community,

>

> ich komme mit der o.a. Aufgabe nicht zurecht. Mir macht das
> "k" Probleme. Ich kann die Funktion doch gar nicht zeichnen
> wenn k eine undefinierte Variable ist?

Hallo Kopfvilla!

[mm]k[/mm] ist nicht undefiniert. [mm]k[/mm] nimmt Werte aus den ganzen Zahlen an.

Betrachte mal [mm]k=0[/mm]: Dann ist
[mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } -\bruch{1}{2} < x < \bruch{1}{2} \\ 0, & \mbox{falls } x=\bruch{1}{2} \end{cases}[/mm]
auf [mm]D=\left]\frac 12, \frac 12\right][/mm] definiert. Mach eine Skizze davon!

Schau dir jetzt an, was für andere Werte von [mm]k[/mm] passiert!


> Instinktiv würde ich [mm]k+\bruch{1}{2}=0[/mm] dann wäre
> [mm]k=-\bruch{1}{2}[/mm] aber k muss doch eine ganze und keine
> rationale Zahl sein steht es in der Aufgabe? Wie gehe ich
> weiter vor wenn ich die Funktion skizzieren soll und auf
> Stetigkeit prüfen soll?

Das sollte jetzt auch klar sein...

> Ich freue mich über jede Antwort ihr seid spitze!:)


Der Wortlaut "[mm]k[/mm] Element einer ganzen Zahl" stammt aber hoffentlich nicht vom Aufgabensteller... Richtig wäre "[mm]k\in\mathbb Z[/mm]", oder etwa "[mm]k[/mm] Element der ganzen Zahlen", oder "für ganzzahliges [mm]k[/mm]", oder oder....



Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Funktion auf Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:02 Do 27.04.2017
Autor: Kopfvilla

Vielen Dank für die Antwort aber wie kann ich jetzt die Frage nach der Stetigkeit beantworten da die Funktion "springt kann ich ja davon ausgehen dass sie nicht stetig ist wie beweise ich das rechnerisch?

Bezug
                        
Bezug
Funktion auf Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:30 Do 27.04.2017
Autor: Fulla


> Vielen Dank für die Antwort aber wie kann ich jetzt die
> Frage nach der Stetigkeit beantworten da die Funktion
> "springt kann ich ja davon ausgehen dass sie nicht stetig
> ist wie beweise ich das rechnerisch?

Hallo nochmal!

"Stetigkeit" ist ja eine "allgemeine" Eigenschaft. Wenn du also nur eine Stelle findest, wo die Funktion nicht stetig ist, bist du fertig.

Argumentiere wie folgt: Wenn die Funktion an nur einer Stelle nicht stetig ist, ist sie nicht stetig.
Finde eine solche Stelle, zeige die Unstetigkeit und du bist fertig. (Beweise das z.B. mit abweichenden Grenzwerten)

Mach dir bzgl. der rechts- bzw. linksseitigen Stetigkeit auch ein paar Gedanken.

Bei Fragen, bzw. zur Kontrolle, schreib uns eure Definition davon und deinen Lösungsweg.


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
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